Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Титульный лист Principia Mathematica (сокращенная версия, включая разделы только до * 56), важного труда по метаматематике.

Метаматематика - это изучение самой математики с использованием математических методов. Это исследование создает метатеории , которые представляют собой математические теории о других математических теориях. Акцент на метаматематике (и , возможно , создание самого термина) должен себя Дэвид Гильберта «s попытку обеспечить самые основы математики в начале 20 - го века. Метаматематика предоставляет «строгую математическую технику для исследования большого разнообразия фундаментальных проблем математики и логики."(Kleene 1952, стр. 59). Важной особенностью метаматематики является ее акцент на различении между рассуждениями изнутри системы и извне системы. Неформальной иллюстрацией этого является отнесение предложения" 2 + 2 = 4 "к категории принадлежащих к математике , классифицируя утверждение «2 + 2 = 4» верно »как принадлежащее метаматематике.

История [ править ]

Метаматематические метатеоремы о самой математике были первоначально отделены от обычных математических теорем в 19 ​​веке, чтобы сосредоточиться на том, что тогда называлось фундаментальным кризисом математики . Парадокс Ричарда (Richard 1905), касающийся некоторых «определений» действительных чисел в английском языке, является примером противоречия, которое может легко возникнуть, если не провести различие между математикой и метаматематикой. Нечто подобное можно сказать и в отношении известного парадокса Рассела (содержит ли набор всех тех множеств, которые не содержат самих себя?).

Метаматематика была тесно связана с математической логикой , так что ранние истории этих двух областей, в конце 19-го и начале 20-го веков, во многом пересекались. Совсем недавно, математическая логика часто включал в себя изучение новых чистой математики, таких как теория множеств , теории категорий , теории рекурсии и чистой теории модели , которая непосредственно не связанной с метаматематика [ править ] .

Серьезные метаматематические размышления начались с работ Готлоба Фреге , особенно его Begriffsschrift , опубликованного в 1879 году.

Дэвид Гильберт был первым, кто регулярно использовал термин «метаматематика» (см . Программу Гильберта ) в начале 20 века. В его руках это означало что-то вроде современной теории доказательств , в которой финитарные методы используются для изучения различных аксиоматизированных математических теорем (Kleene 1952, p. 55).

Среди других видных деятелей в этой области - Бертран Рассел , Торальф Сколем , Эмиль Пост , Алонзо Черч , Стивен Клини , Уиллард Куайн , Пол Бенасерраф , Хилари Патнэм , Грегори Чейтин , Альфред Тарски и Курт Гедель .

Сегодня металогика и метаматематика во многом пересекаются, и обе они были существенно включены в математическую логику в академических кругах.

Вехи [ править ]

Открытие гиперболической геометрии [ править ]

Смотрите также: Неевклидова геометрия § История и гиперболическая геометрия § История

Открытие гиперболической геометрии имело важные философские последствия для метаматематики. До его открытия была только одна геометрия и математика; идея существования другой геометрии считалась маловероятной.

Говорят, что когда Гаусс открыл гиперболическую геометрию, он ничего об этом не публиковал из-за страха перед «возмущением беотийцев », которое разрушило бы его статус принцепса математикорум (лат. «Князь математиков»). [1] «Шум беотийцев» приходил и утих, дав толчок метаматематике и значительным улучшениям в математической строгости , аналитической философии и логике .

Begriffsschrift [ править ]

Основная статья: Begriffsschrift

Begriffsschrift (немецкий язык для, грубо говоря, «концепт-сценарий») представляет собой книгу по логике по Фрегу , опубликованной в 1879 году, и формальную систему , изложенную в этой книге.

Begriffsschrift обычно переводится как написание концепций или обозначение концепций ; полное название книги идентифицирует его как « язык формул , созданный по образцу арифметики , чистого мышления ». Мотивация Фреге к разработке своего формального подхода к логике напоминала мотивацию Лейбница для его логического вычислителя (несмотря на это в его ПредисловииФреге явно отрицает, что он достиг этой цели, а также то, что его основной целью было бы создание идеального языка, подобного языку Лейбница, что Фреге объявляет довольно сложной и идеалистической, но не невыполнимой задачей). Фреге продолжал использовать свое логическое исчисление в своих исследованиях основ математики , которые проводились в течение следующей четверти века.

Principia Mathematica [ править ]

Основная статья: Principia Mathematica

Principia Mathematica, или «PM», как ее часто сокращают, была попыткой описать набор аксиом и правил вывода в символической логике, из которых в принципе можно было бы доказать все математические истины. Как таковой, этот амбициозный проект имеет большое значение в истории математики и философии [2], будучи одним из важнейших продуктов веры в то, что такое начинание возможно. Однако в 1931 г. теорема Гёделя о неполнотеокончательно доказал, что ПМ, как и любая другая попытка, никогда не сможет достичь этой высокой цели; то есть для любого набора аксиом и правил вывода, предлагаемых для инкапсуляции математики, на самом деле были бы некоторые математические истины, которые нельзя было бы из них вывести.

Одним из главных источников вдохновения и мотивации для PM была ранняя работа Готтлоба Фреге по логике, которая, как обнаружил Рассел, позволяла конструировать парадоксальные множества . PM стремился избежать этой проблемы, исключив неограниченное создание произвольных наборов. Это было достигнуто путем замены понятия общего набора понятием иерархии наборов различных « типов », при этом набор определенного типа может содержать только наборы строго более низкого типа. Однако современная математика избегает парадоксов, подобных парадоксу Рассела, менее громоздкими способами, такими как система теории множеств Цермело – Френкеля .

Теорема Гёделя о неполноте [ править ]

Основная статья: теорема Гёделя о неполноте

Неполноты теоремы Геделя две теоремы о математической логике , устанавливающие ограничения , присущие всех , кроме самых тривиальных систем хрестоматийные , способные делать арифметика . Теоремы, доказанные Куртом Гёделем в 1931 году, важны как для математической логики, так и для философии математики . Два результата широко, но не универсально, интерпретируются как показывающие, что программа Гильберта по нахождению полного и непротиворечивого набора аксиом для всей математики невозможна, что дает отрицательный ответ на вторую проблему Гильберта .

Первая теорема о неполноте утверждает, что никакая непротиворечивая система аксиом, теоремы которой могут быть перечислены с помощью « эффективной процедуры » (например, компьютерной программы, но это может быть любой алгоритм), не способна доказать все истины об отношениях естественного числа ( арифметика ). Для любой такой системы всегда будут утверждения о натуральных числах, которые верны, но недоказуемы в рамках системы. Вторая теорема о неполноте, являющаяся расширением первой, показывает, что такая система не может продемонстрировать свою непротиворечивость.

Определение Тарского теоретико-модельного удовлетворения [ править ]

Основная статья: T-схема

T-схема или истина схема (не следует путать с « Конвенцией T ») используется , чтобы дать индуктивное определение истины , которая лежит в основе любой реализации Альфред Тарского «s семантической теории истины . Некоторые авторы называют это «схемой эквивалентности», синонимом, введенным Майклом Даммитом . [3]

T-схема часто выражается на естественном языке , но ее можно формализовать в многоуровневой логике предикатов или модальной логике ; такая формализация называется Т-теорией . Т-теории составляют основу многих фундаментальных работ по философской логике , где они применяются в нескольких важных спорах в аналитической философии .

Как выражено на полуестественном языке (где 'S' - это название предложения, сокращенного до S): 'S' истинно тогда и только тогда, когда S

Пример: «снег белый» истинно тогда и только тогда, когда снег белый.

Невозможность Entscheidungsproblem [ править ]

Основная статья: Entscheidungsproblem

Проблема разрешения ( немецкий для « проблемы решения ») является проблема , порождаемая Давида Гильберта в 1928 г. [4] проблема разрешения запрашивает алгоритм , который принимает в качестве входных данных заявление в логике первого порядка (возможно , с конечным числом аксиом вне обычные аксиомы логики первого порядка) и отвечает «Да» или «Нет» в зависимости от того, является ли утверждение универсальным , т. е. действительным в каждой структуре, удовлетворяющей аксиомам. По теореме о полноте логики первого порядка, утверждение универсально справедливо тогда и только тогда, когда оно может быть выведено из аксиом, поэтому Entscheidungsproblem также может рассматриваться как запрос алгоритма, который решает, доказуемо ли данное утверждение из аксиом с использованием правил логики.

В 1936 году Алонзо Черч и Алан Тьюринг опубликовали независимые статьи [5], показывающие, что общее решение проблемы Entscheidungs ​​невозможно, если предположить, что интуитивное обозначение « эффективно вычислимого» улавливается функциями, вычисляемыми машиной Тьюринга (или, что то же, те, которые можно выразить в лямбда-исчислении ). Это предположение теперь известно как тезис Черча – Тьюринга .

См. Также [ править ]

  • Мета
  • Metalogic
  • Теория моделей
  • Философия математики
  • Теория доказательств

Ссылки [ править ]

  1. ^ Торретти, Роберто (1978). Философия геометрии от Римана до Пуанкаре . Дордрехт Холланд: Рейдел. п. 255.
  2. ↑ Ирвин, Эндрю Д. (1 мая 2003 г.). "Principia Mathematica (Стэнфордская энциклопедия философии)" . Лаборатория метафизических исследований, CSLI, Стэнфордский университет . Проверено 5 августа 2009 года .
  3. ^ Вольфганг Кюнне (2003). Представления об истине . Кларендон Пресс. п. 18 . ISBN 978-0-19-928019-3.
  4. ^ Гильберт и Акерманн
  5. ↑ Статья Черча была представлена ​​Американскому математическому обществу 19 апреля 1935 года и опубликована 15 апреля 1936 года. Тьюринг, добившийся значительного прогресса в написании своих собственных результатов, был разочарован, узнав о доказательстве Черча после его публикации (см. Переписку между Максом Ньюман и Черч в церковных документах Алонзо, заархивированные 07.06.2010 в Wayback Machine ). Тьюринг быстро завершил свою статью и поспешил ее опубликовать; он был получен Труды Лондонского математического общества28 мая 1936 г., прочитано 12 ноября 1936 г. и опубликовано в серии 2, том 42 (1936-7); он появился в двух разделах: в части 3 (страницы 230–240), выпущенной 30 ноября 1936 г., и в части 4 (страницы 241–265), выпущенной 23 декабря 1936 года; Тьюринг внес исправления в том 43 (1937), стр. 544–546. См. Сноску в конце Soare: 1996.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • В. Дж. Блок и Дон Пигоцци, " Работа Альфреда Тарского по общей метаматематике ", Журнал символической логики , т. 53, № 1 (март 1988 г.), стр. 36–50.
  • IJ Хорошо. «Заметка о парадоксе Ричарда». Разум , Новая серия, Vol. 75, No. 299 (июль 1966 г.), стр. 431. JStor
  • Дуглас Хофштадтер , 1980. Гедель, Эшер, Бах . Винтажные книги. Нацелено на мирян.
  • Стивен Коул Клини , 1952. Введение в метаматематику . Северная Голландия. Нацелено на математиков.
  • Жюль Ришар, «Принципы математики и проблемы ансамблей» , « Женеральное обозрение чистых и прикладных наук» (1905 г.); переведен в Heijenoort J. van (ed.), Source Book in Mathematical Logic 1879-1931 (Cambridge, Massachusetts, 1964).
  • Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел . Principia Mathematica , 3 тома, Cambridge University Press, 1910, 1912 и 1913. Второе издание, 1925 (том 1), 1927 (тома 2, 3). Сокращено как Principia Mathematica до * 56 , Cambridge University Press, 1962.
  • Стивен Вольфрам , 2020. « Эмпирическая метаматематика Евклида и за его пределами ».