В аксиоматической теории множеств , то аксиома союза является одной из аксиом в теории множеств Цермело-Френкеля . Эта аксиома была введена Эрнстом Цермело (1908).
Аксиома утверждает, что для каждого множества x существует множество y , элементы которого являются в точности элементами элементов x .
Официальное заявление [ править ]
На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:
или словами:
- Для любого набора , существует множество В такое , что для любого элемента с , с является членом B тогда и только тогда , когда существует множество Г таким образом, что с является членом D и D является членом A .
или проще:
- Для любого набора существует набор, который состоит только из элементов элементов этого набора .
Отношение к спариванию [ править ]
Аксиома объединения позволяет распаковать набор множеств и, таким образом, создать более плоский набор. Вместе с аксиомой спаривания это означает, что для любых двух наборов существует набор (называемый их объединением ), который содержит в точности элементы этих двух наборов.
Отношение к замене [ править ]
Аксиома замены позволяет образовать множество объединений, например, объединение двух множеств.
Однако в своей полной общности аксиома объединения не зависит от остальных аксиом ZFC: [ необходима ссылка ] Замена не доказывает существование объединения набора множеств, если результат содержит неограниченное количество мощностей.
Вместе со схемой аксиом замены аксиома объединения подразумевает, что можно образовать объединение семейства множеств, индексированных набором.
Отношение к разделению [ править ]
В контексте теорий множеств, которые включают аксиому разделения, аксиома объединения иногда формулируется в более слабой форме, которая дает только надмножество объединения множества. Например, Кунен (1980) формулирует аксиому как
что эквивалентно
По сравнению с аксиомой, изложенной в верхней части этого раздела, этот вариант утверждает только одно направление импликации, а не оба направления.
Связь с пересечением [ править ]
Соответствующей аксиомы пересечения нет . Если это непустое множество, содержащее , можно сформировать пересечение, используя схему аксиом спецификации как
- ,
поэтому нет необходимости в отдельной аксиоме пересечения. (Если A - пустое множество , то попытка сформировать пересечение A как
- { c : для всех D в A , c находится в D }
не допускается аксиомами. Более того, если бы такой набор существовал, то он содержал бы все множества во «вселенной», но понятие универсального множества противоречит теории множеств Цермело – Френкеля.)
Ссылки [ править ]
- Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
- Jech, Thomas , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
- Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .
- Эрнст Цермело, 1908, «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I», Mathematische Annalen 65 (2), стр. 261–281.
- Английский перевод: Jean van Heijenoort , 1967, 1967, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, pp. 199–215 ISBN 978-0-674-32449-7