Часть цикла статей о |
Исчисление |
---|
В исчислении , интеграции путем замены , также известный как у ЗАМЕНА или замена переменных , [1] представляет собой способ оценки интегралов и первообразные . Это аналог цепного правила для дифференциации , и его можно условно представить как использование цепного правила «в обратном направлении».
Замена одной переменной [ править ]
Введение [ править ]
Прежде чем строго сформулировать результат, рассмотрим простой случай с использованием неопределенных интегралов .
Вычислить . [2]
Установить . Это означает , или, в дифференциальной форме . Сейчас
- ,
где - произвольная постоянная интегрирования .
Эта процедура используется часто, но не все интегралы имеют форму, позволяющую ее использовать. В любом случае результат следует проверить путем дифференцирования и сравнения с исходным подынтегральным выражением.
Для определенных интегралов необходимо также настроить пределы интегрирования, но процедура в основном такая же.
Определенные интегралы [ править ]
Пусть φ : [ a , b ] → I - дифференцируемая функция с непрерывной производной, где I ⊆ R - интервал. Предположим, что f : I → R - непрерывная функция . Тогда [3]
В обозначениях Лейбница замена u = φ ( x ) дает
Эвристическая работа с бесконечно малыми дает уравнение
что предполагает приведенную выше формулу замены. (Это уравнение может быть поставлено на строгую основу, интерпретируя его как утверждение о дифференциальных формах .) Можно рассматривать метод интегрирования путем подстановки как частичное обоснование обозначений Лейбница для интегралов и производных.
Формула используется для преобразования одного интеграла в другой, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно читать слева направо или справа налево, чтобы упростить данный интеграл. При использовании прежним способом это иногда называют u -замещением или w -замещением, при котором новая переменная определяется как функция исходной переменной, находящейся внутри составной функции, умноженной на производную внутренней функции. Последний способ обычно используется в тригонометрической замене , заменяя исходную переменную тригонометрической функцией новой переменной, а исходный дифференциал - дифференциалом тригонометрической функции.
Доказательство [ править ]
Интегрирование подстановкой можно вывести из основной теоремы исчисления следующим образом. Пусть f и φ - две функции, удовлетворяющие приведенной выше гипотезе о том, что f непрерывна на I, а φ ′ интегрируема на отрезке [ a , b ] . Тогда функция f ( φ ( x )) φ ′ ( x ) также интегрируема на [ a , b ] . Следовательно, интегралы
а также
на самом деле существуют, и осталось показать, что они равны.
Так как F непрерывна, она имеет первообразную F . Сложная функция F ∘ φ затем определена. Поскольку φ дифференцируема, объединение цепного правила и определения первообразной дает
Дважды применяя основную теорему исчисления, получаем
которое является правилом подстановки.
Примеры [ править ]
Пример 1: [ изменить ]
Рассмотрим интеграл
Сделайте замену, чтобы получить значение . Следовательно,
Так как нижний предел был заменен , а верхний предел с , преобразование обратно в терминах не было необходимости.
В качестве альтернативы можно сначала полностью вычислить неопределенный интеграл ( см. Ниже ), а затем применить граничные условия. Это становится особенно удобным при использовании нескольких замен.
Пример 2: [ изменить ]
Для интегральной
требуется вариант вышеописанной процедуры. Подстановка, подразумевающая , полезна, потому что . Таким образом, мы имеем
Полученный интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям или формулы двойного угла , с последующим еще одной замены. Можно также отметить, что интегрируемая функция представляет собой верхнюю правую четверть круга с радиусом, равным единице, и, следовательно, интегрирование верхней правой четверти от нуля до единицы является геометрическим эквивалентом площади одной четверти единичного круга, или .
Первородные [ править ]
Замещение можно использовать для определения первообразных . Каждый выбирает отношение между и , определяет соответствующее отношение между и путем дифференцирования и выполняет замены. Можно надеяться, что первообразная замещенной функции может быть определена; исходная замена между и затем отменяется.
Подобно примеру 1 выше, с помощью этого метода можно получить следующую первообразную:
где - произвольная постоянная интегрирования .
Не было интегральных границ для преобразования, но на последнем этапе необходимо было вернуть исходную замену . При вычислении определенных интегралов подстановкой можно сначала полностью вычислить первообразную, а затем применить граничные условия. В этом случае нет необходимости преобразовывать граничные члены.
Функция тангенса может быть интегрирована с помощью подстановки, выразив ее через синус и косинус:
Использование подстановки дает и
Замена нескольких переменных [ править ]
Также можно использовать подстановку при интегрировании функций нескольких переменных . Здесь функция подстановки ( v 1 , ..., v n ) = φ ( u 1 , ..., u n ) должна быть инъективной и непрерывно дифференцируемой, а дифференциалы преобразуются как
где Det ( d ^ ) ( U 1 , ..., у п ) обозначает определитель из матрицы Якоби из частных производных от ф в точке ( U 1 , ..., у п ) . Эта формула выражает тот факт, что абсолютное значение определителя матрицы равно объему параллелоэдра, охватываемого его столбцами или строками.
Точнее, формула замены переменных сформулирована в следующей теореме:
Теорема . Пусть U открытое множество в R н и φ : U → R п инъективны дифференцируемая функция с непрерывными частными производными, якобиан которого отличен от нуля для каждого х в U . Тогда для любой вещественной непрерывной функции f с компактным носителем и носителем, содержащимся в φ ( U ) ,
Условия теоремы можно ослабить разными способами. Во-первых, требование, чтобы φ была непрерывно дифференцируемой, можно заменить более слабым предположением, что φ просто дифференцируема и имеет непрерывное обратное. [4] Это гарантируется, если функция φ непрерывно дифференцируема по теореме об обратной функции . В качестве альтернативы требование, чтобы det ( Dφ ) ≠ 0, можно исключить, применив теорему Сарда . [5]
Для измеримых по Лебегу функций теорема может быть сформулирована в следующем виде: [6]
Теорема . Пусть U - измеримое подмножество R n, а φ : U → R n - инъективная функция , и предположим, что для каждого x из U существует φ ′ ( x ) в R n , n такое, что φ ( y ) = φ ( x ) + φ ′ ( x ) ( y - x ) + o (|| y - x||) , как у → х (здесь о есть мало- о нотации ). Тогда φ ( U ) измеримо, и для любой действительной функции f, определенной на φ ( U ) ,
в том смысле, что если один из интегралов существует (включая возможность быть собственно бесконечным), то существует и другой интеграл, и они имеют одинаковое значение.
Другой очень общий вариант теории меры следующий: [7]
Теорема . Пусть X - локально компактное хаусдорфово пространство, снабженное конечной радоновской мерой μ , и пусть Y - σ-компактное хаусдорфово пространство с σ-конечной радоновской мерой ρ . Пусть φ : X → Y - непрерывная и абсолютно непрерывная функция (где последнее означает, что ρ ( φ ( E )) = 0, если μ ( E ) = 0 ). Тогда существует вещественнозначнаяИзмеряемая по Борелю функция w на X такая, что для любой интегрируемой по Лебегу функции f : Y → R функция ( f ∘ φ ) ⋅ w интегрируема по Лебегу на X и
Кроме того, можно написать
для некоторого борелевском измеримой функции г на Y .
В геометрической теории меры применяется интегрирование подстановкой с липшицевыми функциями . Билипшицевой функцией называется липшицева функция φ : U → R n, которая инъективна и обратная функция которой φ −1 : φ ( U ) → U также липшицева. По теореме Радемахера билипшицево отображение дифференцируемо почти всюду . В частности, якобиев определитель билипшицевого отображения det Dφ корректно определен почти всюду. Тогда имеет место следующий результат:
Теорема. Пусть U - открытое подмножество R n и φ : U → R n - билипшицево отображение. Пусть f : φ ( U ) → R измеримо. потом
в том смысле, что если один интеграл существует (или собственно бесконечен), то существует и другой интеграл, и они имеют одинаковое значение.
Вышеупомянутая теорема была впервые предложена Эйлером, когда он разработал понятие двойных интегралов в 1769 году. Хотя она была обобщена на тройные интегралы Лагранжем в 1773 году, использовалась Лежандром , Лапласом , Гауссом и впервые обобщена на n переменных Михаилом Остроградским в 1836 году, она удивительно долго сопротивлялась полностью строгому формальному доказательству и была впервые удовлетворительно решена 125 лет спустя Эли Картаном в серии статей, начиная с середины 1890-х годов. [8] [9]
Применение в вероятности [ править ]
Замена может быть использована для ответа на следующий важный вопрос вероятности: дана случайная величина с плотностью вероятности и другой случайной величиной такими , что , какова плотность вероятности ?
На этот вопрос проще всего ответить, сначала ответив на несколько другой вопрос: какова вероятность того, что принимает значение в некотором конкретном подмножестве ? Обозначим эту вероятность . Конечно, если есть плотность вероятности, то ответ будет
но это бесполезно, потому что мы не знаем ; это то, что мы пытаемся найти. Мы можем добиться прогресса, рассматривая проблему в переменной . принимает значение всякий раз, когда принимает значение , поэтому
Переход от переменной к дает
Объединение этого с нашим первым уравнением дает
так
В случае, когда и зависят от нескольких некоррелированных переменных, т. Е. И , можно найти путем подстановки нескольких переменных, рассмотренных выше. Результат
См. Также [ править ]
- Функция плотности вероятности
- Подстановка переменных
- Тригонометрическая замена
- Замена Вейерштрасса
- Подстановка Эйлера
- Прямая мера
Заметки [ править ]
- ^ Swokowski 1983 , стр. 257
- ^ Swokowsi 1983 , стр. 258
- ^ Briggs & Cochran 2011 , pg.361
- ^ Рудин 1987 , теорема 7.26
- Перейти ↑ Spivak 1965 , p. 72
- ^ Fremlin 2010 , теорема 263D
- ↑ Хьюитт и Стромберг, 1965 , теорема 20.3.
- ^ Кац 1982
- ^ Ферзола 1994
Ссылки [ править ]
- Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011), Calculus / Early Transcendentals (Single Variable ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
- Ferzola, Энтони П. (1994), "Эйлер и дифференциалы" , Колледж Математика Journal , 25 (2): 102-111, DOI : 10,2307 / 2687130
- Фремлин, Д.Х. (2010), Теория меры, Том 2 , Торрес Фремлин, ISBN 978-0-9538129-7-4.
- Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
- Кац, В. (1982), "Изменение переменных в кратных интегралах: Эйлер к Картанен", Математике Magazine , 55 (1): 3-11, DOI : 10.2307 / 2689856
- Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
- Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
- Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.
Внешние ссылки [ править ]
Wikibook Исчисление есть страница по теме: Замещение Правило |
В Викиверситете есть учебные ресурсы об интеграции путем замещения |
- Интеграция заменой в энциклопедии математики
- Формула площади в энциклопедии математики