Неотрицательная матрица

В математике , неотрицательная матрица , написанные

${\ displaystyle \ mathbf {X} \ geq 0,}$

представляет собой матрицу, в которой все элементы равны или больше нуля, то есть

${\ displaystyle x_ {ij} \ geq 0 \ qquad \ forall {i, j}.}$

Положительная матрица представляет собой матрицу , в которой все элементы строго больше нуля. Набор положительных матриц - это подмножество всех неотрицательных матриц. Хотя такие матрицы обычно встречаются, этот термин используется лишь иногда из-за возможной путаницы с положительно определенными матрицами , которые отличаются друг от друга. Матрица, которая одновременно является неотрицательной и положительно полуопределенной, называется дважды неотрицательной матрицей .

Прямоугольная неотрицательная матрица может быть аппроксимирована разложением с двумя другими неотрицательными матрицами посредством факторизации неотрицательной матрицы .

Собственные значения и собственные векторы квадратных положительных матриц описываются теоремой Перрона – Фробениуса .

Инверсия [ править ]

Матрица, обратная любой невырожденной M-матрице ^{[ требуется пояснение ],} является неотрицательной матрицей. Если невырожденная M-матрица также симметрична, то она называется матрицей Стилтьеса .

Обратная матрица неотрицательной матрицы обычно неотрицательна. Исключением являются неотрицательные мономиальные матрицы : неотрицательная матрица имеет неотрицательную обратную тогда и только тогда, когда она является (неотрицательной) мономиальной матрицей. Обратите внимание, что, таким образом, обратная положительная матрица не является положительной или даже неотрицательной, поскольку положительные матрицы не являются мономиальными для размерности n > 1 .

Специализации [ править ]

Существует ряд групп матриц, которые образуют специализации неотрицательных матриц, например, стохастическая матрица ; дважды стохастическая матрица ; симметричная неотрицательная матрица.

См. Также [ править ]

• Матрица Мецлера

Библиография [ править ]

1. Абрахам Берман, Роберт Дж. Племмонс , Неотрицательные матрицы в математических науках , 1994, SIAM. ISBN  0-89871-321-8 .
2. А. Берман и Р. Дж. Племмонс, Неотрицательные матрицы в математических науках , Academic Press, 1979 (глава 2), ISBN 0-12-092250-9 
3. Р. А. Хорн и С. Р. Джонсон, Матричный анализ , Cambridge University Press, 1990 (глава 8).
4. Красносельский, М.А. (1964). Положительные решения операторных уравнений . Гронинген : P.Noordhoff Ltd., стр. 381 стр.
5. Красносельский, МА ; Лифшиц, Е.А .; Соболев, А.В. (1990). Положительные линейные системы: метод положительных операторов . Сигма-серия в прикладной математике. 5 . Берлин : Helderman Verlag. стр.354 с.
6. Хенрик Минк, неотрицательные матрицы , John Wiley & Sons, Нью-Йорк, 1988, ISBN 0-471-83966-3 
7. Сенета, Э. Неотрицательные матрицы и цепи Маркова . 2-я ревизия. изд., 1981, XVI, 288 стр., Серия Springer в мягкой обложке по статистике. (Первоначально опубликовано Allen & Unwin Ltd., Лондон, 1973 г.) ISBN 978-0-387-29765-1 
8. Ричард С. Варга 2002 Матричный итерационный анализ , второе изд. (из издания Prentice Hall 1962 г.), Springer-Verlag.