Диск Зигель является подключенным компонентом в множестве Фату где динамика аналитический сопряжена с иррациональным вращением .
Описание
Для голоморфного эндоморфизма на римановой поверхности мы рассмотрим динамическую систему , порожденную итерациями из обозначается . Затем мы называем орбиту из как набор прямых итераций . Нас интересует асимптотика орбит в (который обычно будет , комплексная плоскость или, сфера Римана ), и мы называемфазовая плоскость или динамическая плоскость .
Одно возможное асимптотическое поведение точки должна быть неподвижной точкой или, вообще говоря, периодической точкой . В этом последнем случае где это период и средства фиксированная точка. Тогда мы можем определить множитель орбиты каки это позволяет нам классифицировать периодические орбиты как притягивающие, если сверхпривлекающий, если), отталкивая, если и безразлично, если . Безразличные периодические орбиты могут быть либо рационально, либо иррационально безразличными , в зависимости от того, для некоторых или же для всех , соответственно.
Диски Зигеля являются одним из возможных случаев связных компонентов в множестве Фату (дополнительное множество множества Жюлиа ), согласно Классификации компонентов Фату , и могут возникать вокруг иррационально индифферентных периодических точек. Набор Fatou - это, грубо говоря, набор точек, в которых итерации ведут себя так же, как и их соседи (они образуют нормальное семейство ). Диски Зигеля соответствуют точкам, в которых динамикааналитически сопряжены иррациональному вращению единичного комплексного круга.
Имя
Диск назван в честь Карла Людвига Сигеля .
Галерея
Юля настроена на , где а также это золотое сечение . Подчеркнуты орбиты некоторых точек внутри диска Зигеля.
Юля настроена на , где а также это золотое сечение . Подчеркнуты орбиты некоторых точек внутри диска Зигеля . Диск Зигеля либо неограничен, либо его граница является неразложимым континуумом . [1]
Заполненный набор Юля для для числа вращения золотого сечения с внутренним цветом, пропорциональным средней дискретной скорости на орбите = abs (z_ (n + 1) - z_n). Обратите внимание, что существует только один диск Зигеля и множество прообразов орбит внутри диска Зигеля.
Раскладывание диска Зигеля около 1/2
Раскладываем диск Зигеля около 1/3. Можно увидеть виртуальный диск Зигеля
Раскладывание диска Siegel около 2/7
Набор Джулии для fc (z) = z * z + c, где c = -0,749998153581339 + 0,001569040474910 * I. Внутренний угол в поворотах t = 0,49975027919634618290
Множество Жюлиа квадратичного многочлена с диском Зигеля для числа вращения [3,2,1000,1 ...]
Формальное определение
Позволять - голоморфный эндоморфизм, где- риманова поверхность , а U - связная компонента множества Фату. Мы говорим, что U - диск Зигеля над f вокруг точки если существует биголоморфизм где - единичный диск и такой, что для некоторых а также .
Теорема Зигеля доказывает существование дисков Зигеля для иррациональных чисел, удовлетворяющих сильному условию иррациональности ( диофантово условие ), тем самым решая открытую проблему, поскольку Фату предположил свою теорему о классификации компонентов Фату . [2]
Позднее Александр Д. Брюно улучшил это условие на иррациональность, расширив его до чисел Брюно . [3]
Это часть результата Классификации компонентов Fatou .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Рубена Berenguel и Нурия Fagella целой трансцендентной семьи с постоянным Зигеля диска, 2009 препринт: Arxiv: 0907,0116
- ^ Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Комплексная динамика , Springer 1993
- Перейти ↑ Milnor, John W. (2006), Dynamics in One Complex Variable , Annals of Mathematics Studies, 160 (Третье изд.), Princeton University Press(Впервые появился в 1990 году как препринт Stony Brook IMS, заархивированный 24 апреля 2006 г. на Wayback Machine , доступен как arXiV: math.DS / 9201272. )
- Диски Зигеля в Scholarpedia