В теории множеств , раздел математики , urelement или ur-element (от немецкого префикса ur- , «изначальный») - это объект, который не является множеством , но может быть элементом множества. Его также называют атомом или индивидом .
Теория
Есть несколько различных, но по существу эквивалентных способов лечения мочеточников в теории первого порядка .
Один из способов - работать в теории первого порядка с двумя сортами, наборами и элементами, причем a ∈ b определяется только тогда, когда b является набором. В этом случае, если U - урэлемент, нет смысла говорить, хотя совершенно законно.
Другой способ - работать в односортированной теории с унарным отношением, используемым для различения множеств и элементов. Поскольку непустые множества содержат элементы, а урэлементы - нет, унарное отношение необходимо только для того, чтобы отличать пустой набор от урэлементов. Обратите внимание, что в этом случае аксиома экстенсиональности должна быть сформулирована для применения только к объектам, которые не являются элементами.
Эта ситуация аналогична трактовке теорий множеств и классов . В самом деле, урэлементы в некотором смысле двойственны собственным классам : урэлементы не могут иметь членов, тогда как соответствующие классы не могут быть членами. Иными словами, элементы являются минимальными объектами, в то время как собственные классы являются максимальными объектами по отношению принадлежности (которое, конечно, не является отношением порядка, поэтому эту аналогию не следует воспринимать буквально).
Урэлементы в теории множеств
Zermelo теории множеств 1908 включены праэлементами, и , следовательно, вариант мы теперь называем ZfA или ZFCA (т.е. ZfA с аксиомой выбора ). [1] Вскоре стало понятно, что в контексте этой и тесно связанных аксиоматических теорий множеств , элементы не нужны, потому что они могут быть легко смоделированы в теории множеств без элементов. [2] Таким образом, стандартные изложения канонических аксиоматических теорий множеств ZF и ZFC не упоминают элементы. (За исключением см. Suppes. [3] ). Аксиоматизации теории множеств, которые действительно используют определенные элементы, включают теорию множеств Крипке – Платека с элементами , а также вариант теории множеств Фон Неймана – Бернейса – Гёделя, описанный Мендельсоном. [4] В теории типов объект типа 0 может называться urelement; отсюда и название «атом».
Добавление мочевых элементов в систему New Foundations (NF) для производства NFU имеет неожиданные последствия. В частности, Йенсен доказал [5] консистенции из NFU по отношению к арифметики Пеано ; Между тем, непротиворечивость NF относительно чего-либо остается открытой проблемой до проверки доказательства Холмса ее непротиворечивости относительно ZF. Более того, NFU остается относительно непротиворечивым, если дополнить его аксиомой бесконечности и аксиомой выбора . Между тем отрицание аксиомы выбора, как ни странно, является теоремой НФ. Холмс (1998) считает эти факты доказательством того, что NFU является более успешным фондом для математики, чем NF. Холмс далее утверждает, что теория множеств более естественна с элементами, чем без них, поскольку мы можем принимать в качестве элементов объекты любой теории или физической вселенной . [6] В финитистской теории множеств элементы сопоставляются с компонентами самого нижнего уровня целевого явления, такими как атомарные составляющие физического объекта или членов организации.
Атомы хайна
Альтернативный подход к urelements состоит в том, чтобы рассматривать их, а не как тип объекта, отличный от наборов, как особый тип набора. Атомы куайна (названные в честь Уилларда Ван Ормана Куайна ) - это множества, которые содержат только себя, то есть множества, удовлетворяющие формуле x = { x }. [7]
Атомы куайна не могут существовать в системах теории множеств, включающих аксиому регулярности , но они могут существовать в недостаточно обоснованной теории множеств . Теория множеств ZF с удаленной аксиомой регулярности не может доказать, что существуют какие- либо необоснованные множества (если только это не противоречит, и в этом случае будет любое произвольное утверждение ), но она совместима с существованием атомов Куайна. Антиосновная аксиома Акзеля подразумевает, что существует уникальный атом Куайна. Другие необоснованные теории могут допускать наличие множества отдельных атомов Куайна; на противоположном конце спектра находится аксиома сверхуниверсальности Боффы , которая подразумевает, что отдельные атомы Куайна образуют соответствующий класс . [8]
Атомы хайна также появляются в « Новых фондах Куайна » , что позволяет существовать более чем одному подобному набору. [9]
Атомы Куайн являются единственными множества , называемые возвратные наборы от Peter Aczél , [8] , хотя другие авторы, например , Джон Barwise и Лоуренс Мосс использовать последний термин для обозначения более широкий класс множеств со свойством х ∈ х . [10]
Рекомендации
- ^ Декстер Чуа и др.: ZFA: теория множеств Цермело – Френкеля с атомами , на: ncatlab.org: nLab, от 16 июля 2016 г.
- ^ Jech, Thomas J. (1973). Аксиома выбора . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publ. п. 45 . ISBN 0486466248.
- ^ Суппес, Патрик (1972). Аксиоматическая теория множеств ([Ed. Corr. Et augm. Du texte paru en 1960]. Ed.). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 0486616304. Проверено 17 сентября 2012 года .
- ^ Мендельсон, Эллиотт (1997). Введение в математическую логику (4-е изд.). Лондон: Чепмен и Холл. С. 297–304. ISBN 978-0412808302. Проверено 17 сентября 2012 года .
- ^ Йенсен, Рональд Бьёрн (декабрь 1968 г.). «О непротиворечивости небольшой (?) Модификации« новых основ » Куайна ». Synthese . Springer. 19 (1/2): 250–264. DOI : 10.1007 / bf00568059 . ISSN 0039-7857 . JSTOR 20114640 . S2CID 46960777 .
- ^ Холмс, Рэндалл, 1998. Элементарная теория множеств с универсальным множеством . Academia-Bruylant.
- ^ Томас Форстер (2003). Логика, индукция и множества . Издательство Кембриджского университета. п. 199. ISBN 978-0-521-53361-4.
- ^ а б Aczel, Peter (1988), Необоснованные наборы , CSLI Lecture Notes, 14 , Стэнфордский университет, Центр изучения языка и информации, стр. 57 , ISBN 0-937073-22-9, МР 0940014 , извлекаются 2016-10-17
- ^ Барвайз, Джон; Мосс, Лоуренс С. (1996), Порочные круги. По математике необоснованных явлений , CSLI Lecture Notes, 60 , CSLI Publications, p. 306, ISBN 1575860090
- ^ Барвайз, Джон; Мосс, Лоуренс С. (1996), Порочные круги. По математике необоснованных явлений , CSLI Lecture Notes, 60 , CSLI Publications, p. 57, ISBN 1575860090
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Урэлемент» . MathWorld .