Когомотопическая группа

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Cohomotopy group»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , в частности алгебраической топологии , когомотопическая множества являются частными контравариантными функторами из категории из заостренных топологических пространств и Basepoint сохраняющих непрерывных отображений в категорию множеств и функций . Они двойственные к гомотопическим группам , но менее изучены.

Обзор [ править ]

В P -х когомотопическое множество заостренного топологического пространства X определяются

${\ displaystyle \ pi ^ {p} (X) = [X, S ^ {p}]}$

множество остроконечных гомотопических классов непрерывных отображений из к р - сфера . При p = 1 это множество имеет структуру абелевой группы и, если оно является CW-комплексом , изоморфно первой группе когомологий , поскольку окружность является пространством типа Эйленберга – Маклейна . Фактически, это теорема Хайнца Хопфа о том, что если является CW-комплексом размерности не выше p , то он находится в биекции с p${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle S ^ {p}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H ^ {1} (X)}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle К (\ mathbb {Z}, 1)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle [X, S ^ {p}]}$-я группа когомологий .${\ displaystyle H ^ {p} (X)}$

Множество также имеет естественную групповую структуру, если это подвеска , например сфера для .${\ displaystyle [X, S ^ {p}]}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Sigma Y}$${\ displaystyle S ^ {q}}$${\ displaystyle q \ geq 1}$

Если X не гомотопически эквивалентен CW-комплексу, то он может не быть изоморфен . Контрпримером является варшавская окружность , первая группа когомологий которой равна нулю, но допускает отображение , не гомотопное постоянному отображению. ^[1]${\ displaystyle H ^ {1} (X)}$${\ displaystyle [X, S ^ {1}]}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Свойства [ править ]

Некоторые основные факты о когомотопических множествах, некоторые из которых более очевидны, чем другие:

• ${\ Displaystyle \ pi ^ {p} (S ^ {q}) = \ pi _ {q} (S ^ {p})}$для всех p и q .
• Для или группа равна . (Для доказательства этого результата Лев Понтрягин разработал концепцию оснащенного кобордизма .)${\ displaystyle q = p + 1}$${\ displaystyle p + 2 \ geq 4}$${\ displaystyle \ pi ^ {p} (S ^ {q})}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$
• Если имеет для всех x , то и гомотопия гладкая, если f и g гладкие .${\ displaystyle f, g \ двоеточие X \ до S ^ {p}}$${\ Displaystyle \ | е (х) -g (х) \ | <2}$${\ Displaystyle [е] = [г]}$
• Для более компактного гладкого многообразия , изоморфно множеству гомотопических классов гладких отображений ; в этом случае любое непрерывное отображение может быть равномерно аппроксимировано гладким отображением, и любые гомотопические гладкие отображения будут гладко гомотопными.${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {p} (X)}$${\displaystyle X\to S^{p}}$
• Если это - многообразие , то для .${\displaystyle X}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \pi ^{p}(X)=0}$${\displaystyle p>m}$
• Если - - многообразие с краем , то множество канонически находится в биекции с множеством классов кобордизмов коразмерности - p оснащенных подмногообразий внутренней части .${\displaystyle X}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \pi ^{p}(X,\partial X)}$ ${\displaystyle X\setminus \partial X}$
• Стабильные когомотопическая группа из является копредел${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{s}^{p}(X)=\varinjlim _{k}{[\Sigma ^{k}X,S^{p+k}]}}$

которая является абелевой группой.

Ссылки [ править ]