Аксиома власти

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Элементы степенного множества множества { x , y , z }, упорядоченные по включению .

В математике , то аксиома булеана является одной из аксиом Цермело-Френкеля в аксиоматической теории множеств .

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:

${\ Displaystyle \ forall x \, \ существует y \, \ forall z \, [z \ in y \ iff \ forall w \, (w \ in z \ Rightarrow w \ in x)]}$

где у представляет собой набор мощности от х , . ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (х)}$

По-английски это говорит:

Для любого множества х , существует множество таких , что , учитывая любой набор г , это множество г является членом тогда и только тогда , когда каждый элемент г является также элементом х .${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (х)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (х)}$

Более кратко: для каждого набора существует набор, состоящий в точности из подмножеств .${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (х)}$${\ displaystyle x}$

Обратите внимание, что отношение подмножества не используется в формальном определении, поскольку отношение подмножества не является примитивным отношением в формальной теории множеств; а, подмножество определяется в терминах множества членов , . По аксиоме протяженности множество единственно.${\ displaystyle \ substeq}$${\ displaystyle \ in}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (х)}$

Аксиома степенного множества появляется в большинстве аксиоматизаций теории множеств. Обычно это считается бесспорным, хотя конструктивная теория множеств предпочитает более слабую версию, чтобы разрешить опасения по поводу предсказуемости .

Последствия [ править ]

Аксиома Power Set позволяет просто определить декартово произведение двух множеств и :${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle X \ times Y = \ {(x, y): x \ in X \ land y \ in Y \}.}$

Заметь

${\displaystyle x,y\in X\cup Y}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)}$

и, например, рассматривая модель, использующую упорядоченную пару Куратовского ,

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

и, таким образом, декартово произведение - это множество, поскольку

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}$

Можно определить декартово произведение любого конечного набора множеств рекурсивно:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

Заметим, что существование декартова произведения может быть доказано без использования аксиомы степенного множества, как в случае теории множеств Крипке – Платека .

Ссылки [ править ]

• Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 . 

Эта статья включает материал из Axiom of power, установленного на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .