Число Брьюно

В математике число Брюно - это особый тип иррационального числа .

Формальное определение [ править ]

Иррациональное число называется числом Brjuno , когда бесконечная сумма ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle B (\ alpha) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ log q_ {n + 1}} {q_ {n}}}}$

сходится к конечному числу

Здесь:

• ${\ displaystyle q_ {n}}$знаменатель n- й подходящей дроби разложения в непрерывную дробь .${\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {q_ {n}}}}$${\ displaystyle \ alpha}$
• ${\ displaystyle B}$является функцией Брьюно

Имя [ редактировать ]

Номера Brjuno названы в честь Александра Бруно , который представил их в Brjuno (1971) ; они также иногда пишутся числами Бруно или числами Брюно .

Важность [ править ]

Числа Брюно важны в одномерных аналитических задачах малых делителей. Bruno улучшил условия диофантово в теореме Зигеля, показал , что зародыши из голоморфных функций с линейной частью являются линеаризуема , если это число Brjuno. Жан-Кристоф Йоккоз  ( 1995 ) показал в 1987 году, что это условие также необходимо, а для квадратичных многочленов необходимо и достаточно.${\ Displaystyle е ^ {2 \ пи я \ альфа}}$${\ displaystyle \ alpha}$

Свойства [ править ]

Наглядно, эти цифры не имеют много больших «прыжков» в последовательности дробей, в которой знаменатель ( п  + 1) -й сходящихся экспоненциально больше , чем п - й сходящийся. Таким образом, в отличие от чисел Лиувилля , они не имеют необычно точные диофантовых приближений от рациональных чисел .

Функция Brjuno [ править ]

Вещественная функция Брюно определена для иррационального x и удовлетворяет${\ Displaystyle В (х)}$

${\ Displaystyle В (х) = В (х + 1)}$

${\ Displaystyle В (х) = - \ журнал х + хВ (1 / х)}$для всех иррациональных x от 0 до 1.

См. Также [ править ]

• Трансцендентное число

Ссылки [ править ]

• Брюно, Александр Д. (1971), "Аналитическая форма дифференциальных уравнений. I, II", Труды Московского математического общества , 25 : 119–262, ISSN  0134-8663 , MR  0377192
• Ли, Эйлин Ф. (весна 1999 г.), «Структура и топология чисел Брюно» (PDF) , Труды конференции по топологии и динамике 1999 г. (Солт-Лейк-Сити, Юта) , Труды топологии, 24 , стр. 189–201 , Руководство по ремонту  1802686
• Марми, Стефано; Мусса, Пьер; Yoccoz, Жан-Кристоф (2001), "Сложные функции Brjuno", Журнал Американского математического общества , 14 (4): 783-841, DOI : 10,1090 / S0894-0347-01-00371-X , ISSN  0894-0347 , MR  1839917
• Йоккос, Жан-Кристоф (1995), «Теория Сигеля, числа Бруно и квадратичные многочлены», Petits diviseurs в измерении 1 , Astérisque , 231 , стр. 3–88, MR  1367353