В математике неархимедово упорядоченное поле - это упорядоченное поле, которое не удовлетворяет свойству Архимеда . Примерами являются поле Леви-Чивиты , гиперреалистические числа , сюрреалистические числа , поле Дена и поле рациональных функций с действительными коэффициентами подходящего порядка.
Определение
Свойство Архимеда - это свойство определенных упорядоченных полей, таких как рациональные числа или действительные числа , утверждающее, что каждые два элемента находятся в пределах целого числа, кратного друг другу. Если поле содержит два положительных элемента x < y, для которых это неверно, то x / y должно быть бесконечно малым , больше нуля, но меньше любой целочисленной единичной дроби . Следовательно, отрицание архимедова свойства равносильно существованию бесконечно малых величин.
Приложения
Гиперреальные поля , неархимедовы упорядоченные поля, содержащие действительные числа в качестве подполя, могут использоваться для обеспечения математической основы нестандартного анализа .
Макс Ден использовал поле Дена, пример неархимедова упорядоченного поля, для построения неевклидовой геометрии, в которой постулат параллельности не выполняется, но, тем не менее, треугольники имеют углы, суммируемые с π . [1] [ сомнительно ]
Поле рациональных функций над может использоваться для построения упорядоченного поля, которое является полным (в смысле сходимости последовательностей Коши), но не является действительным числом. [2] Это пополнение можно описать как поле формальных рядов Лорана над. Иногда термин «полный» используется для обозначения того, что выполняется свойство наименьшей верхней границы . При таком значении полноты не существует полных неархимедовых упорядоченных полей. Тонкое различие между этими двумя употреблениями слова «полный» иногда вызывает путаницу.
Рекомендации
- ^ Дена, Макс (1900), "Die Legendre'schen Sätze über умереть Winkelsumme им Dreieck" , Mathematische Annalen , 53 (3): 404-439, DOI : 10.1007 / BF01448980 , ISSN 0025-5831 , JFM 31.0471.01.
- ^ Контрпримеры в анализе Бернарда Р. Гелбаума и Джона М. Х. Олмстеда, Глава 1, Пример 7, стр. 17.