В математике , две функции называются топологически сопряжены друг с другом , если существует на гомеоморфизм , который будет Проспрягайте один в другой. Топологическая сопряженность важна при изучении повторяющихся функций и в более общем плане динамических систем , поскольку, если динамика одной повторяющейся функции может быть решена, то для любой топологически сопряженной функции следуют тривиально.
Чтобы проиллюстрировать это напрямую: предположим, что и - повторяющиеся функции, и существует такой гомеоморфизм , что
так что и топологически сопряжены. Тогда нужно иметь
следовательно, итерированные системы также топологически сопряжены. Здесь обозначает композицию функции .
Определение [ править ]
, и - непрерывные функции на топологических пространствах , и .
будучи топологически полусопряженным со средствами, по определению, это сюръекция такая, что .
и будучи топологически сопряженные средства, по определению, что они являются топологически полусопряжено и , кроме того , инъективны , то биективен , и его обратным является непрерывной слишком; т.е. является гомеоморфизмом ; далее, называется топологическим сопряжением между и .
Потоки [ править ]
Аналогично, on и on - это потоки , with и как указано выше.
будучи топологический полусопряжено с помощью, по определению, что является сюръекция таким образом, что для каждого , .
а то , что они топологически сопряжены , по определению означает, что они топологически полусопряжены и h является гомеоморфизмом.
Примеры [ править ]
- Логистическая карта и карта палатки топологически сопряжены. [1]
- Логистическая карта единичной высоты и карта Бернулли топологически сопряжены. [ необходима цитата ]
- Для определенных значений в пространстве параметров отображение Энона, когда оно ограничено своим множеством Жюлиа, топологически сопряжено или полусопряжено с отображением сдвига в пространстве двусторонних последовательностей из двух символов. [2]
Обсуждение [ править ]
Топологическое сопряжение - в отличие от полусопряжения - определяет отношение эквивалентности в пространстве всех непрерывных сюръекций топологического пространства самому себе, объявляя и связанными, если они топологически сопряжены. Это отношение эквивалентности очень полезно в теории динамических систем , поскольку каждый класс содержит все функции, которые разделяют одну и ту же динамику с топологической точки зрения. Например, орбиты из сопоставляются гомеоморфными орбиты через сопряжение. Запись делает этот факт очевидным: . Неформально говоря, топологическое сопряжение - это «смена координат» в топологическом смысле.
Однако аналогичное определение потоков носит несколько ограничительный характер. Фактически, мы требуем, чтобы отображения и были топологически сопряженными для каждого , что требует большего, чем просто отображение орбит на орбиты гомеоморфизма. Это мотивирует определение топологической эквивалентности , которое также разделяет множество всех потоков на классы потоков, разделяющих одну и ту же динамику, опять же с топологической точки зрения.
Топологическая эквивалентность [ править ]
Мы говорим , что два потока и являются топологически эквивалентными , если существует гомеоморфизм , отображение орбит на орбиты гомеоморфно и сохранения ориентации орбит. Другими словами, обозначая орбиту, мы имеем
для каждого . Кроме того, необходимо выстроить течение времени: для каждого существует такое, что если и если s таково, что , то .
В целом, топологическая эквивалентность является более слабым критерием эквивалентности, чем топологическая сопряженность, поскольку не требует, чтобы временной член отображался вместе с орбитами и их ориентацией. Примером топологически эквивалентной, но не топологически сопряженной системы может быть негиперболический класс двумерных систем дифференциальных уравнений, имеющих замкнутые орбиты. В то время как орбиты могут быть преобразованы друг в друга для перекрытия в пространственном смысле, периоды таких систем не могут быть сопоставлены аналогичным образом, таким образом не удовлетворяя критерию топологической сопряженности при удовлетворении критерия топологической эквивалентности.
Гладкая и орбитальная эквивалентность [ править ]
Дополнительные критерии эквивалентности могут быть изучены, если потоки, и возникают из дифференциальных уравнений.
Две динамические системы определяются дифференциальными уравнениями, и , как говорят, гладко эквивалентными , если существует диффеоморфизм , такой , что
В этом случае, динамические системы могут быть преобразованы друг в друга с помощью преобразования координат, .
Две динамические системы на одном и том же пространстве состояний, определенные с помощью и , называются орбитально эквивалентными, если существует положительная функция , такая, что . Орбитально эквивалентные системы отличаются только временной параметризацией.
Системы, которые являются гладко эквивалентными или орбитально эквивалентными, также топологически эквивалентны. Однако обратное неверно. Например, рассмотрим линейные системы в двух измерениях формы . Если матрица имеет два положительных действительных собственных значения, система имеет неустойчивый узел; если матрица имеет два комплексных собственных значения с положительной действительной частью, система имеет неустойчивый фокус (или спираль). Узлы и фокусы топологически эквивалентны, но не орбитально эквивалентны или гладко эквивалентны [3], потому что их собственные значения различны (обратите внимание, что якобианы двух локально гладко эквивалентных систем должны быть подобны , поэтому их собственные значения, а также алгебраическая и геометрическая кратности должны быть равным).
Обобщения динамической топологической сопряженности [ править ]
Сообщается о двух расширениях концепции динамической топологической сопряженности:
- Аналогичные системы, определяемые как изоморфные динамические системы
- Присоединенные динамические системы, определенные через присоединенные функторы и естественные эквивалентности в категориальной динамике. [4] [5]
См. Также [ править ]
- Коммутативная диаграмма
Ссылки [ править ]
- ^ Alligood, КТ, Sauer, Т., и Йорк, JA (1997). Хаос: Введение в динамические системы . Springer. С. 114–124. ISBN 0-387-94677-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
- ^ Devaney, R .; Нитецкий, З. (1979). «Автоморфизмы сдвига в отображении Энона» . Comm. Математика. Phys . 67 (2): 137–146. Bibcode : 1979CMaPh..67..137D . DOI : 10.1007 / bf01221362 . Проверено 2 сентября 2016 года .
- ↑ Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы теории бифуркаций (Второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98382-1.
- ^ «Сложность и категориальная динамика» . Архивировано из оригинального 19 августа 2009 года.
- ^ "Аналогичные системы, топологическая сопряженность и сопряженные системы" . Архивировано из оригинала на 2015-02-25.
Эта статья включает материал топологического сопряжения на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .