Пространство последовательности

В функциональном анализе и смежных областях математики пространство последовательностей — это векторное пространство , элементами которого являются бесконечные последовательности действительных или комплексных чисел . Эквивалентно, это функциональное пространство , элементами которого являются функции от натуральных чисел до поля K действительных или комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всех возможных бесконечных последовательностей с элементами из K и может быть превращено в векторное пространство с помощью операцийпоточечное сложение функций и поточечное скалярное умножение. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжены нормой или, по крайней мере, структурой топологического векторного пространства .

Наиболее важными пространствами последовательностей в анализе являются $ℓ p$ пространств, состоящих из последовательностей, суммируемых в степени p, с p $-нормой$ . Это частные случаи пространств L p ^для счетной меры на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности, образуют пространства последовательностей, соответственно обозначаемые c и c0 , с нормой _sup . Любое пространство последовательностей также можно оснастить топологией поточечной сходимости ., при котором оно становится особым видом пространства Фреше , называемым FK-пространством .

Последовательность в наборе - это просто -значная карта , значение которой в обозначается вместо обычной нотации скобок ${\ Displaystyle х _ {\ пуля} = \ влево (х_ {п} \ вправо) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle х _ {\ пуля}: \ mathbb {N} \ к X}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle х_ {п}}$ ${\ Displaystyle х (п).}$

Обозначим поле либо действительных, либо комплексных чисел. Множество всех последовательностей элементов является векторным пространством для покомпонентного сложения ${\ Displaystyle \ mathbb {К}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {К} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {К}}$

Пространство последовательностей — это любое линейное подпространство ${\ Displaystyle \ mathbb {К} ^ {\ mathbb {N}}.}$