Аксиома ограничения размера

Джон фон Нейман

В теории множеств , то аксиома ограничения размера была предложена Джоном фон Нейманом в его 1925 системы аксиом для множеств и классов . ^[1] Он формализует принцип ограничения размера , позволяющий избежать парадоксов, встречающихся в более ранних формулировках теории множеств, за счет признания того факта, что некоторые классы слишком велики, чтобы быть множествами. Фон Нейман осознал, что парадоксы вызваны тем, что этим большим классам разрешается быть членами класса. ^[2] Класс, который является членом класса, является набором; класс, который не является набором, является правильным классом . Каждый класс является подклассомиз V , класс всех множеств. ^[а] Аксиома ограничения размера говорит , что класс представляет собой набор , если и только если он меньше , чем V - то есть, нет функции отображения его на V . Как правило, эта аксиома утверждается в эквивалентной форме: класс является собственным классом , если и только если есть функция , которая отображает его на V .

Аксиома фон Неймана подразумевает аксиомы замены , разделения , объединения и глобального выбора . Это эквивалентно комбинации замены, объединения и глобального выбора в теории множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG) и теории множеств Морса – Келли . В более поздних изложениях теорий классов - например, Пола Бернейса , Курта Гёделя и Джона Л. Келли - используются аксиома замены, объединения и выбора, эквивалентная глобальному выбору, а не аксиоме фон Неймана. ^[3] В 1930 году Эрнст Цермело определил модели теории множеств, удовлетворяющие аксиоме ограничения размера. ^[4]

Абрахам Френкель и Азриэль Леви заявили, что аксиома ограничения размера не отражает всей «доктрины ограничения размера», потому что она не подразумевает аксиому набора силы . ^[5] Майкл Халлетт утверждал, что доктрина ограничения размера не оправдывает аксиому множества степеней и что «явное предположение фон Неймана [о малости множеств степеней] кажется предпочтительнее, чем неявно скрытое неявное предположение Цермело, Френкеля и Леви малость силовых установок ". ^[6]

Официальное заявление [ править ]

Обычная версия аксиомы ограничения размера - класс является собственным классом тогда и только тогда, когда существует функция, отображающая его на V, - выражается на формальном языке теории множеств как:

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ forall C {\ Bigl [} \ lnot \ exists D \ left (C \ in D \ right) \ iff \ exists F {\ bigl [} & \, \ forall y {\ bigl (} \ exists D (y \ in D) \ подразумевает \ exists x [\, x \ in C \ land (x, y) \ in F \,] {\ bigr)} \\ & \, \ land \ , \ forall x \ forall y \ forall z {\ bigl (} \, [\, (x, y) \ in F \ land (x, z) \ in F \,] \ подразумевает y = z {\ bigr) } \, {\ bigr]} \, {\ Bigr]} \ end {выровнены}}}

Гёдель ввел соглашение, согласно которому переменные верхнего регистра распространяются по всем классам, а переменные нижнего регистра - по всем наборам. ^[7] Это соглашение позволяет нам писать:

$\exists y\,\varphi (y)$ вместо $\exists y{\bigl (}\exists D(y\in D)\land \varphi (y){\bigr )}$
$\forall y\,\varphi (y)$ вместо $\forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \varphi (y){\bigr )}$

Согласно соглашению Гёделя, аксиома ограничения размера может быть записана:

{\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y\exists x{\bigl (}x\in C\land (x,y)\in F{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}

Последствия аксиомы [ править ]

Фон Нейман доказал, что из аксиомы ограничения размера следует аксиома замены , которая может быть выражена следующим образом: если F - функция, а A - множество, то F ( A ) - это множество. Это доказывается от противного . Пусть F - функция, а A - множество. Предположим, что F ( A ) - собственный класс. Тогда существует функция G , которая отображает F ( A ) на V . Поскольку составная функция G ∘ F отображает A на V, аксиома ограничения размера подразумевает, что A - собственный класс, что противоречит тому , что A - это множество. Следовательно, F ( A ) - множество. Поскольку аксиома замены подразумевает аксиому разделения , аксиома ограничения размера влечет аксиому разделения . ^[b]

Фон Нейман также доказал, что из его аксиомы следует, что V может быть хорошо упорядоченным . Доказательство начинается с доказательства от противного, что Ord , класс всех ординалов , является собственным классом. Предположим, что Ord - это множество. Поскольку это транзитивное множество , хорошо упорядоченное по ∈, оно является ординалом. Итак, Ord ∈ Ord , что противоречит тому , что Ord хорошо упорядочен по ∈. Следовательно, Ord - правильный класс. Так аксиома фон Неймана следует , что существует функция F , которая отображает Ord на V . Чтобы определить хорошее упорядочение V, пусть G - подкласс класса F, состоящий из упорядоченных пар (α, x ), где α - наименьшее β такое, что (β, x ) ∈ F ; то есть G = {(α, x ) ∈ F : ∀β ((β, x ) ∈ F ⇒ α ≤ β)}. Функция G представляет собой взаимно однозначное соответствие одному между подмножеством Ord и V . Следовательно, x < y, если G ⁻¹ (x) < G ⁻¹ (y) определяет хороший порядок V. Этот хороший порядок определяет функцию глобального выбора : пусть Inf ( x ) будет наименьшим элементом непустого множества x . Поскольку Inf ( x ) ∈ x , эта функция выбирает элемент x для каждого непустого множества x . Следовательно, Inf ( x ) является функцией глобального выбора, поэтому из аксиомы фон Неймана следует аксиома глобального выбора .

В 1968 году Азриэль Леви доказал, что из аксиомы фон Неймана следует аксиома союза . Во-первых, он доказал, не используя аксиому объединения, что каждый набор ординалов имеет верхнюю границу. Затем он использовал функцию, которая отображает Ord на V, чтобы доказать, что если A - множество, то ∪ A - это множество. ^[8]

Аксиомы замены, глобального выбора и объединения (с другими аксиомами NBG ) подразумевают аксиому ограничения размера. ^[c] Следовательно, эта аксиома эквивалентна комбинации замены, глобального выбора и объединения в теории множеств NBG или Морса – Келли . Эти теории множеств только заменили аксиому замены и форму аксиомы выбора на аксиому ограничения размера, потому что система аксиом фон Неймана содержит аксиому объединения. Доказательство Леви, что эта аксиома излишне, пришло много лет спустя. ^[9]

Аксиомы NBG с аксиомой глобального выбора, замененной обычной аксиомой выбора , не подразумевают аксиому ограничения размера. В 1964 году Уильям Б. Истон использовал принуждение для построения модели NBG с заменой глобального выбора аксиомой выбора. ^[10] В модели Истона V не может быть линейно упорядоченным , поэтому не может быть хорошо упорядоченным. Следовательно, аксиома ограничения размера не работает в этой модели. Ord является примером надлежащего класса, который не может быть отображен на V, потому что (как доказано выше), если существует функция, отображающая Ord на V , то V можно хорошо заказать.

Аксиомы NBG с аксиомой замены, замененной более слабой аксиомой разделения, не подразумевают аксиому ограничения размера. Определите как -й бесконечный начальный порядковый номер , который также является кардиналом ; нумерация начинается с , поэтому в 1939 году Гёдель указал, что L _ω_{_ω} , подмножество конструируемой вселенной , представляет собой модель ZFC с заменой, замененной разделением. ^[11] Чтобы расширить его до модели NBG с заменой на разделение, пусть его классами будут множества L _ω_{_{ω + 1}} , которые являются конструктивными подмножествами L _ω_{_ω} $\omega _{\alpha }$ $\alpha$ $\aleph _{\alpha }$ $0$ $\omega _{0}=\omega .$ . Эта модель удовлетворяет аксиомам существования классов NBG, поскольку ограничение множества переменных этих аксиом до L _{ω _ω} порождает экземпляры аксиомы разделения, которая выполняется в L. ^[d] Она удовлетворяет аксиоме глобального выбора, поскольку существует функция, принадлежащая L _{ω _{ω + 1,}} который отображает ω _ω на L _{ω _ω} , откуда следует, что L _{ω _ω} хорошо упорядочена. ^[e] Аксиома ограничения размера неверна, потому что собственный класс {ω _n : n ∈ ω} имеет мощность , поэтому он не может быть отображен на L _ω_{_ω} , которая имеет мощность ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} $\aleph _{\omega }$ . ^[f]

В письме 1923 г. к Цермело фон Нейман сформулировал первую версию своей аксиомы: класс является правильным тогда и только тогда, когда между ним и V существует взаимно однозначное соответствие . ^[2] Из аксиомы ограничения размера следует аксиома фон Неймана 1923 года. Таким образом, это также означает , что все собственные классы equinumerous с V .

Доказательство того, что аксиома ограничения размера подразумевает 1923 аксиома фон Неймана -

Чтобы доказать направление, позвольте быть классом и быть взаимно однозначным соответствием от к. Поскольку отображение на аксиому ограничения размера подразумевает, что это правильный класс. $\Longleftarrow$ $A$ $F$ $A$ $V.$ $F$ $A$ $V,$ $A$

Чтобы доказать направление, позвольте быть собственным классом. Мы определим хорошо упорядоченные классы и построим изоморфизмы порядка между и. Тогда изоморфизм порядка от до является взаимно однозначным соответствием между и $\Longrightarrow$ $A$ $(A,<)$ $(V,<),$ $(Ord,<),(A,<),$ $(V,<).$ $(A,<)$ $(V,<)$ $A$ $V.$

Выше было доказано, что аксиома ограничения размера подразумевает, что существует функция, которая отображается на также, была определена как подкласс , являющийся взаимно однозначным соответствием между и. Он определяет хороший порядок на if Следовательно, является изоморфизм порядка от до $F$ $Ord$ $V.$ $G$ $F$ $Dom(G)$ $V.$ $V\colon \,x<y\,$ $G^{-1}(x)<G^{-1}(y).$ $G$ $(Dom(G),<)$ $(V,<).$

Если это хорошо упорядоченный класс, его собственными начальными сегментами являются классы, в которых Now имеет свойство, состоящее в том, что все его собственные начальные сегменты являются наборами. Поскольку это свойство выполняется для Изоморфизм порядка означает, что это свойство имеет место для Поскольку это свойство выполняется для $(C,<)$ $\{x\in C:x<y\}$ $y\in C.$ $(Ord,<)$ $Dom(G)\subseteq Ord,$ $(Dom(G),<).$ $G$ $(V,<).$ $A\subseteq V,$ $(A,<).$

Для получения изоморфизма порядка от до используется следующая теорема: Если - собственный класс и соответствующие начальные сегменты являются множествами, то существует изоморфизм порядка от до ^[g]. Поскольку и удовлетворяют условию теоремы, существуют изоморфизмы порядка и Следовательно, изоморфизм порядка - это взаимно однозначное соответствие между и $(A,<)$ $(V,<),$ $P$ $(P,<)$ $(Ord,<)$ $(P,<).$ $(A,<)$ $(V,<)$ $I_{A}\colon (Ord,<)\rightarrow (A,<)$ $I_{V}\colon (Ord,<)\rightarrow (V,<).$ $I_{V}\circ I_{A}^{-1}\colon (A,<)\rightarrow (V,<)$ $A$ $V.$

Модели Цермело и аксиома ограничения размера [ править ]

Эрнст Цермело в 1900-х годах

В 1930 году Цермело опубликовал статью о моделях теории множеств, в которой доказал, что некоторые из его моделей удовлетворяют аксиоме ограничения размера. ^[4] Эти модели построены в ZFC с использованием кумулятивной иерархии V _α , которая определяется трансфинитной рекурсией :

V ₀ = ∅ . ^[час]
V _{& alpha ; + 1} = V _{& alpha} ; ∪ P ( V _{& alpha} ; ). То есть, объединение из V _{& alpha} ; и его набора мощности . ^[я]
Для предела β: V _β = ∪ _{α <β} V _α . То есть V _β является объединением предыдущего V _α .

Цермело работал с моделями вида V _κ, где κ - кардинал . Классы модели являются подмножествами из V _х , и ∈-соотношение в модели является стандартным ∈-отношение. Множества модели - это классы X такие, что X ∈ V _κ . ^[j] Цермело идентифицировал таких кардиналов κ, что V _κ удовлетворяет: ^[12]

Теорема 1. Класс X является множеством тогда и только тогда, когда | X | <κ.

Теорема 2. | V _κ | = κ.

Поскольку каждый класс является подмножеством V _κ , из теоремы 2 следует, что каждый класс X имеет мощность ≤ κ. Объединение этого с теоремой 1 доказывает: каждый собственный класс имеет мощность κ. Следовательно, каждый собственный класс может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с V _κ . Это соответствие является подмножеством V _κ , так что это класс модели. Следовательно, для модели V _κ выполняется аксиома ограничения размера .

Теорема о том, что V _κ имеет хороший порядок, может быть доказана непосредственно . Поскольку κ - ординал мощности κ и | V _κ | = κ, существует взаимно однозначное соответствие между κ и V _κ . Это соответствие обеспечивает хорошее упорядочение V _κ . Доказательство фон Неймана косвенное . Он использует парадокс Бурали-Форти, чтобы доказать от противного, что класс всех ординалов является собственным классом. Следовательно, аксиома ограничения размера подразумевает, что существует функция, которая отображает класс всех ординалов на класс всех множеств. Эта функция обеспечивает хорошее упорядочение V _κ. ^[13]

Модель V _ω[ править ]

Чтобы продемонстрировать, что теоремы 1 и 2 верны для некоторого V _κ , мы сначала докажем, что если набор принадлежит V _α, то он принадлежит всем последующим V _β , или, что эквивалентно: V _α ⊆ V _β для α ≤ β. Это доказывается трансфинитной индукцией по β:

β = 0: V ₀ ⊆ V ₀ .
Для β + 1: По предположению индукции V _α ⊆ V _β . Следовательно, V _α ⊆ V _β ⊆ V _β ∪ P ( V _β ) = V _{β + 1} .
Для предела β: если α <β, то V _α ⊆ ∪ _{ξ <β} V _ξ = V _β . Если α = β, то V _α ⊆ V _β .

Наборы входят в совокупную иерархию через набор мощности P ( V _β ) на этапе β + 1. Потребуются следующие определения:

Если x - множество, rank ( x ) - наименьший ординал β такой, что x ∈ V _{β + 1} . ^[14]

Супремумом из множества ординалы А, обозначается вир А, является наименее порядковое & beta ; таким образом, что α ≤ β для всех а ∈ А.

Самая маленькая модель Цермело - это V _ω . Математическая индукция доказывает , что V _п является конечным для всех п <ω:

| V ₀ | = 0.
| V _{n +1} | = | V _n ∪ P ( V _n ) | ≤ | V _n | + 2 ^{| V _n |} , которая конечна, поскольку V _n конечна по предположению индукции.

Доказательство теоремы 1: множество X входит в V _ω через P ( V _n ) для некоторого n <ω, поэтому X ⊆ V _n . Поскольку V _n конечно, X конечно. Наоборот : если класс X конечен, пусть N = sup {rank ( x ): x ∈ X }. Поскольку rank ( x ) ≤ N для всех x ∈ X , имеем X ⊆ V _{N +1}, поэтому X ∈ V _{N +2} ⊆ V _ω . Следовательно, X ∈ V _ω .

Доказательство теоремы 2: V _ω является объединением счетного бесконечного числа конечных множеств возрастающего размера. Следовательно, он имеет мощность , равную ω по кардинальному назначению фон Неймана . $\aleph _{0}$

Множества и классы V _ω удовлетворяют всем аксиомам NBG, кроме аксиомы бесконечности . ^[k]

Модели V _κ, где κ - сильно недоступный кардинал [ править ]

При доказательстве теорем 1 и 2 для V _ω использовались два свойства конечности :

Если λ - конечный кардинал, то 2 ^λ конечно.
Если A - такой набор ординалов, что | А | конечно и α конечно для всех α ∈ A , то sup A конечно.

Чтобы найти модели, удовлетворяющие аксиоме бесконечности, замените «конечный» на «<κ», чтобы получить свойства, которые определяют сильно недоступные кардиналы . Кардинал κ сильно недоступен, если κ> ω и:

Если λ - такой кардинал, что λ <κ, то 2 ^λ <κ.
Если A - такой набор ординалов, что | А | <κ и α <κ для всех α ∈ A , то sup A <κ.

Эти свойства утверждают, что κ не может быть достигнут снизу. Первое свойство гласит, что κ не может быть достигнуто с помощью наборов мощности; второй говорит, что κ не может быть достигнуто по аксиоме замещения. ^[1] Так же, как аксиома бесконечности требуется для получения ω, требуется аксиома для получения сильно недоступных кардиналов. Цермело постулировал существование неограниченной последовательности сильно недоступных кардиналов. ^[м]

Если κ - сильно недоступный кардинал, то трансфинитная индукция доказывает | V _α | <κ для всех α <κ:

α = 0: | V ₀ | = 0.
Для α + 1: | V _{α + 1} | = | V _α ∪ P ( V _α ) | ≤ | V _α | + 2 ^{| V _α |} = 2 ^{| V _α |} <κ. Последнее неравенство использует индуктивную гипотезу, а κ строго недоступен.
Для предела α: | V _α | = | ∪ _{ξ <α} V _ξ | ≤ sup {| V _ξ | : ξ <α} <κ. Последнее неравенство использует индуктивную гипотезу, а κ строго недоступен.

Доказательство теоремы 1: множество X входит в V _κ через P ( V _α ) для некоторого α <κ, поэтому X ⊆ V _α . Поскольку | V _α | <κ, получаем | X | <κ. Наоборот: если класс X имеет | X | <κ, пусть β = sup {rank ( x ): x ∈ X }. Поскольку κ сильно недоступен, | X | <κ и rank ( x ) <κ для всех x ∈ X влечет β = sup {rank ( x ): x ∈ X} <κ. Поскольку rank ( x ) ≤ β для всех x ∈ X , имеем X ⊆ V _{β + 1} , поэтому X ∈ V _{β + 2} ⊆ V _κ . Следовательно, X ∈ V _κ .

Доказательство теоремы 2: | V _κ | = | ∪ _{α <κ} V _α | ≤ sup {| V _α | : α <κ}. Пусть β - этот супремум. Поскольку каждый ординал в супремуме меньше κ, мы имеем β ≤ κ. Предположим, что β <κ. Тогда существует кардинал λ такой, что β <λ <κ; например, пусть λ = 2 ^{| β |}. Поскольку λ ⊆ V _λ и | V _λ | находится в супремуме, имеем λ ≤ | V _λ | ≤ β. Это противоречит β <λ. Следовательно, | V _κ | = β = κ.

Множества и классы V _κ удовлетворяют всем аксиомам NBG. ^[n]

Доктрина ограничения размера [ править ]

Доктрина ограничения размера - это эвристический принцип, который используется для обоснования аксиом теории множеств. Он избегает теоретических парадоксов, ограничивая полную (противоречивую) схему аксиомы понимания:

\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists x\,\forall u\,(u\in x\iff \varphi (u,w_{1},\ldots ,w_{n}))

экземплярам, «которые не дают наборов« намного больших », чем те, которые они используют». ^[15]

Если «больше» означает «больше по количеству», то большинство аксиом может быть оправдано: аксиома разделения дает подмножество x , которое не больше x . Аксиома замены дает набор изображений f ( x ), размер которого не превышает x . Аксиома объединения дает объединение, размер которого не превышает размера самого большого набора в объединении, умноженного на количество наборов в объединении. ^[16] Аксиома выбора порождает набор выбора, размер которого не превышает размер данного набора непустых множеств.

Доктрина ограничения размера не оправдывает аксиому бесконечности:

\exists y\,[\emptyset \in y\,\land \,\forall x(x\in y\implies x\cup \{x\}\in y)],

который использует пустой набор и наборы, полученные из пустого набора, повторяя операцию порядкового преемника . Поскольку эти множества конечны, любое множество, удовлетворяющее этой аксиоме, например ω, намного больше этих множеств. Френкель и Леви рассматривают пустое множество и бесконечное множество натуральных чисел , существование которых подразумевается аксиомами бесконечности и разделения, как отправную точку для порождающих множеств. ^[17]

Подход фон Неймана к ограничению размера использует аксиому ограничения размера. Как упоминалось в разделе «Последствия аксиомы» , аксиома фон Неймана подразумевает аксиомы разделения, замены, объединения и выбора. Подобно Френкелю и Леви, фон Нейману пришлось добавить к своей системе аксиому бесконечности, поскольку она не может быть доказана с помощью других его аксиом. ^[o] Различия между подходом фон Неймана к ограничению размера и подходом Френкеля и Леви заключаются в следующем:

Аксиома фон Неймана помещает ограничение размера в систему аксиом, что позволяет доказать большинство установленных аксиом существования. Доктрина ограничения размера оправдывает аксиомы, используя неформальные аргументы, которые более открыты для разногласий, чем доказательства.
Фон Нейман принял аксиому множества степеней, поскольку она не может быть доказана с помощью других его аксиом. ^[p] Френкель и Леви утверждают, что доктрина ограничения размера оправдывает аксиому набора силы. ^[18]

Существуют разногласия по поводу того, оправдывает ли доктрина ограничения размера аксиому набора власти. Майкл Халлетт проанализировал аргументы Френкеля и Леви. Некоторые из их аргументов измеряют размер не по количеству, а по другим критериям - например, Френкель вводит «полноту» и «расширяемость». Халлетт указывает на то, что он считает ошибками в их аргументах. ^[19]

Затем Халлетт утверждает, что результаты теории множеств, по-видимому, подразумевают отсутствие связи между размером бесконечного множества и размером его набора степеней. Это означало бы, что доктрина ограничения размера неспособна оправдать аксиому набора степеней, поскольку требует, чтобы набор степеней x не был «слишком большим», чем x . В случае, когда размер измеряется кардинальным размером, Халлетт упоминает работу Пола Коэна . ^[20] Начиная с моделью ZFC и Коэн построил модель , в которой мощность множества мощности со является если конфинальность из не ω; в противном случае его мощность равна . ^[21] $\aleph _{\alpha }$ $\aleph _{\alpha }$ $\aleph _{\alpha }$ $\aleph _{\alpha +1}$ Поскольку мощность набора степеней ω не имеет границ, нет связи между кардинальным размером ω и кардинальным размером P (ω). ^[22]

Халлетт также обсуждает случай, когда размер измеряется «полнотой», которая считает коллекцию «слишком большой», если она имеет «неограниченное понимание» или «неограниченный объем». ^[23] Он указывает, что для бесконечного множества мы не можем быть уверены, что у нас есть все его подмножества, не пройдя через безграничные пределы вселенной. Он также цитирует Джона Л. Белла и Моше Мачовера : «... множество степеней P ( u ) данного [бесконечного] множества u пропорционально не только размеру u, но и« богатству »всей вселенной. ... " ^[24] Сделав эти наблюдения, Халлетт заявляет:"Можно заподозрить, что существует простонет связи между размером (полнотой) бесконечного a и размером P ( a ) » ^[20].

Халлетт считает, что доктрина ограничения размера ценна для обоснования большинства аксиом теории множеств. Его аргументы только указывают на то, что он не может оправдать аксиомы бесконечности и мощности. ^[25] Он заключает, что «явное предположение фон Неймана [о малости степенных множеств] кажется предпочтительнее неявно скрытого неявного предположения Цермело, Френкеля и Леви о малости степенных множеств». ^[6]

История [ править ]

Фон Нейман разработал аксиому ограничения размера как новый метод идентификации множеств. ZFC идентифицирует наборы с помощью своих аксиом построения наборов. Однако, как заметил Абрахам Френкель : «Довольно произвольный характер процессов, выбранных в аксиомах Z [ZFC] в качестве основы теории, оправдывается историческим развитием теории множеств, а не логическими аргументами. " ^[26]

Историческое развитие аксиом ZFC началось в 1908 году, когда Цермело выбрал аксиомы, чтобы устранить парадоксы и поддержать свое доказательство теоремы о хорошем порядке . ^[q] В 1922 году Абрахам Френкель и Торальф Сколем указали, что аксиомы Цермело не могут доказать существование множества { Z ₀ , Z ₁ , Z ₂ , ...}, где Z ₀ - множество натуральных чисел , а Z _{n +1} - набор мощности Z _n . ^[27]Они также ввели аксиому замены, которая гарантирует существование этого множества. ^[28] Однако добавление аксиом по мере необходимости не гарантирует существования всех разумных наборов и не проясняет разницу между наборами, которые безопасны в использовании, и наборами, которые приводят к противоречиям.

В письме 1923 г. к Цермело фон Нейман изложил подход к теории множеств, который определяет «слишком большие» множества, которые могут привести к противоречиям. ^[r] Фон Нейман идентифицировал эти множества, используя критерий: «Множество« слишком велико »тогда и только тогда, когда оно эквивалентно множеству всех вещей». Затем он ограничил использование этих множеств: «... чтобы избежать парадоксов, те [множества], которые являются« слишком большими », объявлены недопустимыми как элементы ». ^[29] Комбинируя это ограничение с его критерием, фон Нейман получил свою первую версию аксиомы ограничения размера, что на языке классов состояний: Класс представляет собой собственный класс , если и только если оно equinumerous с V .^[2]К 1925 году фон Нейман модифицировал свою аксиому, изменив «он равномерен с V » на «он может быть отображен на V », что дает аксиому ограничения размера. Эта модификация позволила фон Нейману дать простое доказательство аксиомы замены. ^[1] аксиома идентифицирует множества фон Неймана как классы , которые не могут быть отображены на V . Фон Нейман понял, что даже с этой аксиомой его теория множеств не полностью характеризует множества. ^[s]

Гёдель счел аксиому фон Неймана «очень интересной»:

«В частности, я считаю, что его необходимое и достаточное условие [фон Неймана], которому свойство должно удовлетворять для определения множества, представляет большой интерес, поскольку оно проясняет отношение аксиоматической теории множеств к парадоксам. понимает суть вещей, видно из того факта, что он подразумевает аксиому выбора, которая раньше стояла совершенно отдельно от других экзистенциальных принципов. Выводы, граничащие с парадоксами, которые стали возможными благодаря такому взгляду на вещи, кажутся для меня не только очень элегантно, но и очень интересно с логической точки зрения. ^[t] Более того, я считаю, что только идя дальше в этом направлении, то есть в направлении, противоположном конструктивизму, будут ли решены основные проблемы абстрактной теории множеств » ^[30].

Заметки [ править ]

^ Доказательство: Пустьбыть классом и X ∈ . Тогда Х представляет собой набор, так что X ∈ V . Поэтому, ⊆ V .
^ Доказательство, использующее аксиому фон Неймана: пусть A будет множеством, а B будет подклассом, порожденным аксиомой разделения. Используя доказательство от противного, предположим, что B - собственный класс. Тогда существует функция F отображение В на V . Определим функцию G, отображающую A в V : если x ∈ B, то G ( x ) = F ( x ); если x ∈ A \ B, то G ( x ) = ∅ . Так как F отображает А на V , G отображает А на V . Таким образом, аксиома ограничения размера подразумевает, что A - правильный класс, что противоречит тому , что A - это множество. Следовательно, B - множество.
^ Это можно перефразировать так: NBG подразумевает аксиому ограничения размера. В 1929 году фон Нейман доказал, что система аксиом, которая позже превратилась в NBG, подразумевает аксиому ограничения размера. ( Феррейрос 2007 , стр. 380).
^ Переменная набора аксиомы ограничена в правой части «тогда и только тогда». Кроме того, переменные класса аксиомы преобразуются в переменные набора. Например, аксиома существования классастановитсяаксиомой существованиякласса. Аксиомы существования класса находятся в Gödel 1940 , p. 5. $\forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\Leftrightarrow u\notin A)]$ $\forall a\,\exists b\,\forall u\,[u\in b\Leftrightarrow (u\in L_{\omega _{\omega }}\land u\notin a)].$
^ Гёдель определил функцию,которая отображает класс ординалов на. Функция(которая является ограничение пок) отображаетна, и она принадлежитпотому что это построимо подмножество. Гёдель использует обозначениядля. ( Гёдель 1940 , стр. 37–38, 54.) $F$ $L$ ${F|}_{\omega _{\omega }}$ $F$ $\omega _{\omega }$ $\omega _{\omega }$ $L_{\omega _{\omega }}$ $L_{\omega _{\omega +1}}$ $L_{\omega _{\omega }}$ $F''\omega _{\alpha }$ $L_{\omega _{\alpha }}$
^ Доказательство от противного, чтоэто собственный класс : Предположим, что это набор. По аксиоме объединения,есть множество. Это объединение равно, собственный класс модели всех ординалов, что противоречит объединению, являющемуся набором. Следовательно,это правильный класс. Доказательство того, чтофункцияотображаетсяна, следовательно,такжеследуетСледовательно, $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ $\cup \,\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ $\omega _{\omega }$ $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$
$|L_{\omega _{\omega }}|=\aleph _{\omega }\!:$ ${F|}_{\omega _{\omega }}$ $\omega _{\omega }$ $L_{\omega _{\omega }}$ $|L_{\omega _{\omega }}|\leq |\omega _{\omega }|.$ $\omega _{\omega }\subseteq L_{\omega _{\omega }}$ $|\omega _{\omega }|\leq |L_{\omega _{\omega }}|.$ $|L_{\omega _{\omega }}|=|\omega _{\omega }|=\aleph _{\omega }.$
^ Это первая половина теоремы 7.7 в Gödel 1940 , с. 27. Гедель определяет изоморфизм порядкапо трансфинитной рекурсии : $F:(Ord,<)\rightarrow (A,<)$ $F(\alpha )=Inf(A\setminus \{F(\beta ):\beta \in \alpha \}).$
^ Это стандартное определение V ₀ . Цермел пусть V ₀ некоторое множество праэлементов и доказалчтоесли этот набор содержит единственный элемент, полученная модель удовлетворяет аксиому ограничения размера (его доказательство также работает для V ₀ = ∅). Цермело заявил, что аксиома не верна для всех моделей, построенных из набора элементов. ( Zermelo 1930 , p. 38; английский перевод: Ewald 1996 , p. 1227.)
^ Это определение Цермело ( Zermelo 1930 , p. 36; английский перевод: Ewald 1996 , p. 1225.). Если V ₀ = ∅, это определение эквивалентно стандартному определению V _{α + 1} = P ( V _α ), поскольку V _α ⊆ P ( V _α ) ( Kunen 1980 , p. 95; Kunen использует обозначение R (α) вместо из V _α ). Если V ₀ представляет собой набор мочевых элементов, стандартное определение исключает мочевые элементы в V ₁ .
^ Если X есть множество, то есть класс Y такоечто X ∈ Y . Поскольку Y ⊆ V _κ , имеем X ∈ V _κ . Наоборот: если X ∈ V _κ , то X принадлежит классу, поэтому X - множество.
^ Цермело доказал, что V _ω удовлетворяет ZFC без аксиомы бесконечности. Аксиомы существования классов NBG ( Gödel 1940 , стр. 5) верны, потому что V _ω - это множество, если смотреть с точки зрения теории множеств, которая его строит (а именно, ZFC). Следовательно, аксиома разделения порождает подмножества V _ω , удовлетворяющие аксиомам существования классов.
^ Цермело ввел сильно недоступные кардиналы κ, чтобы V _κ удовлетворял ZFC. Аксиомы власти и замещения привели его к свойствам сильно недоступных кардиналов. ( Zermelo 1930 , pp. 31–35; английский перевод: Ewald 1996 , pp. 1221–1224). Независимо, Вацлав Серпинский и Альфред Тарский представили этих кардиналов в 1930 году ( Sierpiński & Tarski 1930 ).
^ Цермело использовал эту последовательность кардиналов для получения последовательности моделей, объясняющих парадоксы теории множеств, такие как парадокс Бурали-Форти и парадокс Рассела . Он заявил, что парадоксы «зависят исключительно от запутывания самой теории множеств ... с отдельными моделями, представляющими ее. То, что в одной модели выглядит как« сверхконечное не- или сверхмножество », в следующей модели является совершенно хорошим и достоверным. набор с кардинальным числом и порядковым типом, и сам по себе является краеугольным камнем для построения новой области [модели] ". ( Zermelo 1930 , стр. 46–47; английский перевод: Ewald 1996 , стр. 1223.)
^ Цермело доказал, что V _κ удовлетворяет ZFC, если κ - сильно недоступный кардинал. Аксиомы существования классов NBG ( Gödel 1940 , стр. 5) верны, потому что V _κ является множеством, если смотреть с точки зрения теории множеств, которая его строит (а именно, ZFC + существует бесконечно много сильно недоступных кардиналов). Следовательно, аксиома разделения порождает подмножества V _κ , удовлетворяющие аксиомам существования классов.
^ Модель, множества которой являются элементамии чьи классы являются подмножествами,удовлетворяет всем его аксиомам, кроме аксиомы бесконечности, которая терпит неудачу, потому что все множества конечны. $V_{\omega }$ $V_{\omega }$
^ Модель, множества которой являются элементамии чьи классы являются элементами,удовлетворяет всем его аксиомам, кроме аксиомы степенного множества. Эта аксиома неверна, потому что все множества счетны. $L_{\omega _{1}}$ $L_{\omega _{2}}$
^ «... мы должны, с одной стороны, достаточно ограничить эти принципы [аксиомы], чтобы исключить все противоречия, а с другой стороны, принять их достаточно широко, чтобы сохранить все, что является ценным в этой теории». ( Zermelo 1908 , p. 261; английский перевод: van Heijenoort 1967a , p. 200). Грегори Мур утверждает, что «аксиоматизация Цермело была в первую очередь мотивирована желанием обеспечить демонстрацию им теоремы о хорошем порядке ...» (Moore 1982, pp. 158–160).
↑ Фон Нейман опубликовал вступительную статью о своей системе аксиом в 1925 году ( von Neumann 1925 ; английский перевод: van Heijenoort 1967c ). В 1928 году он подробно описал свою систему ( von Neumann 1928 ).
^ Нейман исследовал ли его теория множеств категорична ; то есть, определяет ли он однозначно множества в том смысле, что любые две его модели изоморфны . Он показал, что она не категорична из-за слабости аксиомы регулярности : эта аксиома только исключает нисходящие ∈-последовательности из существующих в модели; нисходящие последовательности могут все еще существовать вне модели. Модель, имеющая «внешние» убывающие последовательности, не изоморфна модели, не имеющей таких последовательностей, поскольку в этой последней модели отсутствуют изоморфные изображения для наборов, принадлежащих внешним убывающим последовательностям. Это привело фон Неймана к выводу, «что, похоже, категорической аксиоматизации теории множеств вообще не существует» ( von Neumann 1925, п. 239; Английский перевод: van Heijenoort 1967c , p. 412).
^ Например, доказательство фон Неймана того, что его аксиома подразумевает теорему о хорошем порядке, использует парадокс Бурали-Форте ( фон Нейман, 1925 , стр. 223; английский перевод: van Heijenoort 1967c , стр. 398).

Ссылки [ править ]

^ a b фон Нейман 1925 , стр. 223; Английский перевод: van Heijenoort 1967c , стр. 397–398.
^ а б в Халлетт 1984 , стр. 290.
↑ Бернейс, 1937 , стр. 66–70; Бернейс 1941 , стр. 1–6. Гёдель 1940 , стр. 3–7. Келли, 1955 , стр. 251–273.
^ а б Цермело 1930 ; Английский перевод: Эвальд 1996 .
Перейти ↑ Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , p. 137.
^ а б Халлетт 1984 , стр. 295.
Перейти ↑ Gödel 1940 , p. 3.
^ Леви 1968 .
↑ Это произошло 43 года спустя: фон Нейман сформулировал свои аксиомы в 1925 году, а доказательство Леви появилось в 1968 году ( von Neumann 1925 , Levy 1968 ).
Перейти ↑ Easton 1964 , pp. 56a-64.
Перейти ↑ Gödel 1939 , p. 223.
^ Эти теоремы являются частью Второй теоремы развития Цермело. ( Zermelo 1930 , p. 37; английский перевод: Ewald 1996 , p. 1226.)
^ фон Нейман 1925 , стр. 223; Английский перевод: van Heijenoort 1967c , p. 398. Доказательство фон Неймана, в котором используются только аксиомы, имеет то преимущество, что оно применяется ко всем моделям, а не только к V _κ .
^ Kunen 1980 , стр. 95.
^ Френкель, Бар-Гиллель и Леви 1973 , стр. 32137.
Перейти ↑ Hallett 1984 , p. 205.
Перейти ↑ Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , p. 95.
Перейти ↑ Hallett 1984 , pp. 200, 202.
^ Холлет 1984 , стр. 200-207.
^ а б Халлетт 1984 , стр. 206–207.
^ Коэн 1966 , стр. 134.
Перейти ↑ Hallett 1984 , p. 207.
Перейти ↑ Hallett 1984 , p. 200.
↑ Bell & Machover 2007 , стр. 509.
Перейти ↑ Hallett 1984 , pp. 209–210.
^ Историческое введение в Бернейс 1991 , стр. 31.
↑ Fraenkel 1922 , pp. 230–231. Сколем 1922 г . ; Английский перевод: van Heijenoort 1967b , стр. 296–297).
^ Ferreiros 2007 , стр. 369. В 1917 году Дмитрий Мириманов опубликовал форму замены, основанную на кардинальной эквивалентности ( Mirimanoff 1917 , с. 49).
Перейти ↑ Hallett 1984 , pp. 288, 290.
↑ Из письма Гёделя от 8 ноября 1957 года Станиславу Уламу ( Kanamori 2003 , p. 295).

Библиография [ править ]

Белл, Джон Л .; Machover, Моше (2007), курс математической логики , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2844-5.
Bernays, Павел (1937), "Система аксиоматической теории множеств, Часть I", Журнал символической логики , 2 (1): 65-77, DOI : 10,2307 / 2268862 , JSTOR 2268862.
Bernays, Павел (1941), "Система аксиоматической теории множеств-Часть II", Журнал символической логики , 6 (1): 1-17, DOI : 10,2307 / 2267281 , JSTOR 2267281.
Бернейс, Пол (1991), теория аксиоматических множеств , Dover Publications, ISBN 0-486-66637-9.
Коэн, Пол (1966), теория множеств и гипотеза континуума , WA Бенджамин, ISBN 978-0-486-46921-8.
Истон, Уильям Б. (1964), Полномочия обычных кардиналов (докторская диссертация), Принстонский университет.
Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-8349-7.
Френкеля, Авраам (1922), "Zu ден Grundlagen дер канторовского Zermeloschen Mengenlehre" , Mathematische Annalen , 86 (3-4): 230-237, DOI : 10.1007 / bf01457986.
Френкель, Авраам; Бар-Гилель, Иегошуа; Леви, Азриэль (1973), Основы теории множеств (2-е пересмотренное издание), Базель, Швейцария: Elsevier, ISBN 0-7204-2270-1.
Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-8349-7.
Гедель, Курт (1939), «Постоянство Доказательство для обобщенной гипотезы континуума» (PDF) , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 25 (4): 220-224, DOI : 10.1073 / pnas.25.4 .220 , PMC 1077751 , PMID 16588293.
Гёдель, Курт (1940), Непротиворечивость гипотезы континуума , Princeton University Press.
Халлетт, Майкл (1984), канторианская теория множеств и ограничение размера , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 0-19-853179-6.
Канамори, Акихиро (2003), «Станислав Улам» (PDF) , в Соломоне Фефермане и Джоне У. Доусоне-младшем (ред.), Собрание сочинений Курта Гёделя, том V: переписка HZ , Clarendon Press, стр. 280–300 , ISBN 0-19-850075-0.
Келли, Джон Л. (1955), Общая топология , Van Nostrand, ISBN 978-0-387-90125-1.
Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Северная Голландия, ISBN 0-444-86839-9.
Леви, Azriel (1968), "О системе аксиом фон Неймана для теории множеств", American Mathematical Monthly , 75 (7): 762-763, DOI : 10,2307 / 2315201 , JSTOR 2315201.
Мириманов, Дмитрий (1917), "Антиномии Рассела и Бурали-Форти и основная проблема теории ансамблей", L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52.
Мур, Грегори Х. (1982), Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние , Springer, ISBN 0-387-90670-3.
Серпинский, Вацлав; Тарский, Альфред (1930), "Sur ипе недвижимость , caractéristique де nombres inaccessibles" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 : 292-300, DOI : 10,4064 / фм 15-1-292-300 , ISSN 0016-2736.
Сколем, Торальф (1922), "Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre", Matematikerkongressen i Helsingfors den 4-7 июля, 1922 , стр. 217–232.
- Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (1967b), «Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 , Harvard University Press, стр. 290-301, ISBN 978-0-674-32449-7.
фон Нейман, Джон (1925), "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 154 : 219–240.
- Английский перевод: Ван Хейеноорт, Жан (1967c), «Аксиоматизация теории множеств», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 , Harvard University Press, стр. 393-413, ISBN 978-0-674-32449-7.
фон Нейман, Джон (1928), «Die Axiomatisierung der Mengenlehre» , Mathematische Zeitschrift , 27 : 669–752, doi : 10.1007 / bf01171122.
Цермело, Эрнст (1908), "Untersuchungen über умереть Grundlagen дер Mengenlehre" , Mathematische Annalen , 65 (2): 261-281, DOI : 10.1007 / bf01449999.
- Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (1967a), «Исследования основ теории множеств», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 , Harvard University Press, стр. 199-215, ISBN 978-0-674-32449-7.
Цермело, Эрнст (1930), "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, doi : 10.4064 / fm-16-1-29-47.
- Английский перевод: Эвальд, Уильям Б. (1996), «О граничных числах и областях множеств: новые исследования в основах теории множеств», От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики , Oxford University Press , стр. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.

[3] Доказательство: Пустьбыть классом и X ∈ . Тогда Х представляет собой набор, так что X ∈ V . Поэтому, ⊆ V .

[9] Доказательство, использующее аксиому фон Неймана: пусть A будет множеством, а B будет подклассом, порожденным аксиомой разделения. Используя доказательство от противного, предположим, что B - собственный класс. Тогда существует функция F отображение В на V . Определим функцию G, отображающую A в V : если x ∈ B, то G ( x ) = F ( x ); если x ∈ A \ B, то G ( x ) = ∅ . Так как F отображает А на V , G отображает А на V . Таким образом, аксиома ограничения размера подразумевает, что A - правильный класс, что противоречит тому , что A - это множество. Следовательно, B - множество.

[11] Это можно перефразировать так: NBG подразумевает аксиому ограничения размера. В 1929 году фон Нейман доказал, что система аксиом, которая позже превратилась в NBG, подразумевает аксиому ограничения размера. ( Феррейрос 2007 , стр. 380).

[15] Переменная набора аксиомы ограничена в правой части «тогда и только тогда». Кроме того, переменные класса аксиомы преобразуются в переменные набора. Например, аксиома существования классастановитсяаксиомой существованиякласса. Аксиомы существования класса находятся в Gödel 1940 , p. 5. $\forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\Leftrightarrow u\notin A)]$ $\forall a\,\exists b\,\forall u\,[u\in b\Leftrightarrow (u\in L_{\omega _{\omega }}\land u\notin a)].$

[16] Гёдель определил функцию,которая отображает класс ординалов на. Функция(которая является ограничение пок) отображаетна, и она принадлежитпотому что это построимо подмножество. Гёдель использует обозначениядля. ( Гёдель 1940 , стр. 37–38, 54.) $F$ $L$ ${F|}_{\omega _{\omega }}$ $F$ $\omega _{\omega }$ $\omega _{\omega }$ $L_{\omega _{\omega }}$ $L_{\omega _{\omega +1}}$ $L_{\omega _{\omega }}$ $F''\omega _{\alpha }$ $L_{\omega _{\alpha }}$

[17] Доказательство от противного, чтоэто собственный класс : Предположим, что это набор. По аксиоме объединения,есть множество. Это объединение равно, собственный класс модели всех ординалов, что противоречит объединению, являющемуся набором. Следовательно,это правильный класс. Доказательство того, чтофункцияотображаетсяна, следовательно,такжеследуетСледовательно, $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ $\cup \,\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ $\omega _{\omega }$ $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$
$|L_{\omega _{\omega }}|=\aleph _{\omega }\!:$ ${F|}_{\omega _{\omega }}$ $\omega _{\omega }$ $L_{\omega _{\omega }}$ $|L_{\omega _{\omega }}|\leq |\omega _{\omega }|.$ $\omega _{\omega }\subseteq L_{\omega _{\omega }}$ $|\omega _{\omega }|\leq |L_{\omega _{\omega }}|.$ $|L_{\omega _{\omega }}|=|\omega _{\omega }|=\aleph _{\omega }.$

[18] Это первая половина теоремы 7.7 в Gödel 1940 , с. 27. Гедель определяет изоморфизм порядкапо трансфинитной рекурсии : $F:(Ord,<)\rightarrow (A,<)$ $F(\alpha )=Inf(A\setminus \{F(\beta ):\beta \in \alpha \}).$

[19] Это стандартное определение V ₀ . Цермел пусть V ₀ некоторое множество праэлементов и доказалчтоесли этот набор содержит единственный элемент, полученная модель удовлетворяет аксиому ограничения размера (его доказательство также работает для V ₀ = ∅). Цермело заявил, что аксиома не верна для всех моделей, построенных из набора элементов. ( Zermelo 1930 , p. 38; английский перевод: Ewald 1996 , p. 1227.)

[20] Это определение Цермело ( Zermelo 1930 , p. 36; английский перевод: Ewald 1996 , p. 1225.). Если V ₀ = ∅, это определение эквивалентно стандартному определению V _{α + 1} = P ( V _α ), поскольку V _α ⊆ P ( V _α ) ( Kunen 1980 , p. 95; Kunen использует обозначение R (α) вместо из V _α ). Если V ₀ представляет собой набор мочевых элементов, стандартное определение исключает мочевые элементы в V ₁ .

[21] Если X есть множество, то есть класс Y такоечто X ∈ Y . Поскольку Y ⊆ V _κ , имеем X ∈ V _κ . Наоборот: если X ∈ V _κ , то X принадлежит классу, поэтому X - множество.

[25] Цермело доказал, что V _ω удовлетворяет ZFC без аксиомы бесконечности. Аксиомы существования классов NBG ( Gödel 1940 , стр. 5) верны, потому что V _ω - это множество, если смотреть с точки зрения теории множеств, которая его строит (а именно, ZFC). Следовательно, аксиома разделения порождает подмножества V _ω , удовлетворяющие аксиомам существования классов.

[26] Цермело ввел сильно недоступные кардиналы κ, чтобы V _κ удовлетворял ZFC. Аксиомы власти и замещения привели его к свойствам сильно недоступных кардиналов. ( Zermelo 1930 , pp. 31–35; английский перевод: Ewald 1996 , pp. 1221–1224). Независимо, Вацлав Серпинский и Альфред Тарский представили этих кардиналов в 1930 году ( Sierpiński & Tarski 1930 ).

[27] Цермело использовал эту последовательность кардиналов для получения последовательности моделей, объясняющих парадоксы теории множеств, такие как парадокс Бурали-Форти и парадокс Рассела . Он заявил, что парадоксы «зависят исключительно от запутывания самой теории множеств ... с отдельными моделями, представляющими ее. То, что в одной модели выглядит как« сверхконечное не- или сверхмножество », в следующей модели является совершенно хорошим и достоверным. набор с кардинальным числом и порядковым типом, и сам по себе является краеугольным камнем для построения новой области [модели] ". ( Zermelo 1930 , стр. 46–47; английский перевод: Ewald 1996 , стр. 1223.)

[28] Цермело доказал, что V _κ удовлетворяет ZFC, если κ - сильно недоступный кардинал. Аксиомы существования классов NBG ( Gödel 1940 , стр. 5) верны, потому что V _κ является множеством, если смотреть с точки зрения теории множеств, которая его строит (а именно, ZFC + существует бесконечно много сильно недоступных кардиналов). Следовательно, аксиома разделения порождает подмножества V _κ , удовлетворяющие аксиомам существования классов.

[32] Модель, множества которой являются элементамии чьи классы являются подмножествами,удовлетворяет всем его аксиомам, кроме аксиомы бесконечности, которая терпит неудачу, потому что все множества конечны. $V_{\omega }$ $V_{\omega }$

[33] Модель, множества которой являются элементамии чьи классы являются элементами,удовлетворяет всем его аксиомам, кроме аксиомы степенного множества. Эта аксиома неверна, потому что все множества счетны. $L_{\omega _{1}}$ $L_{\omega _{2}}$

[43] «... мы должны, с одной стороны, достаточно ограничить эти принципы [аксиомы], чтобы исключить все противоречия, а с другой стороны, принять их достаточно широко, чтобы сохранить все, что является ценным в этой теории». ( Zermelo 1908 , p. 261; английский перевод: van Heijenoort 1967a , p. 200). Грегори Мур утверждает, что «аксиоматизация Цермело была в первую очередь мотивирована желанием обеспечить демонстрацию им теоремы о хорошем порядке ...» (Moore 1982, pp. 158–160).

[46] Фон Нейман опубликовал вступительную статью о своей системе аксиом в 1925 году ( von Neumann 1925 ; английский перевод: van Heijenoort 1967c ). В 1928 году он подробно описал свою систему ( von Neumann 1928 ).

[48] Нейман исследовал ли его теория множеств категорична ; то есть, определяет ли он однозначно множества в том смысле, что любые две его модели изоморфны . Он показал, что она не категорична из-за слабости аксиомы регулярности : эта аксиома только исключает нисходящие ∈-последовательности из существующих в модели; нисходящие последовательности могут все еще существовать вне модели. Модель, имеющая «внешние» убывающие последовательности, не изоморфна модели, не имеющей таких последовательностей, поскольку в этой последней модели отсутствуют изоморфные изображения для наборов, принадлежащих внешним убывающим последовательностям. Это привело фон Неймана к выводу, «что, похоже, категорической аксиоматизации теории множеств вообще не существует» ( von Neumann 1925, п. 239; Английский перевод: van Heijenoort 1967c , p. 412).

[49] Например, доказательство фон Неймана того, что его аксиома подразумевает теорему о хорошем порядке, использует парадокс Бурали-Форте ( фон Нейман, 1925 , стр. 223; английский перевод: van Heijenoort 1967c , стр. 398).

[Neumann1925-1] фон Нейман 1925 , стр. 223; Английский перевод: van Heijenoort 1967c , стр. 397–398.

[HallettNeumann-2] а б в Халлетт 1984 , стр. 290.

[4] Бернейс, 1937 , стр. 66–70; Бернейс 1941 , стр. 1–6. Гёдель 1940 , стр. 3–7. Келли, 1955 , стр. 251–273.

[Zermelo1930-5] а б Цермело 1930 ; Английский перевод: Эвальд 1996 .

[6] Перейти ↑ Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , p. 137.

[Hallettpowersets-7] а б Халлетт 1984 , стр. 295.

[8] Перейти ↑ Gödel 1940 , p. 3.

[10] Леви 1968 .

[12] Это произошло 43 года спустя: фон Нейман сформулировал свои аксиомы в 1925 году, а доказательство Леви появилось в 1968 году ( von Neumann 1925 , Levy 1968 ).

[13] Перейти ↑ Easton 1964 , pp. 56a-64.

[14] Перейти ↑ Gödel 1939 , p. 223.

[22] Эти теоремы являются частью Второй теоремы развития Цермело. ( Zermelo 1930 , p. 37; английский перевод: Ewald 1996 , p. 1226.)

[23] фон Нейман 1925 , стр. 223; Английский перевод: van Heijenoort 1967c , p. 398. Доказательство фон Неймана, в котором используются только аксиомы, имеет то преимущество, что оно применяется ко всем моделям, а не только к V _κ .

[24] Kunen 1980 , стр. 95.

[29] Френкель, Бар-Гиллель и Леви 1973 , стр. 32137.

[30] Перейти ↑ Hallett 1984 , p. 205.

[31] Перейти ↑ Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , p. 95.

[34] Перейти ↑ Hallett 1984 , pp. 200, 202.

[35] Холлет 1984 , стр. 200-207.

[Hallett_1984_206–207-36] а б Халлетт 1984 , стр. 206–207.

[37] Коэн 1966 , стр. 134.

[38] Перейти ↑ Hallett 1984 , p. 207.

[39] Перейти ↑ Hallett 1984 , p. 200.

[40] Bell & Machover 2007 , стр. 509.

[41] Перейти ↑ Hallett 1984 , pp. 209–210.

[42] Историческое введение в Бернейс 1991 , стр. 31.

[44] Fraenkel 1922 , pp. 230–231. Сколем 1922 г . ; Английский перевод: van Heijenoort 1967b , стр. 296–297).

[45] Ferreiros 2007 , стр. 369. В 1917 году Дмитрий Мириманов опубликовал форму замены, основанную на кардинальной эквивалентности ( Mirimanoff 1917 , с. 49).

[47] Перейти ↑ Hallett 1984 , pp. 288, 290.

[50] Из письма Гёделя от 8 ноября 1957 года Станиславу Уламу ( Kanamori 2003 , p. 295).

[1]

vтеТеория множеств
Обзор	Набор (математика)
Аксиомы	Пристройка Выбор счетный зависимый Глобальный Конструктивность (V = L) Решительность Расширяемость бесконечность Ограничение размера Сопряжение Набор мощности Регулярность Союз Аксиома мартина Схема аксиомы замена Технические характеристики
Операции	Декартово произведение Дополнение Законы де Моргана Несвязный союз Пересечение Набор мощности Установить разницу Симметричная разница Союз
КонцепцииМетоды	Мощность Кардинальное число ( большое ) Учебный класс Конструируемая вселенная Гипотеза континуума Диагональный аргумент Элемент упорядоченная пара кортеж Семья Принуждение Индивидуальная переписка Порядковый номер Трансфинитная индукция Диаграмма Венна
Набор типов	Счетный Пустой Конечная (по наследству ) Нечеткое Бесконечный ( Дедекинд-бесконечный ) Рекурсивный Подмножество · Надмножество Переходный Бесчисленное множество Универсальный
Теории	Альтернатива Аксиоматика Наивный Теорема кантора Цермело Общий Принципы математики Новые основы Цермело – Френкель фон Нейман – Бернейс – Гёдель Морс – Келли Крипке – Платек Тарский – Гротендик
ПарадоксыПроблемы	Парадокс Рассела Проблема суслина Парадокс Бурали-Форти
Теоретики множеств	Авраам Френкель Бертран Рассел Эрнст Цермело Георг Кантор Джон фон Нейман Курт Гёдель Пол Бернейс Пол Коэн Ричард Дедекинд Томас Джеч Торальф Сколем Уиллард Куайн