Principia Mathematica

Титульный лист сокращенного журнала Principia Mathematica до №56.

✸54.43 : «Из этого предложения, после определения арифметического сложения, следует, что 1 + 1 = 2». - Том I, издание 1, с. 379 (с. 362 во 2-м изд.; С. 360 в сокращенном варианте). (Доказательство фактически завершено в томе II, 1-м издании, стр. 86 , сопровождаемом комментарием: «Вышеупомянутое предложение иногда бывает полезным». Далее они говорят: «Оно используется по крайней мере три раза, в §113.66 и §120.123. .472. ")

Principia Mathematica (часто сокращенно PM ) является трехтомный труд по основам математики , написанных математиками Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел и опубликованный в 1910 году, 1912 и 1913. В 1925-27 он появился во втором издании с важным Введение ко второму изданию , в Приложении а , который заменил ✸9 и все-новое приложение B и Приложение C . PM не следует путать с « Основами математики» Рассела 1903 года . ВЕЧЕРАизначально задумывался как продолжение « Принципов» Рассела 1903 г. , но, как заявляет ПМ , это предложение стало неосуществимым по практическим и философским причинам: «Настоящая работа изначально была задумана нами для включения во второй том« Принципов математики » . .Но по мере нашего продвижения становилось все более очевидным, что эта тема намного шире, чем мы предполагали; более того, по многим фундаментальным вопросам, которые оставались неясными и сомнительными в предыдущей работе, теперь мы пришли к тому, что, по нашему мнению быть удовлетворительными решениями ".

Согласно его введению, PM преследовал три цели: (1) проанализировать в максимально возможной степени идеи и методы математической логики и минимизировать количество примитивных понятий и аксиом , а также правил вывода ; (2) точно выражать математические предложения в символической логике, используя наиболее удобные обозначения, которые позволяет точное выражение; (3) разрешить парадоксы, которые преследовали логику и теорию множеств на рубеже 20-го века, такие как парадокс Рассела . ^[1]

Эта третья цель мотивировала принятие теории типов в PM . Теория типов принимает грамматические ограничения на формулы, которые исключают неограниченное понимание классов, свойств и функций. Эффект этого состоит в том, что формулы, которые позволяют понять объекты, подобные множеству Рассела, оказываются плохо сформированными: они нарушают грамматические ограничения системы PM .

Нет сомнений в том, что PM имеет большое значение в истории математики и философии: как заметил Ирвин , он пробудил интерес к символической логике и продвинул предмет, популяризируя его; он продемонстрировал силу и возможности символической логики; и он показал, как успехи в философии математики и символической логики могут идти рука об руку с огромной плодотворностью. ^[2] Действительно, PM отчасти был вызван интересом к логицизму , взгляду, согласно которому все математические истины являются логическими истинами. Отчасти благодаря достижениям в PM , несмотря на его недостатки, были сделаны многочисленные достижения в мета-логике, включая теоремы Гёделя о неполноте..

Для всех , что PM нотации не так широко используются сегодня: вероятно, в первую очередь причина этого заключается в том, что практикующие математики склонны считать , что фон Фонд является одной из форм системы теории множеств Цермело-Френкеля . Тем не менее, научный, исторический и философский интерес к PM велик и постоянен: например, Modern Library поместила его на 23-е место в списке 100 лучших англоязычных документальных книг двадцатого века. ^[3] В рецензируемой Стэнфордской энциклопедии философии есть несколько статей о работе, и академические исследователи продолжают работать с Principia., будь то по исторической причине понимания текста или его авторов, или по математическим причинам понимания или развития логической системы Principia .

Объем заложенных основ [ править ]

Principia покрыты только теория множеств , кардинальные числа , порядковые номера , и действительные числа . Более глубокие теоремы из реального анализа не были включены, но к концу третьего тома специалистам стало ясно, что большая часть известной математики в принципе может быть развита в принятом формализме. Было также ясно, насколько длительным будет такое развитие событий.

Планировалось выпустить четвертый том по основам геометрии , но авторы признали интеллектуальное истощение после завершения третьего.

Теоретическая база [ править ]

Как отмечается в критике теории Куртом Гёделем (ниже), в отличие от формалистической теории , «логицистская» теория PM не имеет «точного изложения синтаксиса формализма». Другое наблюдение состоит в том, что почти сразу в теории интерпретации (в смысле теории моделей ) представлены в терминах истинностных значений для поведения символов «» (утверждение истины), «~» (логическое «не»), и «V» (логическое включающее ИЛИ).

Истинные ценности : PM включает понятия «истина» и «ложь» в понятие «примитивное суждение». Необработанная (чистая) формалистическая теория не могла бы предоставить значение символов, образующих «примитивное суждение» - сами символы могут быть абсолютно произвольными и незнакомыми. Теория будет определять только то, как символы ведут себя на основе грамматики теории . Позже, путем присвоения «значений», модель будет определять интерпретацию того, что говорят формулы. Таким образом, в приведенном ниже формальном символе Клини в скобках дается «интерпретация» того, что обычно означают символы, и, косвенно, как они в конечном итоге используются, наприме𠫬 (не)». Но это не чисто формалистская теория.

Современное построение формальной теории [ править ]

Предлагается следующая формалистическая теория в отличие от логицистской теории PM . Современная формальная система будет построена следующим образом:

1. Используемые символы : этот набор является начальным набором, и другие символы могут появляться, но только по определению из этих начальных символов. Начальным набором может быть следующий набор, полученный из Клини 1952: логические символы : «→» (подразумевает, ЕСЛИ-ТО и «»), «&» (и), «V» (или), «¬» ( нет), «» (для всех), «∃» (есть); предикатный символ "=" (равно); функциональные символы «+» (арифметическое сложение), «∙» (арифметическое умножение), «'» (преемник); индивидуальный символ «0» (ноль); переменные " a ", " b ", "c "и т.д .; и круглые скобки " ("и") ". ^[4]
2. Строки символов : Теория будет строить «цепочки» из этих символов путем объединения (сопоставления). ^[5]
3. Правила формирования : теория определяет правила синтаксиса (правила грамматики) обычно как рекурсивное определение, которое начинается с «0» и указывает, как строить приемлемые строки или «правильно сформированные формулы» (wffs). ^[6] Сюда входит правило «подстановки» ^[7] строк на символы, называемые «переменными».
4. Правило (а) преобразования : аксиомы, которые определяют поведение символов и их последовательностей.
5. Правило вывода, непривязанность, modus ponens : Правило, которое позволяет теории «отделить» «вывод» от «посылок», которые к нему привели, и затем отбросить «посылки» (символы слева от строки │ или символы над линией, если горизонтально). Если бы это было не так, то замена привела бы к более длинным и длинным строкам, которые нужно было бы переносить. Действительно, после применения modus ponens не остается ничего, кроме заключения, все остальное исчезает навсегда.

Современные теории часто указывают в качестве своей первой аксиомы классический или modus ponens, или «правило непривязанности»:

А , А ⊃ В │ Б

Символ «│» обычно пишется горизонтальной линией, здесь «⊃» означает «подразумевает». Символы A и B заменяют струны; эта форма записи называется «схемой аксиом» (т. е. существует счетное число конкретных форм, которые может принимать запись). Это можно прочитать аналогично IF-THEN, но с разницей: данная строка символов IF A и A подразумевает B THEN B (и сохраняет только B для дальнейшего использования). Но у символов нет «интерпретации» (например, нет «таблицы истинности», «значений истинности» или «функций истинности»), и modus ponens действует механистически, только с помощью грамматики.

Строительство [ править ]

Теория PM имеет как значительные сходства, так и сходные различия с современной формальной теорией. ^{[ требуется пояснение ]} Клини заявляет, что «этот вывод математики из логики был предложен как интуитивная аксиоматика. Предполагалось, что в эти аксиомы поверили или, по крайней мере, приняли в качестве правдоподобных гипотез, касающихся мира». ^[8] Действительно, в отличие от формалистской теории, которая манипулирует символами в соответствии с правилами грамматики, PM вводит понятие «истинностных ценностей», то есть истины и ложности в реальном смысле, и «утверждение истины» почти сразу как пятый и шестой элементы в структуре теории ( PM 1962: 4–36):

1. Переменные
2. Использование различных букв
3. Фундаментальные функции предложений : «функция противоречия», символизируемая знаком «~», и «логическая сумма или дизъюнктивная функция», символизируемая буквой «», считаются примитивными и определенными логическими импликациями (следующий пример также используется для иллюстрации 9. Определение ниже ) как
   p ⊃ q . = . ~ p ∨ q Df . ( PM 1962: 11)
   и логический продукт, определенный как
   стр . q . = . ~ (~ p ∨ ~ q ) Df . ( PM 1962: 12)
4. Эквивалентность : логическая эквивалентность, а не арифметическая эквивалентность: «≡» дано как демонстрация того, как используются символы, т.е. «Таким образом,« p ≡ q »означает« ( p ⊃ q ) . ( Q ⊃ p ) »». ( PM 1962: 7). Обратите внимание, что при обсуждении обозначения PM идентифицирует "мета" -отношение с "[пробел] ... [пробел]": ^[9]
   Логическая эквивалентность снова появляется как определение :
   p ≡ q . = . ( p ⊃ q) . ( q ⊃ p ) ( PM 1962: 12),
   обратите внимание на появление скобок. Это грамматическое использование не определено и появляется спорадически; круглые скобки действительно играют важную роль в символьных строках, однако, например, запись «( x )» для современного «∀ x ».
5. Истинные ценности : « Истинная ценность предложения - это истина, если она истинна, и ложь, если она ложна» (эта фраза принадлежит Готтлобу Фреге ) ( PM 1962: 7).
6. Утверждение-знак : «⊦" . Р может быть прочитан „ это правда , что“ ... Таким образом , „⊦ : стр . ⊃ . Q “ означает „это верно , что р подразумевает д “, а «⊦ . Р . ⊃ ⊦ . Q 'означает « p истинно; следовательно, q истинно». Первое из них не обязательно подразумевает истинность либо p, либо q , тогда как второе подразумевает истинность обоих »( PM 1962: 92).
7. Вывод : версия modus ponens от PM . «[Если] '⊦ . P ' и '⊦ ( p ⊃ q )' произойдут, тогда '⊦ . Q ' произойдет, если это желательно записать. Процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственная запись - это появление «⊦ . Q » [другими словами, символы слева исчезают или могут быть стерты] »( PM 1962: 9).
8. Использование точек
9. Определения : они используют знак "=" с "Df" в правом конце.
10. Краткое содержание предыдущих утверждений : краткое обсуждение примитивных идей «~ p » и « p ∨ q » и «⊦», стоящих перед предложением.
11. Первобытные предложения : аксиомы или постулаты. Это было значительно изменено во втором издании.
12. Пропозициональные функции : понятие «пропозиция» было значительно изменено во втором издании, включая введение «атомарных» пропозиций, связанных логическими знаками с образованием «молекулярных» пропозиций, и использование замены молекулярных пропозиций атомными или молекулярными предложениями, создавать новые выражения.
13. Диапазон значений и общая вариация
14. Неоднозначное утверждение и реальная переменная : этот и следующие два раздела были изменены или оставлены во втором издании. В частности, во втором издании было оставлено различие между понятиями, определенными в разделах 15. Определение и действительная переменная и 16 утверждений, связывающих действительные и очевидные переменные .
15. Формальная импликация и формальная эквивалентность
16. Личность
17. Классы и отношения
18. Различные описательные функции отношений
19. Множественные описательные функции
20. Классы юнитов

Примитивные идеи [ править ]

Ср. PM 1962: 90–94, для первого издания:

• (1) Элементарные предложения .
• (2) Элементарные предложения функций .
• (3) Утверждение : вводит понятия «истина» и «ложь».
• (4) Утверждение пропозициональной функции .
• (5) Отрицание : «Если p - какое-либо предложение, предложение« не- p »или« p ложно »будет представлено как« ~ p »».
• (6) Дизъюнкция : «Если p и q - какие-либо предложения, предложение« p или q » , т. Е.« Либо p истинно, либо q истинно », где альтернативы не должны быть взаимоисключающими, будет представлено как« p ∨ q "".
• (см. раздел B)

Примитивные суждения [ править ]

Первое издание (см дискуссионных относительно второго издания, ниже) начинается с определением знака «⊃»

✸1.01 . p ⊃ q . = . ~ p ∨ q . Df .

✸1.1 . Все, что подразумевается истинным элементарным утверждением, верно. PP modus ponens

( ✸1.11 был оставлен во втором издании.)

✸1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . стр . Принцип тавтологии пп

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q . Рр принцип сложения

✸1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p . Рр принцип перестановки

✸1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . д ∨ ( р ∨ г ). ПП принцип ассоциативности

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . п ∨ р . Рр принцип суммирования

✸1.7 . Если p - элементарное предложение, то ~ p - элементарное предложение. Пп

✸1,71 . Если p и q элементарные предложения, p ∨ q элементарное предложение. Пп

✸1,72 . Если φ p и ψ p - элементарные пропозициональные функции, которые принимают элементарные предложения в качестве аргументов, φ p ∨ ψ p - элементарное предложение. Пп

Вместе с «Введением ко второму изданию» Приложение А ко второму изданию исключает весь раздел №9 . Это включает шесть примитивных предложений с ✸9 по ✸9.15 вместе с аксиомами сводимости.

Пересмотренная теория усложняется введением черточки Шеффера («|») для обозначения «несовместимости» (т. Е. Если оба элементарных предложения p и q верны, их «штрих» p | q ложен). И-НЕ (не-И). В пересмотренной теории Введение представляет понятие «атомарного предложения», «данных», которые «относятся к философской части логики». В них нет частей, которые являются предложениями и не содержат понятий «все» или «некоторые». Например: «это красный» или «это раньше, чем это». Такие вещи могут существовать до бесконечности, т. е. даже «бесконечное перечисление» из них, чтобы заменить «общность» (т. е. понятие «для всех»). ^[10] ПМ затем «продвигаются к молекулярным суждениям», которые все связаны «чертой». Определения дают эквиваленты для «~», «∨», «⊃» и « . ».

В новом введении «элементарные предложения» определяются как положения атомов и молекул вместе. Затем он заменяет все примитивные предложения с 1.2 по ✸1.72 одним примитивным предложением, сформулированным в терминах штриха:

«Если p , q , r - элементарные предложения, заданные p и p | ( q | r ), мы можем вывести r . Это примитивное предложение».

В новом введении сохранены обозначения «существует» (теперь преобразовано в «иногда верно») и «для всех» (преобразовано в «всегда верно»). Приложение A усиливает понятие «матрица» или «предикативная функция» («примитивная идея», PM 1962: 164) и представляет четыре новых примитивных утверждения как ✸8.1 – 8.13 .

№88 . Мультипликативная аксиома

✸120 . Аксиома бесконечности

Разветвленные типы и аксиома сводимости [ править ]

В простой теории типов объекты - это элементы различных непересекающихся «типов». Типы неявно создаются следующим образом. Если τ ₁ , ..., τ _m являются типами, то существует тип (τ ₁ , ..., τ _m ), который можно рассматривать как класс пропозициональных функций от τ ₁ , ..., τ _m ( которое в теории множеств по сути является множеством подмножеств τ ₁ × ... × τ _m ). В частности, существует тип () предложений, и может быть тип ι (йота) «индивидов», из которых построены другие типы. Обозначения Рассела и Уайтхеда для создания типов из других типов довольно громоздки, и эти обозначения принадлежат Черчу .

В теории разветвленных типов ПМ все объекты являются элементами различных непересекающихся разветвленных типов. Разветвленные типы неявно создаются следующим образом. Если τ ₁ , ..., τ _m , σ ₁ , ..., σ _n - разветвленные типы, то, как и в теории простых типов, существует тип (τ ₁ , ..., τ _m , σ ₁ , ... , σ _n ) «предикативных» пропозициональных функций от τ ₁ , ..., τ _m , σ ₁ , ..., σ _n . Однако есть и разветвленные типы (τ ₁ , ..., τ _m | σ ₁ , ..., σ _n), которые можно рассматривать как классы пропозициональных функций от τ ₁ , ... τ _m, полученные из пропозициональных функций типа (τ ₁ , ..., τ _m , σ ₁ , ..., σ _n ) путем количественной оценки над σ ₁ , ..., σ _n . Когда n = 0 (т.е. нет σs), эти пропозициональные функции называются предикативными функциями или матрицами. Это может сбивать с толку, потому что современная математическая практика не делает различий между предикативными и непредикативными функциями, и в любом случае PM никогда не определяет точно, что такое «предикативная функция»: это понятие принято как примитивное.

Рассел и Уайтхед обнаружили, что невозможно разработать математику, сохраняя при этом разницу между предикативными и непредикативными функциями, поэтому они ввели аксиому сводимости , заявив, что для каждой непредикативной функции существует предикативная функция, принимающая одинаковые значения. На практике эта аксиома по существу означает, что элементы типа (τ ₁ , ..., τ _m | σ ₁ , ..., σ _n ) можно отождествить с элементами типа (τ ₁ , ..., τ _m), что приводит к сворачиванию иерархии разветвленных типов до простой теории типов. (Строго говоря, это не совсем правильно, потому что PM позволяет двум пропозициональным функциям быть разными, даже если они принимают одинаковые значения для всех аргументов; это отличается от современной математической практики, где обычно идентифицируются две такие функции.)

В теории множеств Цермело можно смоделировать теорию разветвленных типов PM следующим образом. В качестве типа индивидов выбирается набор ι. Например, ι может быть набором натуральных чисел или набором атомов (в теории множеств с атомами) или любым другим набором, который вас интересует. Тогда, если τ ₁ , ..., τ _m являются типами, тип (τ ₁ , ..., τ _m ) - это набор степеней произведения τ ₁ × ... × τ _m , который также можно неформально рассматривать как набор (пропозициональных предикативных) функций от этого произведения до 2 -element set {true, false}. Разветвленный тип (τ ₁ , ..., τ _m | σ ₁ , ..., σ _n) можно моделировать как произведение типа (τ ₁ , ..., τ _m , σ ₁ , ..., σ _n ) с набором последовательностей n кванторов (∀ или ∃), указывающих, какой квантор должен применяться каждой переменной σ _i . (Можно немного изменить это, разрешив количественную оценку σs в любом порядке или допустив их появление перед некоторыми из τ, но это мало что меняет, кроме бухгалтерского учета.)

Обозначение [ править ]

Один автор ^[2] отмечает, что «обозначения в этой работе были вытеснены последующим развитием логики в течение 20-го века до такой степени, что у новичков вообще возникли проблемы с чтением PM»; в то время как большая часть символического содержания может быть преобразована в современные обозначения, исходные обозначения сами по себе являются «предметом научных споров», а некоторые обозначения «воплощают существенные логические доктрины, так что их нельзя просто заменить современным символизмом». ^[11]

Курт Гёдель резко критиковал обозначения:

«Это пожалеть , что это первое всеобъемлющий и основательное представление математической логики и вывод математики из него [это] так сильно не хватают в формальной точности в фундаментах (содержащихся в ✸1-✸21 из Начал [т.е. , разделы ✸1 – ✸5 (логика высказываний), ✸8–14 (логика предикатов с тождеством / равенством), 20 (введение в теорию множеств) и ✸21(введение в теорию отношений)]), что в этом отношении он представляет собой значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Что не хватает, прежде всего, это точное определение синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опускаются даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств » ^[12].

Это отражено в приведенном ниже примере символов « p », « q », « r » и «⊃», которые могут быть сформированы в строку « p ⊃ q ⊃ r ». PM требует определения того, что означает эта строка символов в терминах других символов; в современных трактовках «правила формирования» (синтаксические правила, ведущие к «хорошо сформированным формулам») предотвратили бы формирование этой строки.

Источник обозначений : Глава I «Предварительные пояснения идей и обозначений» начинается с источника элементарных частей обозначений (символов = ⊃≡ − ΛVε и системы точек):

"Обозначения, принятые в настоящей работе, основаны на обозначениях Пеано , и следующие пояснения в некоторой степени основаны на тех, которые он ставит перед своим Formulario Mathematico [то есть, Peano 1889]. Его использование точек в качестве скобок принято, и так много его символов »( PM 1927: 4). ^[13]

PM изменил Пеано на ⊃, а также перенял несколько более поздних символов Пеано, таких как ℩ и ι, и практику Пеано переворачивать буквы вверх ногами.

PM принимает знак утверждения «⊦» из Begriffsschrift Фреге 1879 г . : ^[14]

«(I) t может читаться как« правда, что »» ^[15]

Таким образом, чтобы утвердить предложение p PM пишет:

"⊦ . P. " ( PM 1927: 92)

(Обратите внимание, что, как и в оригинале, левая точка квадратная и имеет больший размер, чем точка справа.)

Большая часть остальных обозначений в PM была изобретена Уайтхедом. ^[16]

Введение в обозначения «Раздела A Математическая логика» (формулы ✸1 – ✸5.71) [ править ]

Точки PM ^[17] используются аналогично круглым скобкам. Каждая точка (или несколько точек) представляет собой левую или правую круглую скобку или логический символ ∧. Более одной точки указывают на «глубину» круглых скобок, например, « . », « : » Или « :. », « ::". Однако положение совпадающих правой или левой круглых скобок явно не указывается в обозначении, а должно быть выведено из некоторых правил, которые являются сложными и временами неоднозначными. Более того, когда точки обозначают логический символ ∧ его левая и правая операнды должны быть выведены с использованием аналогичных правил. Сначала нужно решить на основе контекста, обозначают ли точки левую или правую круглую скобку или логический символ. Затем нужно решить, как далеко находится другая соответствующая скобка: здесь один продолжается до тех пор, пока один встречает либо большее количество точек, либо такое же количество точек рядом, которые имеют равную или большую «силу», либо конец строки. Точки рядом со знаками, ≡, ∨, = Df имеют большую силу, чем точки рядом с ( x ), (∃ x) и так далее, которые имеют большую силу, чем точки, обозначающие логическое произведение ∧.

Пример 1. Линия

✸ 3.4 . ⊢ : стр . q . ⊃ . p ⊃ q

соответствует

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Две точки, стоящие вместе сразу после знака утверждения, указывают на то, что утверждается вся строка: поскольку их две, их область действия больше, чем область действия любой из отдельных точек справа от них. Они заменяются левой круглой скобкой, стоящей на месте точек, и правой круглой скобкой в ​​конце формулы, таким образом:

⊢ (р . Д . ⊃ . Р ⊃ д).

(На практике эти крайние круглые скобки, в которые заключена вся формула, обычно опускаются.) Первая из одиночных точек, стоящая между двумя пропозициональными переменными, представляет соединение. Он принадлежит к третьей группе и имеет самую узкую область применения. Здесь он заменен современным символом союза «», таким образом

⊢ (p ∧ q . ⊃ . P ⊃ q).

Две оставшиеся точки выделяют главную связку всей формулы. Они иллюстрируют полезность точечной записи при выборе тех связок, которые относительно более важны, чем те, которые их окружают. Один слева от "⊃" заменяется парой круглых скобок, правая идет туда, где находится точка, а левая идет как можно дальше влево, не пересекая группу точек большей силы, в в этом случае две точки, следующие за знаком утверждения, таким образом

⊢ ((p ∧ q) ⊃ . P ⊃ q)

Точка справа от "⊃" заменяется левой круглой скобкой, которая идет туда, где находится точка, и правой круглой скобкой, которая идет как можно дальше вправо, не выходя за рамки, уже установленные группой точек большего размера. сила (в данном случае две точки, следующие за знаком утверждения). Таким образом, правая скобка, которая заменяет точку справа от "⊃", помещается перед правой круглой скобкой, которая заменяет две точки, следующие за знаком утверждения, таким образом

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Пример 2 с двойными, тройными и четверными точками:

✸9,521 . ⊢:: (∃x). φx. ⊃. q: ⊃:. (∃x). φx. v. г: ⊃. qvr

означает

((((∃x) (φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (qvr)))

Пример 3, с двойной точкой, обозначающей логический символ (из тома 1, страница 10):

p ⊃ q : q ⊃ r .⊃. п ⊃ р

означает

( p ⊃ q ) ∧ (( q ⊃ r ) ⊃ ( p ⊃ r ))

где двойная точка представляет логический символ ∧ и может рассматриваться как имеющая более высокий приоритет как нелогическая одиночная точка.

Позже в разделе ✸14 появляются квадратные скобки «[]», а в разделах ✸20 и далее появляются скобки «{}». Неясно, имеют ли эти символы конкретное значение или предназначены только для визуального пояснения. К сожалению, одиночная точка (а также « : », « :. », « :: » и т. Д.) Также используется для обозначения «логического продукта» (современное логическое И часто обозначается буквами «&» или «∧»).

Логическая импликация представлена ​​«» Пеано, упрощенной до «⊃», логическое отрицание символизируется удлиненной тильдой, то есть «~» (современное «~» или «¬»), логическое ИЛИ - «v». Символ «=» вместе с «Df» используется для обозначения «определяется как», тогда как в разделах ✸13 и последующих «=» определяется как (математически) «идентично с», т. Е. Современное математическое «равенство» ( см. обсуждение в разделе 13 ). Логическая эквивалентность представлена ​​буквой «» (современное «тогда и только тогда»); «элементарные» пропозициональные функции записываются обычным образом, например, « f ( p )»,но позже знак функции появляется непосредственно перед переменной без скобок, например, «φ x », «χ x » и т. д.

Например, PM вводит определение «логического продукта» следующим образом:

✸3.01 . стр . q . = . ~ (~ p v ~ q ) Df .

где « p . q » - логическое произведение p и q .

✸3.02 . p ⊃ q ⊃ r . = . p ⊃ q . q ⊃ r Df .

Это определение служит просто для сокращения доказательств.

Перевод формул в современные символы : разные авторы используют альтернативные символы, поэтому окончательного перевода дать нельзя. Однако из-за критики, подобной приведенной ниже критике Курта Гёделя , лучшие современные трактовки будут очень точными в отношении «правил формирования» (синтаксиса) формул.

Первую формулу можно преобразовать в современный символизм следующим образом: ^[18]

( p & q ) = _df (~ (~ p v ~ q ))

попеременно

( p & q ) = _df (¬ (¬ p v ¬ q ))

попеременно

( p ∧ q ) = _df (¬ (¬ p v ¬ q ))

и Т. Д.

Вторую формулу можно преобразовать следующим образом:

( p → q → r ) = _df ( p → q ) & ( q → r )

Но обратите внимание, что это не (логически) эквивалентно ни ( p → ( q → r )), ни (( p → q ) → r ), и эти два логически не эквивалентны.

Введение в обозначения «Раздела B Теории очевидных переменных» (формулы ✸8 – ✸14.34) [ править ]

Эти разделы касаются того, что сейчас известно как логика предикатов и логика предикатов с идентичностью (равенством).

• NB: В результате критики и продвижений во втором издании PM (1927 г.) №9 заменяется новым №8 (Приложение A). Этот новый раздел устраняет различие в первом издании между действительными и кажущимися переменными, и он устраняет «примитивную идею« утверждения пропозициональной функции ». ^[19] Чтобы усложнить трактовку, 8 вводит понятие подстановки» матрица », и штрих Шеффера :

• Матрица : В современном использовании PM «s матрица (по крайней мере , для пропозициональных функций ), в таблице истинности , то есть, все истинностные значения пропозициональной или предикатной функции.
• Ход Шеффера : Является ли современное логическое И- НЕ (НЕ-И), то есть «несовместимость», то есть:

«Учитывая два предложения p и q , тогда ' p | q ' означает, что« предложение p несовместимо с предложением q », т. Е. Если оба предложения p и q оцениваются как истинные, тогда и только тогда p | q оценивается как ложное». После раздела ✸8 штрих Шеффера не используется.

Раздел №10: Экзистенциальные и универсальные «операторы» : PM добавляет «( x )», чтобы представить современный символизм «для всех x », то есть «∀ x », и использует E с обратными засечками для представления «существует x». «, т. е.« (Ǝx) », т. е. современное« ∃x ». Типичные обозначения будут похожи на следующие:

«( x ) . φ x » означает «для всех значений переменной x функция φ принимает истинное значение»

«(Ǝ х ) . Ф х » означает «при некотором значении переменной х , функция ф принимает значение истина»

Разделы №10, №11, №12: Свойства переменной распространены на всех людей : в разделе №10 вводится понятие «свойства» «переменной». PM приводит пример: φ - функция, которая указывает «является греком», а ψ указывает «является человеком», а χ указывает «смертный», эти функции затем применяются к переменной x . PM теперь может писать и оценивать:

( х ) . ψ x

Приведенное выше обозначение означает «для всех x , x - человек». Учитывая совокупность людей, можно оценить приведенную выше формулу на предмет истинности или лжи. Например, учитывая ограниченный набор индивидов {Сократ, Платон, Рассел, Зевс}, вышеупомянутое оценивается как «истинное», если мы позволяем Зевсу быть мужчиной. Но это не для:

( х ) . φ x

потому что Рассел не грек. И это не для

( х ) . х х

потому что Зевс не смертный.

Обладая этой записью, PM может создавать формулы, выражающие следующее: «Если все греки - люди, и если все люди смертны, то все греки - смертные». ( PM 1962: 138)

( х ) . φ x ⊃ ψ x : ( х ) . ψ х ⊃ х х : ⊃ : ( х ) . ф х ⊃ х х

Другой пример: формула:

✸10.01 . (Ǝ х ) . ф х . = . ~ ( х ) . ~ φ x Df .

означает: «Символы, представляющие утверждение« Существует по крайней мере один x , удовлетворяющий функции φ », определяются символами, представляющими утверждение« Это неправда, что при всех значениях x не существует значений x, удовлетворяющих φ »».

Символы ⊃ _x и «≡ _x » появляются в 10.02 и 10.03 . Оба являются сокращениями универсальности (т.е. для всех), которые связывают переменную x с логическим оператором. В современных обозначениях просто использовались бы круглые скобки вне знака равенства ("="):

✸10.02 φ x ⊃ _x ψ x . = . ( х ) . φ x ⊃ ψ x Df

Современное обозначение: ∀ x (φ ( x ) → ψ ( x )) (или вариант)

✸10.03 φ x ≡ _x ψ x . = . ( х ) . φ x ≡ ψ x Df

Современное обозначение: ∀ x (φ ( x ) ↔ ψ ( x )) (или вариант)

PM приписывает первый символизм Пеано.

В разделе ✸11 этот символизм применяется к двум переменным. Таким образом, следующие обозначения: ⊃ _x , ⊃ _y , ⊃ _{x, y} могут все появиться в одной формуле.

В разделе 12 вновь вводится понятие «матрица» (современная таблица истинности ), понятие логических типов и, в частности, понятия функций и предложений первого и второго порядка .

Новый символизм «φ ! X » представляет любое значение функции первого порядка. Если над переменной помещается циркумфлекс «＾», то это «индивидуальное» значение y , означающее, что « ŷ » указывает на «отдельных лиц» (например, строку в таблице истинности); это различие необходимо из-за матричной / экстенсиональной природы пропозициональных функций.

Теперь, вооружившись понятием матрицы, PM может утверждать свою спорную аксиому сводимости : функция одной или двух переменных (двух достаточно для использования PM ), где все ее значения заданы (то есть в ее матрице) (логически) эквивалент («≡») некоторой «предикативной» функции тех же переменных. Определение одной переменной приводится ниже в качестве иллюстрации обозначения ( PM 1962: 166–167):

✸12.1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡ _х . е ! x Pp ;

Pp - это «примитивное суждение» («Предложения, предполагаемые без доказательства») ( PM 1962: 12, т. Е. Современные «аксиомы»), добавляющее к 7, определенным в разделе ✸1 (начиная с ✸1.1 modus ponens ). Их следует отличать от «примитивных идей», которые включают в себя знак утверждения «», отрицание «~», логическое ИЛИ «V», понятия «элементарное предложение» и «элементарная пропозициональная функция»; они настолько близки, насколько PM подходит к правилам формирования обозначений, т. е. синтаксису .

Это означает: «Мы утверждаем истинность следующего: существует функция f со свойством, которое: при всех значениях x их вычисления в функции φ (т. Е. Результирующая их матрица) логически эквивалентны некоторому f, вычисленному в тех же самых значения x . (и наоборот, отсюда логическая эквивалентность) ". Другими словами: если задана матрица, определяемая свойством φ, примененным к переменной x , существует функция f, которая при применении к x логически эквивалентна матрице. Или: каждая матрица φ x может быть представлена ​​функцией f, примененной к x , и наоборот.

✸13: Оператор идентификации "=" : это определение, которое использует знак двумя разными способами, как отмечено в цитате из PM :

✸13.01 . х = у . = : (φ) : φ ! х . ⊃ . φ ! y Df

средства:

"Это определение гласит, что x и y должны называться идентичными, если каждая предикативная функция, удовлетворяемая x , также удовлетворяется y ... Обратите внимание, что второй знак равенства в приведенном выше определении объединен с" Df "и, следовательно, не на самом деле тот же символ, что и определяемый знак равенства ".

Знак «не равно» «≠» появляется как определение в ✸13.02 .

✸14: Описание :

« Описание - это фраза вида« член y, который удовлетворяет φ ŷ , где φ ŷ - некоторая функция, которой удовлетворяет один и только один аргумент » ^[20].

Из этого PM используются два новых символа, прямая «E» и перевернутая йота «». Вот пример:

✸14.02 . E ! (℩ y ) (φ y ) . = : (Ǝ b ) : φ y . ≡ _у . у = b Df .

Это имеет значение:

« Y, удовлетворяющий φ ŷ, существует», который выполняется тогда и только тогда, когда φ ŷ удовлетворяется одним значением y и никаким другим значением. ( PM 1967: 173–174)

Введение в обозначения теории классов и отношений [ править ]

Текст переходит с раздела №14 непосредственно к основному разделу №20 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ и №21 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ . «Отношения» - это то, что в современной теории множеств известно как наборы упорядоченных пар . В разделах №20 и №22 представлены многие символы, которые все еще используются в наши дни . К ним относятся символы «ε», «⊂», «∩», «∪», «-», «Λ» и «V»: «ε» означает «является элементом» ( PM 1962: 188); «⊂» ( ✸22.01 ) означает «содержится в», «является подмножеством»; «∩» ( ✸22.02 ) означает пересечение (логическое произведение) классов (множеств); «∪» ( .0322.03) означает объединение (логическую сумму) классов (множеств); «-» ( ✸22.03 ) означает отрицание класса (множества); «Λ» означает нулевой класс; и "V" означает универсальный класс или универсум дискурса.

Строчные греческие буквы (кроме «ε», «ι», «π», «φ», «ψ», «χ» и «θ») представляют классы (например, «α», «β», «γ»). "," δ "и т. д.) ( PM 1962: 188):

х ε α

«Использование одной буквы вместо символов , таких как Z (φ г ) или Z (ф ! Г ) практически почти необходимым, поскольку в противном случае обозначение быстро становится нестерпимо громоздким. Таким образом , „ х ε α“будет означать ' х является член класса α '". ( PM 1962: 188)

α ∪ –α = V

Объединение множества и его инверсии является универсальным (завершенным) множеством. ^[21]

α ∩ –α = Λ

Пересечение набора и его обратного - это нулевой (пустой) набор.

При применении к отношениям в разделе ✸23 РАСЧЕТ ОТНОШЕНИЙ символы «⊂», «∩», «∪» и «-» приобретают точку: например: «⊍», «∸». ^[22]

Понятие и обозначение «класса» (множества) : в первом издании PM утверждает, что не требуется никаких новых примитивных идей для определения того, что подразумевается под «классом», и только два новых «примитивных предложения», называемых аксиомами. сводимости для классов и отношений соответственно ( PM 1962: 25). ^[23] Но прежде чем это понятие может быть определено, PM считает необходимым создать своеобразное обозначение « ẑ (φ z )», которое он называет «фиктивным объектом». ( PM 1962: 188)

⊢ : x ε ẑ (φ z ) . ≡ . (ф х )

«т.е.« x является членом класса, определенного посредством (φ by ) »[логически] эквивалентно« x удовлетворяет (φ ẑ ) »или« (φ x ) истинно ».». ( PM 1962: 25)

По крайней мере, PM может рассказать читателю, как ведут себя эти фиктивные объекты, потому что «класс полностью определен, когда известно его членство, то есть не может быть двух разных классов, имеющих одинаковое членство» ( PM 1962: 26). Это символизируется следующим равенством (аналогично п. 13.01 выше:

ẑ (φ z ) = ẑ (ψ z ) . ≡ : ( х ) : φ х . ≡ . ψ x

«Последнее является отличительной чертой классов и оправдывает нас, когда мы рассматриваем ẑ (ψ z ) как класс, определяемый [функцией] ψ ẑ ». ( PM 1962: 188)

Возможно, сказанное выше может быть прояснено обсуждением классов во введении ко второму изданию , в котором аксиома сводимости устраняется и заменяется понятием: «Все функции функций экстенсиональны» ( PM 1962: xxxix), т. Е.

φ х ≡ _х ψ х . ⊃ . ( x ) : ƒ (φ ẑ ) ≡ ƒ (ψ ẑ ) ( PM 1962: xxxix)

Это имеет разумный смысл , что «если для всех значений х в истинности значения функций ф и г о х являются [логически] эквивалентны, то функция ƒ от заданной φ Z и ƒ из ф Z являются [логически] эквивалент . " Премьер-министр утверждает, что это «очевидно»:

"Это очевидно, поскольку φ может появиться в ƒ (φ ẑ ) только путем подстановки значений φ вместо p, q, r, ... в [логической-] функции, и, если φ x ≡ ψ x , подмена φ х для р в [логико] функции дает то же истинностное значение истинности функции в качестве подмены ψ х . Следовательно , больше нет никаких оснований различать функции классов, потому что мы имеем, в в силу вышеизложенного,

φ х ≡ _х ψ х . ⊃ . ( х ) . φ ẑ = . ψ ẑ ".

Обратите внимание на изменение знака равенства "=" справа. PM говорится о том , что будет продолжать висеть на обозначение « Z (φ г )», но это просто эквивалентно φ Z , и это класс. (все цитаты: PM 1962: xxxix).

Последовательность и критика [ править ]

По словам Карнапа «s„логицистом Основы математики“, Рассел хотел теорию , которая могла правдоподобно быть сказано , чтобы получить всю математику из чисто логических аксиом. Однако Principia Mathematica требовала, в дополнение к основным аксиомам теории типов, еще три аксиомы, которые казались неверными как простые вопросы логики, а именно: аксиома бесконечности , аксиома выбора и аксиома сводимости . Поскольку первые две были экзистенциальными аксиомами, Рассел сформулировал математические утверждения в зависимости от них как условные. Но сводимость требовалась, чтобы быть уверенным, что формальные утверждения даже должным образом выражают утверждения реального анализа, чтобы утверждения, зависящие от него, не могли быть переформулированы как условные.Фрэнк П. Рэмси пытался доказать, что разветвление Расселом теории типов было ненужным, так что сводимость могла быть устранена, но эти аргументы казались неубедительными.

Помимо статуса аксиом как логических истин , можно задать следующие вопросы о любой системе, такой как PM:

• можно ли вывести противоречие из аксиом (вопрос о несогласованности ), и
• существует ли математическое утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в системе (вопрос о полноте ).

Было известно, что сама логика высказываний непротиворечива, но этого не было установлено в отношении аксиом теории множеств Principia . (См . Вторую проблему Гильберта .) Рассел и Уайтхед подозревали, что система в PM неполная: например, они указали, что она не кажется достаточно мощной, чтобы показать, что кардинал _ω существует. Однако можно спросить, является ли какое-то ее рекурсивно аксиоматизируемое расширение полным и непротиворечивым.

Гёдель 1930, 1931 [ править ]

В 1930 году теорема Гёделя о полноте показала, что логика предикатов первого порядка сама по себе полна в гораздо более слабом смысле - то есть, любое предложение, которое недоказуемо с помощью данного набора аксиом, должно фактически быть ложным в какой-либо модели аксиом. Однако это не самое сильное чувство полноты, желаемое для Principia Mathematica, поскольку данная система аксиом (например, Principia Mathematica) может иметь множество моделей, в некоторых из которых данное утверждение истинно, а в других - это утверждение. ложно, так что это утверждение не определяется аксиомами.

Теоремы Гёделя о неполноте неожиданно пролили свет на эти два взаимосвязанных вопроса.

Первая теорема Гёделя о неполноте показала, что никакое рекурсивное расширение Principia не может быть одновременно согласованным и полным для арифметических утверждений. (Как упоминалось выше, для некоторых неарифметических утверждений уже было известно, что сами принципы являются неполными.) Согласно теореме, в каждой достаточно мощной рекурсивной логической системе (такой как « Начала» ) существует утверждение G, которое, по сути, гласит: « утверждение G не может быть доказано ". Такое утверждение является своего рода уловкой-22 : если G доказуемо, то оно ложно, и поэтому система непоследовательна; и если G не доказуемо, то это правда, и поэтому система неполна.

Вторая теорема Гёделя о неполноте (1931) показывает, что никакая формальная система, расширяющая основную арифметику, не может быть использована для доказательства ее собственной непротиворечивости. Таким образом, утверждение «не существует никаких противоречий в Principia системе» не может быть доказана в Principia системе , если там нет противоречий в системе (в этом случае он может быть испытанной и истинным и ложным).

Витгенштейн 1919, 1939 [ править ]

Ко второму изданию ПМ Рассел удалил свою аксиому сводимости к новой аксиоме (хотя он не заявляет об этом как таковую). Гёдель 1944: 126 описывает это так:

«Это изменение связано с новой аксиомой, согласно которой функции могут встречаться в предложениях только« через свои значения », т. Е. Экстенсионально ... [это] совершенно не вызывает возражений даже с конструктивной точки зрения ... при условии, что кванторы всегда ограничены определением. заказы ». Этот переход от квазиинтенсиональной позиции к полностью экстенсиональной позиции также ограничивает логику предикатов вторым порядком, то есть функциями функций: «Мы можем решить, что математика должна ограничиваться функциями функций, которые подчиняются вышеуказанному предположению» ( PM 2nd редакция с. 401, Приложение C).

Это новое предложение привело к плачевным результатам. «Экстенсиональная позиция» и ограничение логики предикатов второго порядка означают, что пропозициональная функция, распространенная на всех индивидов, такая как «Все« x »синие», теперь должна перечислять все «x», которые удовлетворяют (истинны в) предложение, перечислив их в возможно бесконечном соединении: например, x ₁ ∧ x ₂ ∧. . . ∧ x _n ∧. . .. По иронии судьбы, это изменение произошло в результате критики Витгенштейна в его Логико-философском трактате 1919 года . Как описывает Рассел во введении ко второму изданию PM :

"Есть еще один курс, рекомендованный Витгенштейном † († Tractatus Logico-Philosophicus , * 5.54ff) по философским причинам. Это предполагает, что функции предложений всегда являются функциями истинности и что функция может возникать в предложении только через его значения. [...] [Работая над последствиями] кажется, что все в томе I остается верным (хотя часто требуются новые доказательства); теория индуктивных кардиналов и ординалов выживает; но кажется, что теория бесконечного Дедекиндовы и хорошо упорядоченные ряды в значительной степени разрушаются, так что иррациональные и действительные числа в целом больше не могут быть адекватно рассмотрены. Также доказательство Кантора, что 2 ⁿ > n, не работает, если n не является конечным ». ( PM2-е издание переиздано 1962 г .: xiv, также ср. новое Приложение C).

Другими словами, тот факт, что бесконечный список не может быть определен реалистично, означает, что понятие «числа» в бесконечном смысле (то есть континуум) не может быть описано новой теорией, предложенной во втором издании PM .

Витгенштейн в своих лекциях по основам математики в Кембридже 1939 г. критиковал Principia по разным причинам, например:

• Он призван раскрыть фундаментальные основы арифметики. Однако фундаментальными являются наши повседневные арифметические методы, такие как счет; поскольку, если между счетом и принципами возникает стойкое несоответствие , это будет рассматриваться как свидетельство ошибки в " Началах" (например, что "Начала" неправильно характеризует числа или сложение), а не как свидетельство ошибки в повседневном счете.
• Вычислительные методы в Principia можно использовать на практике только с очень маленькими числами. Для вычисления с использованием больших чисел (например, миллиардов) формулы стали бы слишком длинными, и пришлось бы использовать какой-то сокращенный метод, который, несомненно, основывался бы на повседневных методах, таких как подсчет (или еще на нефундаментальных и, следовательно, сомнительные методы, такие как индукция). Итак, Principia снова зависит от повседневных техник, а не наоборот.

Витгенштейн, однако, признал, что « Начала», тем не менее, могут сделать некоторые аспекты повседневной арифметики более ясными.

Гёдель 1944 [ править ]

В своей математической логике Рассела 1944 года Гедель предлагает «критическое, но сочувственное обсуждение логического порядка идей»: ^[24]

"Следует сожалеть о том, что этому первому всеобъемлющему и исчерпывающему изложению математической логики и выведению из нее математики [] так сильно не хватает формальной точности в основах (содержащихся в * 1- * 21 Принципов ), что в этом отношении он представляет собой значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Отсутствует, прежде всего, точное изложение синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опускаются даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств. .. дело в том , особенно сомнительно для правила подстановки и замены определенных символов их дефиниенса ... это наипаче правило замещения , которая должна была бы быть доказана»(Гедель 1944: 124) ^[25]

Содержание [ править ]

Часть I Математическая логика. Том I с №1 по №43 [ править ]

В этом разделе описывается исчисление высказываний и предикатов, а также приводятся основные свойства классов, отношений и типов.

Часть II Пролегомены к кардинальной арифметике. Том I от 50 до 97 фунтов [ править ]

В этой части рассматриваются различные свойства отношений, особенно те, которые необходимы для кардинальной арифметики.

Часть III Кардинальная арифметика. Том II от 100 до 126 фунтов [ править ]

Это охватывает определение и основные свойства кардиналов. Кардинал определяется как класс эквивалентности подобных классов (в отличие от ZFC , где кардинал - это особый вид ординала фон Неймана). Каждый тип имеет свою собственную коллекцию кардиналов, связанных с ним, и существует значительный объем бухгалтерского учета, необходимый для сравнения кардиналов разных типов. PM определяют сложение, умножение и возведение в степень кардиналов и сравнивают различные определения конечных и бесконечных кардиналов. ✸120.03 - Аксиома бесконечности.

Часть IV Относительно-арифметика. Том II с 150 по 186 фунтов [ править ]

«Число-отношение» - это класс эквивалентности изоморфных отношений. PM определяет аналоги сложения, умножения и возведения в степень для произвольных отношений. Сложение и умножение похоже на обычное определение сложения и умножения порядковых чисел в ZFC, хотя определение возведения в степень отношений в PM не эквивалентно обычному определению, используемому в ZFC.

Часть V. Серия. Том II от 200 до 234 и том III от 250 до 276 [ править ]

Это охватывает серию, что является термином PM для того, что теперь называется полностью упорядоченным набором. В частности, он охватывает полные серии, непрерывные функции между сериями с топологией порядка (хотя, конечно, они не используют эту терминологию), хорошо упорядоченные серии и серии без «пробелов» (те, у которых член строго между любыми двумя заданными элементами) .

Часть VI. Количество. Том III от 300 до 375 [ править ]

В этом разделе строится кольцо целых чисел, поля рациональных и действительных чисел и «векторные семейства», которые связаны с тем, что сейчас называется торсорами над абелевыми группами.

Сравнение с теорией множеств [ править ]

В этом разделе сравнивается система в PM с обычными математическими основами ZFC. Система PM примерно сравнима по силе с теорией множеств Цермело (или, точнее, ее версией, в которой аксиома разделения ограничивает все кванторы).

• Система логики высказываний и исчисления предикатов в PM по существу та же, что используется сейчас, за исключением того, что изменились обозначения и терминология.
• Наиболее очевидное различие между PM и теорией множеств состоит в том, что в PM все объекты принадлежат к одному из множества непересекающихся типов. Это означает, что все дублируется для каждого (бесконечного) типа: например, у каждого типа есть свои порядковые, кардинальные, действительные числа и так далее. Это приводит к большому объему бухгалтерского учета, чтобы связать различные типы друг с другом.
• В ZFC функции обычно кодируются как наборы упорядоченных пар. В PM функции трактуются иначе. Прежде всего, «функция» означает «пропозициональная функция», то есть нечто, принимающее значения истинное или ложное. Во-вторых, функции не определяются своими значениями: возможно иметь несколько разных функций, принимающих одинаковые значения (например, можно рассматривать 2 x +2 и 2 ( x+1) как разные функции на том основании, что компьютерные программы для их оценки разные). Функции в ZFC, заданные наборами упорядоченных пар, соответствуют тому, что PM называют «матрицами», а более общие функции в PM кодируются путем количественной оценки некоторых переменных. В частности, PM различает функции, определенные с использованием количественной оценки, и функции, не определенные с помощью количественной оценки, тогда как ZFC не делает этого различия.
• У PM нет аналога аксиоме замещения , хотя это не имеет большого практического значения, поскольку эта аксиома очень мало используется в математике за пределами теории множеств.
• PM подчеркивает отношения как фундаментальное понятие, тогда как в современной математической практике более фундаментальными считаются функции, а не отношения; например, теория категорий делает упор на морфизмы или функции, а не на отношения. (Однако есть аналог категорий, называемый аллегориями, который моделирует отношения, а не функции, и очень похож на систему типов PM.)
• В PM кардиналы определяются как классы аналогичных классов, тогда как в ZFC кардиналы являются специальными порядковыми числами. В PM есть свой набор кардиналов для каждого типа с некоторыми сложными механизмами для перемещения кардиналов между типами, тогда как в ZFC есть только один вид кардиналов. Поскольку PM не имеет эквивалента аксиомы замены, он не может доказать существование кардиналов, больших, чем ℵ _ω .
• В PM порядковые числа рассматриваются как классы эквивалентности хорошо упорядоченных множеств, и, как и в случае кардиналов, существует свой набор порядковых номеров для каждого типа. В ZFC есть только один набор ординалов, обычно определяемый как ординалы фон Неймана . Одна странная особенность PM состоит в том, что у них нет порядкового номера, соответствующего 1, что вызывает многочисленные ненужные сложности в их теоремах. Определение порядкового возведения в степень α ^β в PM не эквивалентно обычному определению в ZFC и имеет некоторые довольно нежелательные свойства: например, оно не непрерывно по β и плохо упорядочено (то есть даже не порядковое).
• Конструкции целых, рациональных и действительных чисел в ZFC были значительно упрощены с течением времени с момента создания в PM.

Различия между редакциями [ править ]

За исключением исправлений опечаток, основной текст ПМ между первым и вторым изданиями не изменился. Основной текст в томах 1 и 2 был сброшен, поэтому он занимает меньше страниц в каждом. Во втором издании том 3 не был сброшен, а был переиздан фотографиями с той же нумерацией страниц; исправления все же были внесены. Общее количество страниц (без форзацев) в первом издании - 1996; во втором - 2000. В Том 1 добавлено пять новых:

• 54-страничное введение Рассела с описанием изменений, которые они бы внесли, если бы у них было больше времени и энергии. Главное изменение, которое он предполагает, является устранение спорной аксиому сводимости, хотя он признает, что он не знает удовлетворительную замену для него. Он также кажется более благоприятным для идеи, что функция должна определяться своими значениями (как это принято в современной математической практике).
• Приложение A, пронумерованное * 8, 15 страниц, о штрихе Шеффера.
• Приложение B, пронумерованное * 89, обсуждает индукцию без аксиомы сводимости.
• Приложение C, 8 страниц, обсуждая пропозициональные функции.
• 8-страничный список определений в конце, дающий столь необходимый указатель к примерно 500 используемым обозначениям.

В 1962 году издательство Cambridge University Press опубликовало сокращенное издание в мягкой обложке, содержащее части второго издания тома 1: новое введение (и старое), основной текст до * 56 и приложения A и C.

Редакции [ править ]

• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1910), Principia Mathematica , 1 (1 -е изд.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM  41.0083.02
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1912), Principia Mathematica , 2 (1 -е изд.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM  43.0093.03
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1913), Principia Mathematica , 3 (1 -е изд.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM  44.0068.01
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1925), Principia mathematica , 1 (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM  51.0046.06
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1927), Principia mathematica , 2 (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM  53.0038.02
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1927), Principia mathematica , 3 (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM  53.0038.02
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1997) [1962], Principia mathematica to * 56 , Кембриджская математическая библиотека, Кембридж: Cambridge University Press, DOI : 10.1017 / CBO9780511623585 , ISBN 0-521-62606-4, Руководство по ремонту  1700771 , Zbl  0877.01042

Первое издание было переиздано в 2009 году издательством Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3 , ISBN 978-1-60386-183-0 , ISBN 978-1-60386-184-7 .   

См. Также [ править ]

• Аксиоматическая теория множеств
• Булева алгебра
• Язык обработки информации - первая вычислительная демонстрация теорем в PM
• Введение в математическую философию

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Стивен Клини (1952). Введение в метаматематику , 6-е переиздание, издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN 0-7204-2103-9 . 
  • Стивен Коул Клини ; Майкл Бисон (2009). Введение в метаматематику (издание в мягкой обложке). Ishi Press. ISBN 978-0-923891-57-2.
• Айвор Граттан-Гиннесс (2000). Поиск математических корней 1870–1940 , Princeton University Press, Princeton NJ, ISBN 0-691-05857-1 . 
• Людвиг Витгенштейн (2009), Основные работы: Избранные философские сочинения , HarperrCollins, Нью-Йорк, ISBN 978-0-06-155024-9 . Особенно: 

Tractatus Logico-Philosophicus (Вена, 1918), оригинальная публикация на немецком языке).

• Редактор Жана ван Хейеноорта (1967). От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , 3-е издание, издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-674-32449-8 . 
• Мишель Вебер и Уилл Десмонд (редакторы) (2008) Справочник по мысли о процессе Уайтхеда , Франкфурт / Ланкастер, Ontos Verlag, Process Thought X1 & X2.

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с Principia Mathematica на Викискладе?
• Стэнфордская энциклопедия философии :
  • Принципы математики - А.Д. Ирвин
  • Обозначения в Principia Mathematica - Бернарда Лински.
• Предложение ✸54.43 в более современных обозначениях ( Metamath )