Begriffsschrift

Титульный лист оригинального издания 1879 г.

Begriffsschrift (немецкий язык для, грубо говоря, «концепт-сценарий») представляет собой книгу по логике по Фрегу , опубликованной в 1879 году, и формальную систему , изложенную в этой книге.

Begriffsschrift обычно переводится как написание концепций или обозначение концепций ; полное название книги определяет ее как « язык формул , созданный по образцу арифметики для чистого мышления ». Мотивация Фреге к разработке своего формального подхода к логике напоминала мотивацию Лейбница для его логического вычисления (несмотря на это, в предисловии Фреге ясно отрицает, что он достиг этой цели, а также то, что его основной целью будет построение идеального языка, подобного языку Лейбница, который Фреге заявляет, что это довольно трудная и идеалистическая, хотя и не невыполнимая задача). Фреге продолжал использовать свое логическое исчисление в своих исследованияхосновы математики , выполненные в течение следующей четверти века.

Обозначения и система [ править ]

Исчисление содержит первое появление количественных переменных и по сути является классической бивалентной логикой второго порядка с идентичностью. Он двухвалентен в том смысле, что предложения или формулы обозначают либо истину, либо ложь; второй порядок, потому что он включает в себя переменные отношения в дополнение к объектным переменным и позволяет количественную оценку по обоим. Модификатор «с идентификатором» указывает, что язык включает отношение идентичности =.

Фреге представляет свое исчисление, используя своеобразную двумерную нотацию : связки и кванторы записываются с использованием линий, соединяющих формулы, а не символов ¬, ∧ и ∀, используемых сегодня. Например, это суждение B по существу подразумевает суждение A , т. Е. Записывается как .${\ displaystyle B \ rightarrow A}$

В первой главе Фреге определяет основные идеи и обозначения, такие как суждение («суждение»), универсальный квантор («общность»), условное выражение , отрицание и «знак идентичности содержания» (который он использовал для обозначения обоих материальная эквивалентность и собственно идентичность); во второй главе он объявляет девять формализованных утверждений аксиомами.${\ Displaystyle \ Equiv}$

Основная концепция	Обозначение Фреге	Современные обозначения
Судить	${\ Displaystyle \ vdash A, \ Vdash A}$	${\ Displaystyle р (А) = 1,}$ ${\ Displaystyle р (А) = я}$${\ Displaystyle \ vdash A, \ Vdash A}$
Отрицание		${\ displaystyle \ neg A}$ ${\ displaystyle {\ sim} A}$
Условный (импликация)		${\ displaystyle B \ rightarrow A}$ ${\ Displaystyle B \ supset A}$
Универсальная количественная оценка		${\ Displaystyle \ forall x \, F (x)}$
Экзистенциальная количественная оценка		${\ Displaystyle \ существует х \, F (х)}$
Идентичность контента (эквивалентность / идентичность)	${\ Displaystyle А \ эквив Б}$	${\ displaystyle A \ leftrightarrow B}$ ${\ Displaystyle А \ эквив Б}$ ${\ displaystyle A = B}$

В главе 1, §5, Фреге определяет условное выражение следующим образом:

"Пусть A и B относятся к оцениваемому содержанию, тогда есть четыре возможности:

1. A утверждается, B утверждается;
2. A утверждается, B отрицается;
3. A отрицается, B утверждается;
4. A отрицается, B отрицается.

Позволять

означают, что третья из этих возможностей не реализуется, но одна из трех других дает. Итак, если мы отрицаем , это означает, что действительна третья возможность, то есть мы отрицаем A и утверждаем B. "

Исчисление в работе Фреге [ править ]

Фреге объявил девять своих предложений аксиомами и оправдал их неформальным утверждением, что с учетом их предполагаемого значения они выражают самоочевидные истины. Эти аксиомы, выраженные в современных обозначениях, таковы:

1. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}$
2. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}$
3. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}$
4. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}$
5. ${\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}$
6. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f(c)=f(d)\right)}$
8. ${\displaystyle \vdash \ \ c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \ \ \forall a\ f(a)\rightarrow \ f(c)}$

Это предложения 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 и 58 в Begriffschrifft . (1) - (3) определяют материальную импликацию , (4) - (6) отрицание , (7) и (8) тождество и (9) универсальный квантор . (7) выражает Лейбниц «S неразличимости тождественного , и (8) утверждает , что идентичность является рефлексивным отношением .

Все остальные предложения выводятся из (1) - (9) с помощью любого из следующих правил вывода :

• Modus ponens позволяет нам делать выводы из и ;${\displaystyle \vdash B}$${\displaystyle \vdash A\to B}$${\displaystyle \vdash A}$
• Правило обобщения позволяет сделать вывод из если й не происходит в Р ;${\displaystyle \vdash P\to \forall xA(x)}$${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$
• Правило подстановки , который Фрег не указывается явно. Это правило гораздо труднее сформулировать точно, чем два предыдущих правила, и Фреге применяет его не очевидно законными способами.

Основные результаты третьей главы, под названием «Часть из общей теории рядов,» озабоченность то , что теперь называются родовое из соотношения R . « a является R- предком b » пишется « aR * b ».

Фреге применил результаты Begriffsschrifft , в том числе те, которые относятся к предкам отношения, в своей более поздней работе «Основы арифметики» . Таким образом, если мы возьмем xRy как отношение y = x + 1, тогда 0 R * y будет предикатом « y - натуральное число». (133) говорит, что если x , y и z - натуральные числа , то должно выполняться одно из следующего: x < y , x = y или y < x. Это так называемый «закон трихотомии ».

Влияние на другие произведения [ править ]

Тщательное недавнее исследование того, как Begriffsschrift рассматривалось в немецкой математической литературе, см. В Vilko (1998). Некоторые рецензенты, особенно Эрнст Шредер , были в целом положительными. Вся работа по формальной логике, следующая за Begriffsschrift , обязана ей, потому что ее логика второго порядка была первой формальной логикой, способной отражать изрядную долю математики и естественного языка.

Некоторые следы обозначений Фреге сохранились в символе « турникета », производном от его «Urteilsstrich» (судящий / предполагающий штрих ) │ и «Inhaltsstrich» (то есть штрих содержания ) ──. Фреге использовал эти символы в Begriffsschrift в единой форме ├─ для утверждения, что предложение истинно. В своем более позднем «Grundgesetze» он немного пересматривает свою интерпретацию символа ├─.${\displaystyle \vdash }$

В «Begriffsschrift» «Definitionsdoppelstrich» (т.е. определение двойной штрих ) │├─ указывает на то, что предложение является определением. Кроме того, знак отрицания может быть прочитан как комбинация горизонтального Inhaltsstrich с вертикальной чертой отрицания. Этот символ отрицания был вновь введен Арендом Хейтингом ^[1] в 1930 году, чтобы отличить интуиционистское отрицание от классического. Он также появляется в докторской диссертации Герхарда Гентцена .${\displaystyle \neg }$

В Логико Philosophicus , Людвиг Витгенштейн воздает Фрег, используя термин Begriffsschrift как синоним логического формализма.

В эссе Фреге 1892 года « О смысле и референции » отрицаются некоторые выводы Begriffsschrifft относительно идентичности (обозначенной в математике знаком «=»). В частности, он отвергает точку зрения «Begriffsschrift», согласно которой предикат идентичности выражает взаимосвязь между именами, в пользу вывода, что он выражает взаимосвязь между объектами , которые обозначаются этими именами.

Котировки [ править ]

"Если задача философии состоит в том, чтобы сломить господство слов над человеческим разумом [...], то мои концептуальные обозначения, разработанные для этих целей, могут быть полезным инструментом для философов [...] Я считаю, что причина логики была продвинута уже с изобретением этой концепции обозначения ». (Предисловие к Begriffsschrift )

Редакции [ править ]

• Готтлоб Фреге . Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Halle a / S: Verlag von Louis Nebert, 1879.

Переводы:

• Байнум, Террелл Уорд , пер. и изд., 1972. Концептуальные обозначения и статьи по теме , с биографией и введением. Оксфордский университет. Нажмите.
• Бауэр-Менгельберг, Стефан, 1967, «Концептуальный сценарий» Жана ван Хейеноорта , изд., От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 гг . Гарвардский университет. Нажмите.
• Бини, Майкл, 1997, "Begriffsschrift: Selections (Preface and Part I)" в Frege Reader . Оксфорд: Блэквелл.

См. Также [ править ]

• Родовые отношения
• Исчисление эквивалентных утверждений
• Исчисление высказываний Фреге
• Principia Mathematica

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Джордж Булос , 1985. "Читая брошюру ", Mind 94: 331–44.
• Айвор Граттан-Гиннесс , 2000. В поисках математических корней . Издательство Принстонского университета.
• Ристо Vilkko, 1998, " Прием Фреге Begriffsschrift ," Historia Mathematica 25 (4) : 412-22.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Begriffsschrift .

• Залта, Эдвард Н. "Логика Фреге, теорема и основы арифметики" . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Begriffsschrift как факсимиле для загрузки (2,5 МБ)