Особая точка алгебраического многообразия
В математической области алгебраической геометрии особой точкой алгебраического многообразия V является точка P , которая является «особой» (т. е. особой) в геометрическом смысле, поскольку в этой точке касательное пространство в многообразии не может быть определено регулярно. . В случае многообразий, определенных над вещественными числами, это понятие обобщает понятие локальной неплоскости . Точка алгебраического многообразия, не являющаяся особой, называется регулярной . Алгебраическое многообразие, не имеющее особой точки, называется неособым или гладким .
где F — гладкая функция , называется особой в точке, если ряд Тейлора функции F имеет в этой точке порядок не ниже 2 .
Причина этого в том, что в дифференциальном исчислении касательная в точке ( x0 , y0 ) такой кривой определяется уравнением
чья левая часть является членом первой степени разложения Тейлора. Таким образом, если этот член равен нулю, тангенс не может быть определен стандартным образом, либо потому, что он не существует, либо необходимо дать специальное определение.
особые точки - это те, в которых все частные производные одновременно обращаются в нуль. Общее алгебраическое многообразие V определяется как общие нули нескольких многочленов , и условием точки P многочлена V является особая точка, состоящая в том, что матрица Якоби частных производных первого порядка многочленов имеет ранг в P , который ниже, чем ранг в других точках сорта.
Точки многообразия V , не являющиеся особыми, называются неособыми или регулярными . Всегда верно, что почти все точки неособы в том смысле, что неособые точки образуют множество одновременно открытое и плотное в многообразии (для топологии Зарисского , как и для обычной топологии, в многообразии). случае многообразий, определенных над комплексными числами ). [1]
