Теорема Хартогса о раздельной голоморфности

---

В математике теорема Хартогса является фундаментальным результатом Фридриха Хартогса в теории нескольких комплексных переменных . Грубо говоря, он утверждает, что «отдельно аналитическая» функция непрерывна. Точнее, если функция является аналитической по каждой переменной z _i , 1 ≤ i ≤ n , а остальные переменные остаются постоянными, то F — непрерывная функция .${\ displaystyle F: {\ textbf {C}} ^ {n} \ to {\ textbf {C}}}$

Следствием этого является то, что функция F тогда фактически является аналитической функцией в смысле n -переменной (т. е. что локально она имеет разложение Тейлора ). Следовательно, «раздельная аналитичность» и «аналитичность» — совпадающие понятия в теории нескольких комплексных переменных.

Начиная с дополнительной гипотезы о том, что функция непрерывна (или ограничена), теорему гораздо легче доказать, и в этой форме она известна как лемма Осгуда .

Аналог этой теоремы для действительных переменных отсутствует . Если предположить, что функция дифференцируема (или даже аналитична ) по каждой переменной в отдельности, то неверно, что она обязательно будет непрерывной. Контрпример в двух измерениях дается${\ displaystyle f \ двоеточие {\ textbf {R}} ^ {n} \ to {\ textbf {R}}}$${\ Displaystyle е}$

Если дополнительно определить , эта функция имеет четко определенные частные производные в нуле и в нуле, но она не является непрерывной в нуле. (Действительно, пределы вдоль линий и не равны, поэтому нет никакого способа расширить определение, чтобы включить начало координат и обеспечить непрерывность функции там.)${\ Displaystyle е (0,0) = 0}$${\ Displaystyle х}$${\ Displaystyle у}$${\ Displaystyle х = у}$${\displaystyle x=-y}$${\displaystyle f}$

Эта статья включает материал из теоремы Хартогса о раздельной аналитичности в PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

---