В математике , особенно в аксиоматической теории множеств , число Хартогса - это особый вид порядкового числа . В частности, если Х является любым набором , то число Хартогса из X является наименее порядковым α таким образом, что не существует впрыска от а в X . Если Х может быть вполне упорядоченным то кардинальное число альфа является минимальным кардинальной больше , чем у X . Если X не может быть хорошо упорядочен, то не может быть инъекции из Xк α. Однако, кардинальное число & alpha ; по - прежнему является минимальным кардинальным не менее или равна мощности X . (Если мы ограничимся кардинальными числами хорошо упорядочиваемых множеств, то число α будет наименьшим, которое не меньше или равно значению X. ) Отображение, переводящее X в α, иногда называют функцией Хартогса . Это отображение используется для построения чисел алеф, которые являются кардинальными числами бесконечных хорошо упорядочиваемых наборов.
Существование числа Хартогса было доказано Фридрихом Хартогсом в 1915 году с использованием только теории множеств Цермело – Френкеля (то есть без использования аксиомы выбора ).
Теорема Хартогса [ править ]
Теорема Хартогса утверждает, что для любого множества X существует ординал α такой, что ; то есть, например , что не существует впрыска от а до Х . Как порядковые хорошо упорядоченная, это сразу же следует существование ряда Хартогса для любого множества X . Кроме того, доказательство является конструктивным и дает число Гартогса из X .
Доказательство [ править ]
См. Goldrei 1996 .
Пусть будет класс всех порядковых чисел р , для которых инъективна функция существует из р в X .
Сначала проверим, что α - множество.
- X × X - это набор, как можно увидеть в Аксиоме набора мощности .
- Набор мощности из X × X представляет собой набор, аксиома набора мощности.
- Класс W всех рефлексивных порядков подмножеств X является определимым подклассом предыдущего множества, поэтому он задается схемой аксиом разделения .
- Класс всех порядковых типов порядковых номеров в W задается схемой аксиом замены , как
- (Область ( w ), w ) ( β , ≤)
- можно описать простой формулой.
Но этот последний набор в точности равен α . Теперь, поскольку транзитивный набор ординалов снова является ординалом, α - ординал. Кроме того, нет инъекции из α в X , потому что если бы она была, то мы получили бы противоречие, что α ∈ α . И , наконец, α является наименьшее такое порядковое, без введения в X . Это справедливо потому , что, так как & alpha ; ординальный, для любого & beta ; < & alpha ; , & beta ; ∈ & alpha ; поэтому существует инъекция из р в X .
Историческое замечание [ править ]
В 1915 году Хартогс не мог использовать ни ординалы фон Неймана, ни аксиому замещения , поэтому его результат является одним из теорий множеств Цермело и сильно отличается от современного изложения, приведенного выше. Вместо этого он рассматривал множество классов изоморфизма вполне упорядоченных подмножеств X и соотношение , в котором класс А предшествует , что из B , если является изоморфными с собственным начальным сегментом B . Хартогса показал , что это будет хорошо заказе больше , чем любой хорошо упорядоченное подмножество X . (Это должно быть исторически первое подлинное сооружение бесчисленногоТем не менее, основная цель его работы состояла в том, чтобы показать, что трихотомия для кардинальных чисел подразумевает (тогда 11-летнюю) теорему о хорошем упорядочении (и, следовательно, аксиому выбора).
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Гольдрей, Дерек (1996). Классическая теория множеств . Чепмен и Холл .
- Хартогс, Фриц (1915). "Über das Problem der Wohlordnung" . Mathematische Annalen (на немецком языке). 76 (4): 438–443. DOI : 10.1007 / BF01458215 . JFM 45.0125.01 . S2CID 121598654 .
- Jech, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Чарльз Морган. «Аксиоматическая теория множеств» (PDF) . Примечания к курсу . Бристольский университет . Проверено 10 апреля 2010 .
