Кольцо Германа

Множество Жюлиа кубической рациональной функции e ^{2π it} z ² ( z −4) / (1−4 z ) при t = .6151732 ... выбрано так, чтобы число вращения было ( √ 5 −1) / 2, что есть кольцо Германа (заштриховано).

В математической дисциплине, известной как комплексная динамика , кольцо Германа является компонентом Фату ^[1], где рациональная функция конформно сопряжена с иррациональным поворотом стандартного кольца .

Формальное определение [ править ]

А именно , если ƒ обладает Herman кольцо U с периодом р , то существует конформное отображение

${\ displaystyle \ phi: U \ rightarrow \ {\ zeta: 0 <r <| \ zeta | <1 \}}$

и иррациональное число , такое что${\ displaystyle \ theta}$

${\displaystyle \phi \circ f^{\circ p}\circ \phi ^{-1}(\zeta )=e^{2\pi i\theta }\zeta .}$

Так что динамика на кольце Германа проста.

Имя [ редактировать ]

Он был введен и позже назван в честь Майкла Хермана (1979 ^[2] ), который первым обнаружил и сконструировал этот тип компонента Fatou.

Функция [ править ]

• Многочлены не имеют колец Германа.
• Рациональные функции могут иметь кольца Германа
• В трансцендентных целых картах их нет ^[3]

Примеры [ править ]

Вот пример рациональной функции, которая обладает кольцом Германа. ^[1]

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}}$

где такое , что число вращения от ƒ на единичной окружности .${\displaystyle \tau =0.6151732\dots }$${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)/2}$

Картина показано справа является множеством Жюлиа из ƒ : кривые в белом кольце являются орбитами некоторых точек при итерациях ƒ в то время как пунктирная линия обозначает единичный круг.

Есть пример рациональной функции, которая обладает одновременно кольцом Германа и некоторыми периодическими параболическими компонентами Фату .

Рациональная функция, которая обладает кольцом Германа и некоторыми периодическими параболическими компонентами Фату, где число вращения на единичной окружности равно . Изображение было повернуто.${\displaystyle f_{t,a,b}(z)=e^{2\pi it}z^{3}\,{\frac {1-{\overline {a}}z}{z-a}}\,{\frac {1-{\overline {b}}z}{z-b}}}$${\displaystyle t=0.6141866\dots ,\,a=1/4,\,b=0.0405353-0.0255082i}$${\displaystyle f_{t,a,b}}$${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)/2}$

Далее, существует рациональная функция, обладающая кольцом Германа с периодом 2.

Рациональная функция обладает кольцами Германа с периодом 2

Здесь выражение этой рациональной функции есть

${\displaystyle g_{a,b,c}(z)={\frac {z^{2}(z-a)}{z-b}}+c,\,}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.17021425+0.12612303i,\\b&=0.17115266+0.12592514i,\\c&=1.18521775+0.16885254i.\end{aligned}}}$

Этот пример построен квазиконформной перестройкой ^[4] из квадратичного многочлена

${\displaystyle h(z)=z^{2}-1-{\frac {e^{{\sqrt {5}}\pi i}}{4}}}$

имеющий диск Зигеля с периодом 2. Параметры a ,  b ,  c вычисляются методом проб и ошибок .

Сдача

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.14285933+0.06404502i,\\b&=0.14362386+0.06461542i,{\text{ and}}\\c&=0.18242894+0.81957139i,\end{aligned}}}$

тогда период одного из колец Германа g _{a , b , c} равен 3.

Шишикура также привел пример: ^[5] рациональная функция, которая обладает кольцом Германа с периодом 2, но параметры, показанные выше, отличаются от его.

Возникает вопрос: как найти формулы рациональных функций, которые обладают кольцами Германа с большим периодом?

Согласно результатам Shishikura, если рациональная функция ƒ обладает Herman кольца, то степень ƒ по крайней мере , 3. Там также существует мероморфные функции , которые обладают Германом кольца.

Кольца Германа для трансцендентных мероморфных функций изучались Т. Наяком. Согласно результату Наяка, если для такой функции пропущено значение, то кольца Германа периода 1 или 2 не существуют. Также доказано, что если есть только один полюс и хотя бы пропущенное значение, функция не имеет кольца Германа любого периода.

См. Также [ править ]

• Кролик дуади
• Диск Зигеля

Ссылки [ править ]