В математике , лемма Бореля , названная в честь Борель , является важным результатом , используемый в теории асимптотических разложений и дифференциальных уравнений в частных .
Заявление
Предположим , что U является открытое множество в евклидовом пространстве R п , и предположим , что п 0 , е 1 ... это последовательность из гладких функций на U .
Если I - любой открытый интервал в R, содержащий 0 (возможно, I = R ), то существует гладкая функция F ( t , x ), определенная на I × U , такая, что
для K ≥ 0 и х в U .
Доказательство
Доказательства леммы Бореля можно найти во многих учебниках по анализу, включая Golubitsky & Guillemin (1974) и Hörmander (1990) , из которых заимствовано приведенное ниже доказательство.
Заметим, что достаточно доказать результат для малого интервала I = (−ε, ε), так как если ψ ( t ) - гладкая выпуклая функция с компактным носителем в (−ε, ε), равным тождественно 1 вблизи 0, то ψ ( т ) ⋅ Р ( т , х ) дает решение на R × U . Точно так же с помощью гладкого разбиения единицы на R п подчиненное покрытию с помощью открытых шаров с центрами в δ⋅ Z п , можно считать , что все е м имеют компактный носитель в некотором фиксированном замкнутом шаре С . Для каждого m пусть
где ε m выбрано достаточно малым, чтобы
для | α | < м . Из этих оценок следует, что каждая сумма
сходится равномерно и, следовательно,
является гладкой функцией с
По конструкции
Примечание. Точно такую же конструкцию можно применить без вспомогательного пространства U , чтобы получить гладкую функцию на интервале I, для которой производные в 0 образуют произвольную последовательность.
Смотрите также
Рекомендации
- Erdélyi, A. (1956), Асимптотические разложения , Dover Publications, стр. 22–25, ISBN. 0486603180
- Голубицкий, М .; Гийемен В. (1974), Стабильные отображения и их особенности , Тексты для выпускников по математике , 14 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90072-1
- Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных, I. Теория распределений и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 16, ISBN 3-540-52343-X
Эта статья включает материал из леммы Бореля о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .