В математике , особенно в линейной алгебре , M -матрица - это Z- матрица с собственными значениями , действительные части которых неотрицательны. Множество невырожденных M -матриц является подмножеством класса P -матриц , а также класса обратноположительных матриц (т.е. матриц с обратными, принадлежащих классу положительных матриц ). [1] Название M -матрица, по-видимому, было первоначально выбрано Александром Островским в связи с Германом Минковским., который доказал, что если у Z-матрицы все строчные суммы положительны, то определитель этой матрицы положителен. [2]
Характеристики
M-матрица обычно определяется следующим образом:
Определение: Пусть A - вещественная Z-матрица размера n × n . То есть A = ( a ij ), где a ij ≤ 0 для всех i ≠ j , 1 ≤ i, j ≤ n . Тогда матрица A также является M-матрицей, если ее можно выразить в виде A = sI - B , где B = ( b ij ), где b ij ≥ 0 , для всех 1 ≤ i, j ≤ n , где s равно по крайней мере столь же велик, как максимум модулей собственных значений B , и I является единичной матрицей.
Для несингулярности из А , согласно теореме Перрона-Фробениуса , он должен быть так , что s > ρ ( B ) . Кроме того , для невырожденных М-матрицы, диагональные элементы II из А должны быть положительными. Далее мы охарактеризуем только класс неособых M-матриц.
Известно много утверждений, эквивалентных этому определению невырожденных M-матриц, и любое из этих утверждений может служить начальным определением невырожденной M-матрицы. [3] Например, Племмонс перечисляет 40 таких эквивалентов. [4] Эти характеристики были классифицированы Племмонсом в терминах их отношения к свойствам: (1) положительности главных миноров, (2) обратной положительности и расщеплений, (3) стабильности и (4) полуположительности и диагонального доминирования. . Имеет смысл категоризировать свойства таким образом, потому что утверждения в определенной группе связаны друг с другом, даже если матрица A является произвольной матрицей, а не обязательно Z-матрицей. Здесь мы упоминаем несколько характеристик из каждой категории.
Эквивалентности
Ниже ≥ обозначает поэлементный порядок (а не обычный положительный полуопределенный порядок на матрицах). То есть для любых вещественных матриц A , B размера m × n мы пишем A ≥ B (или A > B ), если a ij ≥ b ij (или a ij > b ij ) для всех i , j .
Пусть A - вещественная Z-матрица размера n × n , тогда следующие утверждения эквивалентны тому, что A - невырожденная M-матрица:
Позитивность основных несовершеннолетних
- Все главные миноры из A являются положительными. То есть определитель каждой подматрицы матрицы A, полученной удалением набора, возможно, пустого, соответствующих строк и столбцов матрицы A , положительный.
- + D не является особой для каждого неотрицательного диагональной матрицы D .
- Каждое действительное собственное значение оператора A положительно.
- Все ведущие главные миноры A положительны.
- Существуют нижняя и верхняя треугольные матрицы L и U соответственно с положительными диагоналями, такие что A = LU .
Обратная положительность и расщепления
- Является инверсной положительным . То есть A −1 существует и A −1 ≥ 0 .
- Является монотонной . То есть Ax ≥ 0 влечет x ≥ 0 .
- A имеет сходящееся регулярное расщепление . То есть A имеет представление A = M - N , где M −1 ≥ 0, N ≥ 0 с M −1 N сходящимся . То есть ρ ( M −1 N ) <1 .
- Там существует обратная-положительные матрицы M 1 и M 2 с M 1 ≤ A ≤ M 2 .
- Всякое регулярное разбиение A сходится.
Стабильность
- Существует положительная диагональная матрица D такая, что AD + DA T положительно определена.
- Является положительным стабильным . То есть действительная часть каждого собственного значения A положительна.
- Существует симметричная положительно определенная матрица W такая, что AW + WA T положительно определена.
- A + I неособо, а G = ( A + I ) −1 ( A - I ) сходится.
- A + I неособа, и для G = ( A + I ) −1 ( A - I ) существует положительно определенная симметрическая матрица W такая, что W - G T WG положительно определена.
Полупозитивность и диагональное преобладание
- Является полу-положительным . То есть существует x > 0 с Ax > 0 .
- Существует x ≥ 0 с Ax > 0 .
- Существует положительная диагональная матрица D такая, что в AD есть все положительные строчные суммы.
- Имеет все положительные диагональные элементы, и существует положительная диагональная матрица D таким образом, что AD является строго по диагонали доминирующим .
- A имеет все положительные диагональные элементы, и существует положительная диагональная матрица D такая, что D −1 AD строго диагонально доминирует.
Приложения
Основной вклад в теорию М-матрицы в основном внесли математики и экономисты. M-матрицы используются в математике для установления границ собственных значений и установления критериев сходимости итерационных методов решения больших разреженных систем линейных уравнений . M-матрицы естественным образом возникают при дискретизации дифференциальных операторов , таких как лапласиан , и как таковые хорошо изучены в научных вычислениях. M-матрицы также встречаются при изучении решений линейной задачи дополнительности . Проблемы линейной дополнительности возникают в линейном и квадратичном программировании , вычислительной механике и в задаче нахождения точки равновесия биматричной игры . Наконец, M-матрицы встречаются при изучении конечных цепей Маркова в области теории вероятностей и исследований операций, таких как теория массового обслуживания . Между тем, экономисты изучали М-матрицы в связи с общей заменяемостью, стабильностью общего равновесия и анализом затрат-выпуска Леонтьева в экономических системах. Условие положительности всех основных миноров также известно в экономической литературе как условие Хокинса – Саймона. [5] В технике M-матрицы также встречаются в задачах устойчивости по Ляпунову и управления с обратной связью в теории управления и связаны с матрицей Гурвица . В вычислительной биологии М-матрицы используются при изучении динамики популяции .
Смотрите также
- A является невырожденной слабо диагонально доминирующей M-матрицей тогда и только тогда, когда она является слабо сцепленной диагонально доминирующей L-матрицей .
- Если A - это M-матрица, то −A - матрица Метцлера .
- Неособую симметричную M -матрицу иногда называют матрицей Стилтьеса .
- Матрица Гурвица
- P-матрица
- Теорема Перрона – Фробениуса.
- Z-матрица
- H-матрица
Рекомендации
- ↑ Fujimoto, Takao & Ranade, Ravindra (2004), «Две характеризации обратно-положительных матриц: условие Хокинса-Саймона и принцип Ле Шателье-Брауна» (PDF) , Электронный журнал линейной алгебры , 11 : 59–65.
- ^ Бермон, Авраам; Племмонс, Роберт Дж. (1994), Неотрицательные матрицы в математических науках , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики, стр. 134 161 (Thm. 2.3 и примечание 6.1 к главе 6), ISBN 0-89871-321-8.
- ^ Фидлер, М; Птак В. (1962), "О матрицах с неположительными недиагональными элементами и положительными главными минорами", Чехословацкий математический журнал , 12 (3): 382–400.
- ^ Plemmons, RJ (1977), "М-матрица характеризации I - Неособые M-матриц." Линейная алгебра и ее применения , 18 (2): 175-188, DOI : 10.1016 / 0024-3795 (77) 90073-8.
- ^ Никайдо, Х. (1970). Введение в множества и отображения в современной экономике . Нью-Йорк: Эльзевир. С. 13–19. ISBN 0-444-10038-5.