В математике , в области топологии , А топологическое пространство называется псевдокомпактно , если его образ при любой непрерывной функции к R является ограниченным . Многие авторы включают требование, чтобы пространство было полностью регулярным, прямо в определение псевдокомпактности. Псевдокомпактные пространства были определены Эдвином Хьюиттом в 1948 году [1].
- Для тихоновского пространства X , чтобы быть псевдокомпактными требует , чтобы каждый локально конечный набор из непустых открытых множеств в X быть конечным . Существует много эквивалентных условий псевдокомпактности (иногда следует принять некоторую аксиому разделения); большое количество из них цитируется в Stephenson 2003. Некоторые исторические замечания по поводу более ранних результатов можно найти в Engelking 1989, p. 211.
- Всякое счетно компактное пространство псевдокомпактно. Для нормальных хаусдорфовых пространств верно обратное.
- Вследствие приведенного выше результата каждое последовательно компактное пространство псевдокомпактно. Обратное верно для метрических пространств . Поскольку секвенциальная компактность является условием, эквивалентным компактности для метрических пространств, это означает, что компактность эквивалентна условию псевдокомпактности и для метрических пространств.
- Более слабый результат о том, что каждый компакт является псевдокомпактным, легко доказывается: образ компактного пространства при любой непрерывной функции компактен, и каждый компакт в метрическом пространстве ограничен.
- Если Y - непрерывный образ псевдокомпактного X , то Y - псевдокомпактный. Следует отметить , что для непрерывных функций г : X → Y и ч : Y → R , в композиции в г и ч , под названием F , является непрерывной функцией от X до действительных чисел. Следовательно, f ограничена, а Y псевдокомпактен.
- Пусть X - бесконечное множество с конкретной точечной топологией . Тогда X не является ни компактным, ни секвенциально компактным, ни счетно компактным, ни паракомпактным, ни метакомпактным. Однако, поскольку X гиперподключен, он псевдокомпактен. Это показывает, что псевдокомпактность не подразумевает никакой другой (известной) формы компактности.
- Для того чтобы хаусдорфово пространство X было компактным, необходимо, чтобы X было псевдокомпактным и вещественно компактным (см. Engelking 1968, стр. 153).
- Для того чтобы тихоновское пространство X было компактным, необходимо, чтобы X было псевдокомпактным и метакомпактным (см. Watson).
Псевдокомпактные топологические группы
Для псевдокомпактных топологических групп имеется относительно уточненная теория . [2] В частности, В. В. Комфорт и Кеннет А. Росс доказали, что произведение псевдокомпактных топологических групп все еще является псевдокомпактным (это может не работать для произвольных топологических пространств). [3]
Заметки
- ^ Кольца вещественнозначных непрерывных функций, I, Trans. Амер. Математика. Soc. 64 [1] (1948), 45–99.
- ^ См., Например, Михаил Ткаченко , Топологические группы: между компактностью и-ограниченность, в Mirek Husek и Jan van Mill (ред.), Recent Progress in General Topology II, 2002 Elsevier Science BV
- ^ Комфорт, WW, и Росс, KA, Псевдокомпактность и равномерная непрерывность в топологических группах, Pacific J. Math. 16, 483-496, 1966. [2]
Смотрите также
Рекомендации
- Engelking, Ryszard (1968), Очерк общей топологии , перевод с польского, Амстердам: Северная Голландия.
- Engelking, Ryszard (1989), Общая топология , Берлин: Heldermann Verlag.
- Керстан, Йоханнес (1957), «Zur Charakterisierung der pseudokompakten Räume», Mathematische Nachrichten , 16 (5–6): 289–293, DOI : 10.1002 / mana.19570160505.
- Стивенсон, Р. М. младший (2003), Псевдокомпактные пространства , глава d-7 в Энциклопедии общей топологии, отредактированный: Клаас Питер Харт, Джун-ити Нагата и Джерри Э. Воган, страницы 177-181, Амстердам: Elsevier BV.
- Уотсон, В. Стивен (1981), "Псевдокомпактные метакомпактные пространства компактны", Proc. Амер. Математика. Soc. , 81 : 151–152, DOI : 10.1090 / s0002-9939-1981-0589159-1.
- Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , чтение, Массачусетс: Addison-Wesley.
- Ян-Минь, Ван (1988), "Новые характеристики псевдокомпактных пространств", Бюлл. Austral. Математика. Soc. , 38 (2): 293-298, DOI : 10,1017 / S0004972700027568.
Внешние ссылки
- М.И. Войцеховский (2001) [1994], "Псевдокомпактное пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- «Псевдокомпактное пространство» . PlanetMath ..