Измеримая функция Бохнера

В математике , а именно в функциональном анализе , измеримой по Бохнеру функцией , принимающей значения в банаховом пространстве , называется функция , почти всюду равная пределу последовательности измеримых счетнозначных функций , т . е.

где каждая функция имеет счетный диапазон и для которых прообраз измерим для каждого x . Концепция названа в честь Саломона Бохнера . ${\ Displaystyle е_ {п}}$ ${\ Displaystyle е ^ {- 1} \ {х \}}$

Измеримые по Бохнеру функции иногда называют сильно измеримыми , -измеримыми или просто измеримыми (или равномерно измеримыми , если банахово пространство есть пространство непрерывных линейных операторов между банаховыми пространствами). ${\ Displaystyle \ му}$

Связь между измеримостью и слабой измеримостью дается следующим результатом, известным как теорема Петтиса или теорема об измеримости Петтиса .

Функция f почти наверное является сепарабельно-значной (или существенно сепарабельно-значной ), если существует подмножество N ⊆ X с µ ( N ) = 0 такое, что f ( X \ N ) ⊆ B сепарабельно.

Функция f : X → B , определенная на пространстве с мерой ( X , Σ, µ ) и принимающая значения в банаховом пространстве B , является (сильно) измеримой (относительно Σ и борелевской алгебры на B ) тогда и только тогда , когда она как слабо измеримые, так и почти наверняка оцениваемые сепарабельно.