Диск Зигеля

Диск Зигель является подключенным компонентом в множестве Фату где динамика аналитический сопряжена с иррациональным вращением .

Описание [ править ]

Учитывая голоморфную Эндоморфизм на римановой поверхности , рассмотрим динамическую систему , порожденную итерациями с обозначенными . Затем мы вызываем орбиту в качестве набора передних итераций . Мы заинтересованы в асимптотическом поведении орбит (которые , как правило , будут , то комплексная плоскость или , то сфера Римана ), и мы называем на фазовой плоскости или динамическую плоскость . ${\ displaystyle f: S \ to S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f ^ {n} = f \ circ {\ stackrel {\ left (n \ right)} {\ cdots}} \ circ f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {+} (z_ {0})}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {\ шляпа {C}} = \ mathbb {C} \ чашка \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle S}$

Одно из возможных асимптотических поведений точки - это быть неподвижной точкой или, в общем, периодической точкой . В этом последнем случае где - период, а среднее - фиксированная точка. Затем мы можем определить множитель орбиты как, и это позволяет нам классифицировать периодические орбиты как притягивающие, если сверхпритягивающие, если ), отталкивающие, если и безразличные, если . Безразлично периодические орбиты могут быть рационально равнодушны или нерационально равнодушны , в зависимости от того , для некоторых ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle f ^ {p} (z_ {0}) = z_ {0}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p = 1}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ rho = (е ^ {р}) '(z_ {0})}$ ${\ displaystyle | \ rho | <1}$ ${\ displaystyle | \ rho | = 0}$ ${\ displaystyle | \ rho |> 1}$ $\rho =1$ $\rho ^{n}=1$ $n\in \mathbb {Z}$ или для всех соответственно. $\rho ^{n}\neq 1$ $n\in \mathbb {Z}$

Диски Зигеля являются одним из возможных случаев связных компонентов в множестве Фату (дополнительное множество множества Жюлиа ) согласно Классификации компонентов Фату и могут возникать вокруг иррационально индифферентных периодических точек. Набор Фату - это, грубо говоря, набор точек, в которых итерации ведут себя так же, как и их соседи (они образуют нормальное семейство ). Диски Зигеля соответствуют точкам, в которых динамика аналитически сопряжена с иррациональным вращением сложного единичного диска. $f$

Имя [ редактировать ]

Диск назван в честь Карла Людвига Сигеля .

Галерея [ править ]

Диск Зигеля для полиномиального отображения
Юля установила , где и есть золотое сечение . Орбиты некоторых точек внутри диска Зигель подчеркнули $B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)$ $a=15-15i$ $\lambda$
Юля установила , где и есть золотое сечение . Подчеркнуты орбиты некоторых точек внутри диска Зигеля . Диск Зигеля либо неограничен, либо его граница является неразложимым континуумом . ^[1] $B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)$ $a=-0.33258+0.10324i$ $\lambda$
Заполненный Julia набор для для Золотых Среднего числа вращения с внутренним цветным пропорционально средней дискретной скоростью на орбите = ABS (Z_ (N + 1) - Z_n). Обратите внимание, что существует только один диск Зигеля и множество прообразов орбит внутри диска Зигеля. $f_{c}(z)=z*z+c$
Раскладывание диска Зигеля около 1/2
Раскладываем диск Зигеля около 1/3. Можно увидеть виртуальный диск Зигеля
Раскладывание диска Зигеля около 2/7
Набор Джулии для fc (z) = z * z + c, где c = -0,749998153581339 + 0,001569040474910 * I. Внутренний угол в поворотах t = 0,49975027919634618290
Множество Жюлиа квадратичного многочлена с диском Зигеля для числа вращения [3,2,1000,1 ...]

Формальное определение [ править ]

Пусть - голоморфный эндоморфизм, где - риманова поверхность , и пусть U - связная компонента множества Фату . Мы говорим, что U - круг Зигеля для f вокруг точки, если существует биголоморфизм где - единичный круг и такой, что для некоторых и . $f\colon S\to S$ $S$ ${\mathcal {F}}(f)$ $z_{0}$ $\phi :U\to \mathbb {D}$ $\mathbb {D}$ $\phi (f^{n}(\phi ^{-1}(z)))=e^{2\pi i\alpha n}z$ $\alpha \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ $\phi (z_{0})=0$

Теорема Зигеля доказывает существование кругов Зигеля для иррациональных чисел, удовлетворяющих сильному условию иррациональности ( диофантово условие ), тем самым решая открытую проблему, поскольку Фату предположил свою теорему о классификации компонентов Фату . ^[2]

Позднее Александр Д. Брюно улучшил это условие на иррациональность, расширив его до чисел Брюно . ^[3]

Это часть результата Классификации компонентов Fatou .

См. Также [ править ]

Кролик дуади
Кольцо Германа

В Викиучебнике есть книга на тему: Фракталы / Итерации в комплексной плоскости / Зигель.

Ссылки [ править ]

^ Рубена Berenguel и Нурия Fagella целой трансцендентной семьи с постоянным Зигеля диска, 2009 препринт: Arxiv: 0907,0116
^ Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамлен, Комплексная динамика , Springer 1993
^ Милнор, Джон У. (2006), Динамика в одной комплексной переменной , Annals of Mathematics Studies, 160 (Третье изд.), Princeton University Press(Впервые появился в 1990 году как препринт Stony Brook IMS, заархивированный 24 апреля 2006 г. на Wayback Machine , доступен как arXiV: math.DS / 9201272. )

Диски Зигеля в Scholarpedia

[1] Рубена Berenguel и Нурия Fagella целой трансцендентной семьи с постоянным Зигеля диска, 2009 препринт: Arxiv: 0907,0116

[2] Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамлен, Комплексная динамика , Springer 1993

[MilnorComplexDynamics-3] Милнор, Джон У. (2006), Динамика в одной комплексной переменной , Annals of Mathematics Studies, 160 (Третье изд.), Princeton University Press(Впервые появился в 1990 году как препринт Stony Brook IMS, заархивированный 24 апреля 2006 г. на Wayback Machine , доступен как arXiV: math.DS / 9201272. )