В математике , А монотонная функция (или монотонная функция ) является функцией от упорядоченных множеств , что сохраняет или реверсирует данный порядок . [1] [2] [3] Эта концепция впервые возникла в исчислении , а затем была обобщена на более абстрактные условия теории порядка .
Монотонность в исчислении и анализе [ править ]
В исчислении , функция , определенная на подмножестве из действительных чисел с реальными значениями называется монотонной , если и только если оно либо полностью не возрастает, либо полностью не убывает. [2] То есть, как показано на рис. 1, функция, которая монотонно увеличивается, не обязательно должна увеличиваться исключительно, она просто не должна уменьшаться.
Функция называется монотонно возрастающей (также возрастающей или неубывающей [3] ), если для всех и таких, которые есть , так сохраняется порядок (см. Рисунок 1). Точно так же функция называется монотонно убывающей (также убывающей или невозрастающей [3] ), если, в любое время , то она меняет порядок (см. Рисунок 2).
Если порядок в определении монотонности заменить строгим порядком , то получится более сильное требование. Функция с этим свойством называется строго возрастающей . [3] Опять же, инвертируя символ порядка, можно найти соответствующее понятие, называемое строго убывающим . [3] Функцию можно назвать строго монотонной, если она либо строго возрастает, либо строго убывает. Строго монотонные функции взаимно однозначны (потому что for not equal to , or or and so, по монотонности, либо or , таким образом .)
Если неясно, что «увеличение» и «уменьшение» включают возможность повторения одного и того же значения при последовательных аргументах, можно использовать термины « слабо монотонный» , « слабо увеличивающийся» и « слабо убывающий», чтобы подчеркнуть эту возможность.
Термины «неуменьшение» и «неувеличение» не следует путать с (гораздо более слабыми) отрицательными квалификациями «не уменьшается» и «не увеличивается». Например, функция на фиг.3 сначала падает, затем возрастает, а затем снова падает. Следовательно, он не убывает и не увеличивается, но и не не убывает, и не увеличивается.
Функция называется абсолютно монотонна на интервале , если производные всех порядков являются неотрицательно или все неположительны во всех точках интервала.
Обратная функция [ править ]
Функция, которая является монотонной, но не строго монотонной и, следовательно, постоянной на интервале, не имеет обратного. Это связано с тем, что для того, чтобы функция имела инверсию, необходимо взаимно однозначное отображение диапазона в домен функции. Поскольку у монотонной функции есть некоторые значения, которые являются постоянными в ее области, это означает, что в диапазоне, который отображается на это постоянное значение, может быть более одного значения.
Однако функция y = g ( x ), которая является строго монотонной, имеет обратную функцию, такую что x = h ( y ), потому что всегда гарантируется взаимно-однозначное отображение диапазона в область определения функции. Кроме того, можно сказать, что функция строго монотонна для диапазона значений и, следовательно, имеет инверсию для этого диапазона значений. Например, если y = g ( x ) строго монотонен в диапазоне [ a , b ], то он имеет обратный x = h ( y ) в диапазоне [ g ( a), g ( b )], но нельзя сказать, что весь диапазон функции имеет обратный.
Обратите внимание, какие учебники [ какие? ] ошибочно заявляют, что обратное существует для монотонной функции, когда на самом деле они означают, что обратное существует для строго монотонной функции.
Монотонное преобразование [ править ]
Термин монотонное преобразование (или монотонное преобразование ) также может вызвать некоторую путаницу, поскольку он относится к преобразованию с помощью строго возрастающей функции. Так обстоит дело в экономике в отношении порядковых свойств функции полезности , сохраняемых при монотонном преобразовании (см. Также монотонные предпочтения ). [4] В этом контексте то, что мы называем «монотонным преобразованием», точнее, называется «положительным монотонным преобразованием», чтобы отличить его от «отрицательного монотонного преобразования», которое меняет порядок чисел на обратный. [5]
Некоторые основные приложения и результаты [ править ]
Для монотонной функции верны следующие свойства :
- имеет пределы справа и слева в каждой точке своей области ;
- имеет предел в положительной или отрицательной бесконечности ( ) действительного числа , или .
- может иметь только скачкообразные разрывы ;
- может иметь только счетное количество разрывов в своей области. Однако разрывы не обязательно состоят из изолированных точек и даже могут быть плотными в интервале ( a , b ).
Эти свойства являются причиной того, почему монотонные функции полезны в технической работе по анализу . Еще несколько фактов об этих функциях:
- если есть монотонная функция , определенная на отрезке , то есть дифференцируема почти всюду на , то есть набор чисел в таких , что не является дифференцируемой в имеет лебегову меру нуль . Кроме того, этот результат нельзя улучшить до счетного: см. Функцию Кантора .
- если это множество счетно, то оно абсолютно непрерывно.
- если есть монотонная функция , определенная на отрезке , то есть Риман .
Важное применение монотонных функций - теория вероятностей . Если - случайная величина , ее кумулятивная функция распределения является монотонно возрастающей функцией.
Функция является унимодальной, если она монотонно возрастает до некоторой точки ( мода ), а затем монотонно убывает.
Когда это строго монотонная функция, то есть инъективны на своей области, и если это диапазон от , то есть обратная функция на для . Напротив, каждая постоянная функция является монотонной, но не инъективной [6] и, следовательно, не может иметь обратной.
Монотонность в топологии [ править ]
Карта называется монотонной, если каждый из ее слоев связан, т. Е. Каждый элемент в (возможно, пустом) множестве связан.
Монотонность в функциональном анализе [ править ]
В функциональном анализе на топологическом векторном пространстве , (возможно , нелинейный) оператор называется быть монотонным оператором , если
Теорема Качуровского показывает, что выпуклые функции на банаховых пространствах имеют монотонные операторы в качестве производных.
Подмножество из , как говорят, является монотонное множество , если для каждой пары , и в ,
называется максимальной монотонностью, если она максимальна среди всех монотонных множеств в смысле включения множеств. График монотонного оператора - это монотонное множество. Монотонный оператор называется максимально монотонным, если его график является максимальным монотонным множеством .
Монотонность в теории порядка [ править ]
Теория порядка имеет дело с произвольными частично упорядоченными наборами и предварительно упорядоченными наборами как обобщением действительных чисел. Приведенное выше определение монотонности актуально и в этих случаях. Однако термины «увеличивающийся» и «убывающий» избегаются, поскольку их обычное графическое представление не применимо к заказам, которые не являются полными . Кроме того, строгие отношения <и> мало используются во многих неполных порядках, и поэтому для них не вводится дополнительная терминология.
Обозначая ≤ отношение частичного порядка любого частично упорядоченного множества, монотонная функция, также называемая изотонной или сохраняющей порядок , удовлетворяет свойству
- x ≤ y влечет f ( x ) ≤ f ( y ),
для всех x и y в своей области. Композиция двух монотонных отображений также монотонна.
Двойное понятие часто называют антитонен , анти-монотонной , или порядок реверсирования . Следовательно, антитонная функция f удовлетворяет свойству
- x ≤ y влечет f ( y ) ≤ f ( x ),
для всех x и y в своей области.
Функция постоянной одновременно монотонно и антитонен; наоборот, если f является одновременно монотонным и антитонным, и если область определения f является решеткой , то f должно быть постоянным.
Монотонные функции занимают центральное место в теории порядка. Они появляются в большинстве статей по данной теме, и в этих местах можно найти примеры из специальных приложений. Некоторые известные специальные монотонные функции - это порядковые вложения (функции, для которых x ≤ y, если и только если f ( x ) ≤ f ( y )) и порядковые изоморфизмы ( сюръективные порядковые вложения).
Монотонность в контексте поисковых алгоритмов [ править ]
В контексте алгоритмов поиска монотонность (также называемая согласованностью) - это условие, применяемое к эвристическим функциям . Эвристика h (n) является монотонной, если для каждого узла n и каждого последователя n ' из n, порожденного любым действием a , оценочная стоимость достижения цели из n не превышает стоимость шага перехода к n' плюс стоимость ориентировочная стоимость достижения цели от n ' ,
Это форма неравенства треугольника с n , n ' и целью G n, ближайшей к n . Поскольку любая монотонная эвристика также допустима , монотонность является более строгим требованием, чем допустимость. Некоторые эвристические алгоритмы, такие как A *, могут быть признаны оптимальными при условии, что эвристика, которую они используют, является монотонной. [7]
Логические функции [ править ]
В булевой алгебре монотонная функция - это такая функция, что для всех a i и b i в {0,1}, если a 1 ≤ b 1 , a 2 ≤ b 2 , ..., a n ≤ b n (т. Е. Декартово произведение {0, 1} n упорядочено покоординатно ), тогда f ( a 1 , ..., a n ) ≤ f ( b 1 , ..., b n). Другими словами, логическая функция является монотонной, если для каждой комбинации входов переключение одного из входов с false на true может привести только к переключению выхода с false на true, а не с true на false. Графически это означает, что n- мерная логическая функция является монотонной, когда ее представление в виде n -куба, помеченного значениями истинности, не имеет восходящего ребра от истины до ложи . (Этот меченный диаграмма , Хасса является двойным меченой функцией в диаграмме Венны , которая является более общим представлением для п ≤ 3 ) .
Монотонные логические функции - это как раз те, которые могут быть определены выражением, объединяющим входные данные (которые могут появляться более одного раза) с использованием только операторов и и или (в частности, не запрещено). Например, «по крайней мере два из a , b , c имеют место» - это монотонная функция от a , b , c , так как это может быть записано, например, как (( a и b ) или ( a и c ) или ( b и c) )).
Количество таких функций от n переменных известно как число Дедекинда для n .
См. Также [ править ]
- Монотонная кубическая интерполяция
- Псевдомонотонный оператор
- Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - мера монотонности в наборе данных
- Полная монотонность
- Циклическая монотонность
Заметки [ править ]
- ^ Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014). Оксфордский краткий математический словарь (5-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
- ^ a b Стовер, Кристофер. «Монотонная функция» . Wolfram MathWorld . Проверено 29 января 2018 .
- ^ a b c d e "Монотонная функция" . Энциклопедия математики . Проверено 29 января 2018 .
- ^ См. Раздел Кардинальная и порядковая полезность в Simon & Blume (1994) .
- ^ Вариан, Хэл Р. (2010). Промежуточная микроэкономика (8-е изд.). WW Norton & Company. п. 56. ISBN 9780393934243.
- ^ если в его домене более одного элемента
- ^ Условия оптимальности: допустимость и последовательность стр. 94-95 ( Рассел и Норвиг, 2010 ).
Библиография [ править ]
- Бартл, Роберт Г. (1976). Элементы реального анализа (2-е изд.).
- Гретцер, Джордж (1971). Теория решеток: первые понятия и дистрибутивные решетки . ISBN 0-7167-0442-0.
- Пембертон, Малькольм; Рау, Николай (2001). Математика для экономистов: вводный учебник . Издательство Манчестерского университета. ISBN 0-7190-3341-1.
- Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ISBN. 0-387-00444-0.
- Рис, Фриджес и Бела Сёкефалви-Надь (1990). Функциональный анализ . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66289-3.
- Рассел, Стюарт Дж .; Норвиг, Питер (2010). Искусственный интеллект: современный подход (3-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4.
- Саймон, Карл П .; Блюм, Лоуренс (апрель 1994). Математика для экономистов (первое изд.). ISBN 978-0-393-95733-4. (Определение 9.31)
Внешние ссылки [ править ]
- "Монотонная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Конвергенция монотонной последовательности Аник Дебнат и Томас Роксло (Школа Харкера), Демонстрационный проект Вольфрама .
- Вайсштейн, Эрик В. «Монотонная функция» . MathWorld .