В математике , вполне положительная матрица представляет собой квадратную матрицу , в которой все миноры положительны: то есть, определитель каждой квадратной подматрицы является положительным числом. [1] Полностью положительная матрица имеет все элементы положительные, поэтому она также является положительной матрицей ; и у него все главные миноры положительные (и положительные собственные значения ). Симметричная вполне положительная матрица, следовательно , также положительно определена . Полностью неотрицательная матрицаопределяется аналогично, за исключением того, что все миноры должны быть неотрицательными (положительными или нулевыми). Некоторые авторы используют термин «полностью положительный» для включения всех полностью неотрицательных матриц.
Определение
Позволять - матрица размера n × n . Рассмотрим любыеи любая подматрица размера p × p вида где:
Тогда A - вполне положительная матрица, если: [2]
для всех подматриц которые могут быть сформированы таким образом.
История
Темы, которые исторически привели к развитию теории тотальной позитивности, включают изучение: [2]
- на спектральные свойства ядер и матриц , которые являются вполне положительным,
- обыкновенные дифференциальные уравнения , функция Грина которых полностью положительна (М. Г. Крейн и некоторые его коллеги в середине 1930-х гг.),
- изменения свойств уменьшения (начатые IJ Schoenberg в 1930 году),
- Частотные функции Полиа (И. Дж. Шенберг в конце 1940-х - начале 1950-х годов).
Примеры
Например, матрица Вандермонда , узлы которой положительны и увеличиваются, является полностью положительной матрицей.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Джордж М. Филлипс (2003), «Полная положительность», интерполяция и приближение полиномами , Springer, стр. 274, ISBN 9780387002156
- ^ a b Спектральные свойства вполне положительных ядер и матриц, Аллан Пинкус.
дальнейшее чтение
- Аллан Пинкус (2009), Полностью положительные матрицы , Cambridge University Press , ISBN 9780521194082
Внешние ссылки
- Спектральные свойства вполне положительных ядер и матриц, Аллан Пинкус.
- Параметризации канонических базисов и вполне положительных матриц, Аркадий Беренштейн
- Кратности тензорных произведений, канонические основы и вполне положительные многообразия (2001), А. Беренштейн, А. Зелевинский