Самолет Дена

В геометрии Ден ввел два примера плоскостей, полуевклидову геометрию и нелегандрову геометрию , которые имеют бесконечно много прямых, параллельных данной, которые проходят через данную точку, но где сумма углов треугольника равна не менее $π$ . Аналогичное явление происходит в гиперболической геометрии , за исключением того, что сумма углов треугольника меньше $π$ . В примерах Дена используется неархимедово поле, так что аксиома Архимеда нарушается. Они были введены Максом Деном ( 1900 г. ) и обсуждены Гильбертом (1902 г.)., pp. 127–130, или pp. 42–43 в некоторых более поздних изданиях).

Неархимедово поле Дена Ω ( t ) [ править ]

Для построения своей геометрии Ден использовал неархимедово упорядоченное пифагорово поле Ω ( t ), пифагорово замыкание поля рациональных функций R ( t ), состоящее из наименьшего поля действительных функций на действительной прямой, содержащей вещественные числа. константы, тождественная функция t (принимающая любое действительное число к себе) и закрытая при выполнении операции . Поле Ω ( t ) упорядочивается, полагая x > y, если функция x больше y для достаточно больших вещественных чисел. Элемент x из Ω ( t ${\ textstyle \ omega \ mapsto {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2}}}}$ ) называется конечным, если m < x < n для некоторых целых m , n , и бесконечным в противном случае.

Полуевклидова геометрия Дена [ править ]

Множество всех пар ( x , y ), где x и y - любые (возможно, бесконечные) элементы поля Ω ( t ), и с обычной метрикой

{\ Displaystyle \ | (х, y) \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

которая принимает значения в Ω ( t ), дает модель евклидовой геометрии . Постулат параллельности верен в этой модели, но если отклонение от перпендикуляра бесконечно мало (то есть меньше любого положительного рационального числа), пересекающиеся прямые пересекаются в точке, которая не находится в конечной части плоскости. Следовательно, если модель ограничена конечной частью плоскости (точки ( x , y ) с конечными x и y ), получается геометрия, в которой постулат параллельности не выполняется, но сумма углов треугольника равна $π$ . Это полуевклидова геометрия Дена. Это обсуждается в Rucker (1982 , стр. 91–2).

Нелегандровская геометрия Дена [ править ]

В той же статье Ден также построил пример нелегандровой геометрии, где есть бесконечно много прямых, проходящих через точку, не пересекающихся с другой прямой, но сумма углов в треугольнике превышает $π$ . Эллиптическая геометрия Римана над Ω ( t ) состоит из проективной плоскости над Ω ( t ), которую можно отождествить с аффинной плоскостью точек ( x : y : 1) вместе с «бесконечно удаленной прямой», и обладает тем свойством, что сумма углов любого треугольника больше $π$ Нелегандрова геометрия состоит из точек ( x : y : 1) этого аффинного подпространства, таких что tx иty конечны (где, как и выше, t - элемент Ω ( t ), представленный тождественной функцией). Теорема Лежандра утверждает, что сумма углов треугольника не $превосходит π$ , но предполагает аксиому Архимеда, а пример Дена показывает, что теорема Лежандра может не выполняться, если аксиома Архимеда опускается.

Ссылки [ править ]

Дена, Макс (1900), "Die Legendre'schen Sätze über умереть Winkelsumme - им Dreieck" , Mathematische Annalen , 53 (3): 404-439, DOI : 10.1007 / BF01448980 , ISSN 0025-5831 , JFM 31.0471.01
Гильберт, Дэвид (1902), Основы геометрии (PDF) , The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR 0116216
Ракер, Руди (1982), Бесконечность и разум. Наука и философия бесконечного , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3034-1, MR 0658492

Эта статья включает список связанных элементов с одинаковыми (или похожими именами).
Если внутренняя ссылка привела вас сюда неправильно, вы можете изменить ссылку, чтобы она указывала прямо на предполагаемую статью.