В математике , кривая (также называется кривой линии в старых текстах) является объект , похожий на линии , но это не должно быть прямой .
Интуитивно кривая может рассматриваться как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в « Элементах » Евклида : «[Изогнутая] линия [а] - это […] первый вид величины, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и это не что иное, как поток или движение точки, которая […] оставит от своего воображаемого движения некоторый след в длину, за исключением любой ширины ». [1]
Это определение кривого было закреплено в современной математике , как: кривое представляет собой изображение из интервала на топологическое пространство с помощью непрерывной функции . В некоторых случаях функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая - параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называют топологическими кривыми, чтобы отличать их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых математикой; заметными исключениями являются линии уровня (которые представляют собой объединение кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .
Тем не менее, класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые не выглядят так, как можно было бы ожидать от кривой, или даже не могли быть нарисованы. Это случай кривых заполнения пространства и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности функция, определяющая кривую, часто предполагается дифференцируемой , и тогда кривая называется дифференцируемой кривой .
Плоская кривая алгебраическим является множество нулей полинома в двух неизвестных . Более общо, алгебраические кривой является нулевым набором конечного множества полиномов, которая удовлетворяет еще одно условие того , чтобы быть алгебраическим многообразием по размерности один. Если коэффициенты многочленов принадлежат полю k , кривая называется определенной над k . В общем случае вещественной алгебраической кривой , где k - поле действительных чисел , алгебраическая кривая представляет собой конечное объединение топологических кривых. Когда рассматриваются комплексные нули, мы получаем сложную алгебраическую кривую , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью и часто называется римановой поверхностью . Хотя алгебраические кривые, определенные над другими полями, не являются кривыми в общем смысле, они широко изучались. В частности, в современной криптографии широко используются алгебраические кривые над конечным полем .
История
Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам. [2] Кривые или, по крайней мере, их графическое представление легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.
Исторически термин « линия» использовался вместо более современного термина « кривая» . Следовательно, термины прямая линия и правая линия использовались, чтобы отличить то, что сегодня называется линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I Элементов Евклида линия определяется как «длина без ширины» (определение 2), в то время как прямая линия определяется как «линия, равномерно лежащая с точками на самой себе» (определение 4). . Идея Евклида о прямой, возможно, поясняется утверждением «Концы линии суть точки» (Определение 3). [3] Более поздние комментаторы дополнительно классифицировали строки по разным схемам. Например: [4]
- Составные линии (линии, образующие угол)
- Несоставные строки
- Определенный (линии, которые не могут продолжаться бесконечно, например круг)
- Неопределенный (линии, которые простираются до бесконечности, например прямая линия и парабола)
Греческие геометры изучали множество других типов кривых. Одна из причин заключалась в их интересе к решению геометрических задач, которые нельзя было решить с помощью стандартного компаса и линейки . Эти кривые включают:
- Конические сечения, подробно изученные Аполлонием Пергским
- Циссоида диок , изучено Диок и используются в качестве метода удвоения куба . [5]
- Конхоида из Никомеда , изучена Никомедом в качестве метода как двойные куб , и делить на три равные части угла . [6]
- Резьб , изучен Архимед в качестве метода угла делить на три равные части и площадь круга . [7]
- В Шпирича секции , секции торов изученных Персея , как участки конусов были изучены Аполлония.
Фундаментальное достижение в теории кривых было введением аналитической геометрии на Рене Декарт в семнадцатом веке. Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми, которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений , и трансцендентными кривыми, которые не могут. Раньше кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы. [2]
Конические сечения были применены в астрономии по Kepler . Ньютон также работал над ранним примером вариационного исчисления . Решения вариационных задач, таких как вопросы о брахистохронах и таутохронах , по-новому вводят свойства кривых (в данном случае - циклоиды ). Контактная сеть получила свое название в качестве решения проблемы висящей цепи, то вопрос , который стал регулярно доступен с помощью дифференциального исчисления .
В восемнадцатом веке началась теория плоских алгебраических кривых в целом. Ньютон изучал кубические кривые в общем описании реальных точек в виде «овалов». Формулировка теоремы Безу показала ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, а именно особые точки и сложные решения.
С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один теории многообразий и алгебраических многообразий . Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, например, кривые, заполняющие пространство , теорема Жордана и шестнадцатая проблема Гильберта .
Топологическая кривая
Топологические кривой может быть задано с помощью непрерывной функции из интервала I из действительных чисел в топологическом пространстве X . Собственно говоря, кривая является изображение из Однако в некоторых случаях Само по себе называется кривой, особенно когда изображение не похоже на то, что обычно называется кривой, и недостаточно характеризует
Например, изображение кривой Пеано или, в более общем смысле, кривой, заполняющей пространство, полностью заполняет квадрат и, следовательно, не дает никакой информации о том, как определено.
Кривая является закрытым [8] или является циклом , если а также . Таким образом, замкнутая кривая является образом непрерывного отображения окружности .
Если область определения топологической кривой представляет собой замкнутый и ограниченный интервал, он называется путем , также известный как топологическая дуга (или простодуга ).
Кривая является простой, если она является изображением интервала или круга инъективной непрерывной функцией. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функциейс интервалом в качестве области кривая является простой тогда и только тогда, когда две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, тех случаев, когда точки являются конечными точками интервала. Интуитивно простая кривая - это кривая, которая «не пересекает себя и не имеет пропущенных точек». [9]
Простая замкнутая кривая также называется жордановой кривой . Теорема Жордана утверждает, что дополнение множества в плоскости жордановой кривой состоит из двух компонент связности (то есть кривая делит плоскость на две непересекающиеся области , которые обе связаны).
Плоская кривая представляет собой кривую , для которойэто евклидова плоскость - это примеры, которые встречаются впервые, - или, в некоторых случаях, проективная плоскость .Кривая пространство представляет собой кривую , для которойкак минимум трехмерный; перекос кривой - пространственная кривая, не лежащая в плоскости. Эти определения плоских, пространственных и косых кривых применимы также к действительным алгебраическим кривым , хотя приведенное выше определение кривой не применяется (реальная алгебраическая кривая может быть отключена ).
Определение кривой включает фигуры, которые в обычном употреблении назвать кривыми сложно. Например, изображение простой кривой может покрывать квадрат на плоскости ( кривая, заполняющая пространство ) и, таким образом, иметь положительную площадь. [10] Фрактальные кривые могут обладать необычными для здравого смысла свойствами. Например, фрактальная кривая может иметь размерность Хаусдорфа больше единицы (см. Снежинку Коха ) и даже иметь положительную область. Примером может служить кривая дракона , которая обладает множеством других необычных свойств.
Дифференцируемая кривая
Грубо говоря, дифференцируемая кривая - это кривая, которая определяется как локально образ инъективной дифференцируемой функциииз интервала I из действительных чисел в дифференцируемом многообразии X , часто
Более точно, дифференцируемая кривая - это подмножество C в X, где каждая точка C имеет такую окрестность U , чтоявляется диффеоморфен к интервалу вещественных чисел. [ требуется пояснение ] Другими словами, дифференцируемая кривая - это дифференцируемое многообразие размерности один.
Дифференцируемая дуга
В евклидовой геометрии , дуги (символ: ⌒ ) представляет собой связное подмножество дифференцируемого кривой.
Дуги прямых называются отрезками или лучами , в зависимости от того, ограничены они или нет.
Типичный пример изогнутой кривой - это дуга окружности , называемая дугой окружности .
В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .
Длина кривой
Если это -мерное евклидово пространство, и если - инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, то длина определяется как количество
Длина кривой не зависит от параметризации .
В частности, длина на графике непрерывно дифференцируемого функции определяется на закрытом интервале является
В более общем смысле, если является метрическим пространством с метрикой, то мы можем определить длину кривой от
где супремум берется по всем и все перегородки из .
Спрямляемая кривая - это кривая конечной длины. Криваяназывается естественной (или единичной скоростью, или параметризованной длиной дуги), если для любого такой, что , у нас есть
Если является липшицево-непрерывной функцией, то она автоматически спрямляема. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) в в виде
а затем показать, что
Дифференциальная геометрия
В то время как первые встречающиеся примеры кривых - это в основном плоские кривые (то есть, говоря обыденными словами, изогнутые линии в двумерном пространстве ), есть очевидные примеры, такие как спираль, которые естественным образом существуют в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классической механики , должны иметь понятие кривой в пространстве любого числа измерений. В общей теории относительности , мировая линия представляет собой кривую в пространстве - времени .
Если является дифференцируемым многообразием , то мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в. Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие приложения кривых в математике. С местной точки зрения можно взятьбыть евклидовым пространством. С другой стороны, полезно быть более общим, поскольку (например) можно определить касательные векторы к с помощью этого понятия кривой.
Если - гладкое многообразие , гладкая кривая вявляется гладким отображением
- .
Это основное понятие. Также есть все меньше и больше ограниченных идей. Если это многообразие (т.е. многообразие, графики являютсяраз непрерывно дифференцируемые ), то a кривая в такая кривая, которая только предполагается, что (т.е. раз непрерывно дифференцируемые). Еслиявляется аналитическим многообразием (т. е. бесконечно дифференцируемым и карты выражаются в виде степенных рядов ), и аналитическое отображение, то называется аналитической кривой .
Дифференцируемая кривая называется регулярным, если егопроизводнаяникогда не обращается в нуль. (На словах, обычная кривая никогда не останавливается и не возвращается назад.) дифференцируемые кривые
- а также
называются эквивалентными, если существует биективное карта
такое, что обратное отображение
это также , а также
для всех . Картаназывается репараметризация из; и это создает отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемые кривые в . А дуга является класс эквивалентности из кривые по отношению репараметризации.
Алгебраическая кривая
Алгебраические кривые - это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии . Плоской алгебраической кривой является множество точек координат х , у , такие , что F ( х , у ) = 0 , где F представляет собой многочлен от двух переменных , определенных над некоторым полем F . Один говорит , что кривая , определенная над F . Алгебраическая геометрия обычно учитывает не только точки с координатами в F , но все точки с координатами в качестве алгебраически замкнутым полем K .
Если С является кривой , определенным с помощью многочлена F с коэффициентами из F , кривой называются определенным над F .
В случае кривой, определенной над действительными числами , обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с реальными координатами является реальной точкой , а набор всех реальных точек является реальной частью кривой. Следовательно, только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть отсоединена и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть множество ее сложных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются римановыми поверхностями .
Точки кривой C с координатами в поле G называются рациональными над G и могут быть обозначены C ( G ) . Когда G - поле рациональных чисел , мы просто говорим о рациональных точках . Например, Великая теорема Ферма может быть пересчитаны как: Для п > 2 , каждый рациональной точки кривой Ферма степени п имеет координату нуль .
Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокой размерности, например n . Они определяются как алгебраические многообразия в размерности один. Их можно получить как общие решения по крайней мере n –1 полиномиальных уравнений от n переменных. Если n –1 многочленов достаточно для определения кривой в пространстве размерности n , кривая называется полным пересечением . Путем исключения переменных (любым инструментом теории исключения ) алгебраическая кривая может быть спроецирована на плоскую алгебраическую кривую , которая, однако, может вводить новые особенности, такие как точки возврата или двойные точки .
Плоская кривая также может быть дополнена до кривой на проективной плоскости : если кривая определяется многочленом f полной степени d , то w d f ( u / w , v / w ) упрощается до однородного многочлена g ( u , v , w ) степени d . Значения u , v , w такие, что g ( u , v , w ) = 0, являются однородными координатами точек завершения кривой в проективной плоскости, а точки исходной кривой - такими, что w равен не ноль. Примером может служить кривая Ферма u n + v n = w n , которая имеет аффинную форму x n + y n = 1 . Аналогичный процесс гомогенизации может быть определен для кривых в пространствах с более высокой размерностью.
За исключением прямых , простейшими примерами алгебраических кривых являются коники , которые представляют собой неособые кривые степени два и рода нуль. Эллиптические кривые , которые являются неособыми кривыми первого рода, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения в криптографии .
Смотрите также
- Координатная кривая
- Ориентация кривой
- Построение кривых
- Дифференциальная геометрия кривых
- Галерея кривых
- Список тем кривых
- Список кривых
- Оскулирующий круг
- Параметрическая поверхность
- Путь (топология)
- Вектор положения
- Векторнозначная функция
- Подгонка кривой
- Номер обмотки
Заметки
- ^ В современном математическом использовании линия является прямой. Раньше линии могли быть как изогнутыми, так и прямыми.
Рекомендации
- ^ На (довольно старом) французском языке: "La ligne est la première espece de Quantité, laquelle a tant seulement une Dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre selected que le flux ou coulement du poinct, lequel [ …] Laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exte de toute latitude ». Страницы 7 и 8 книги Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs фигурки и демонстрации, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions , автор Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV .
- ^ a b Локвуд стр. ix
- ^ Хит стр. 153
- ^ Хит стр. 160
- ^ Локвуд стр. 132
- ^ Локвуд стр. 129
- ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Спираль Архимеда" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- ^ Этот термин может быть неоднозначным, так как незамкнутая кривая может быть замкнутым множеством , как линия на плоскости.
- ^ «Определение дуги Джордана на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc.» . Dictionary.reference.com . Проверено 14 марта 2012 .
- ^ Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Кривая Иордана положительной области» . Труды Американского математического общества . Американское математическое общество . 4 (1): 107–112. DOI : 10.2307 / 1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986 455 .
- А.С. Пархоменко (2001) [1994], «Линия (кривая)» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Б. И. Голубов (2001) [1994], "Спрямляемая кривая" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Евклид , комментарий и пер. пользователя TL Heath Elements Vol. 1 (Кембридж, 1908 г.) Google Книги
- EH Lockwood Книга кривых (Кембридж, 1961 г.)
Внешние ссылки
- Индекс известных кривых , Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия
- Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых.
- Галерея кривых пространства, сделанных из кругов, включает анимацию Питера Мозеса.
- Галерея кривых епископа и других сферических кривых, включая анимацию Питера Мозеса
- Статья в энциклопедии математики о строках .
- Страница Manifold Atlas на 1-многообразиях .