В математике квадратная матрица считается доминирующей по диагонали, если для каждой строки матрицы величина диагонального элемента в строке больше или равна сумме значений всех остальных (недиагональных). записи в этой строке. Точнее, матрица A диагонально доминирует, если
где a ij обозначает запись в i- й строке и j- м столбце.
Обратите внимание, что в этом определении используется слабое неравенство, поэтому его иногда называют слабым диагональным преобладанием . Если используется строгое неравенство (>), это называется строгим диагональным преобладанием . Неопределенный термин диагональное доминирование может означать как строгое, так и слабое диагональное доминирование, в зависимости от контекста. [1]
Варианты [ править ]
Определение в первом абзаце суммирует записи по строкам. Поэтому его иногда называют диагональным преобладанием строк . Если изменить определение, чтобы суммировать столбцы, это называется диагональным преобладанием столбцов .
Любая строго диагонально-доминирующая матрица тривиально является слабо сцепленной диагонально-доминирующей матрицей . Слабо связанные матрицы с диагональным преобладанием неособы и включают семейство матриц с несократимым диагональным преобладанием . Это неприводимые матрицы, которые слабо диагонально доминируют, но строго диагонально доминируют хотя бы в одной строке.
Примеры [ править ]
Матрица
доминирует по диагонали, потому что
- поскольку
- поскольку
- с тех пор .
Матрица
это не по диагонали доминирующим , поскольку
- поскольку
- поскольку
- с тех пор .
То есть первая и третья строки не удовлетворяют условию диагонального доминирования.
Матрица
является строго диагонально доминирующими , потому что
- поскольку
- поскольку
- с тех пор .
Приложения и свойства [ править ]
Строго диагонально доминирующая матрица (или несократимо диагонально доминирующая матрица [2] ) неособа . Этот результат известен как теорема Леви – Деспланка. [3]
Доказательство . Предположим, что A - строго диагонально доминирующая матрица и ненулевой вектор такой, что . Пусть i будет таким, чтобы оно было максимальным по модулю. потом
что противоречит гипотезе.
Эрмитова диагональное преобладание с вещественными неотрицательными диагональными элементами является неотрицательно .
Доказательство . Пусть диагональная матрица содержит диагональные элементы матрицы . Подключите и через сегмент матриц . Этот сегмент состоит из строго по диагонали таким образом , доминирующих (невырожденных) матриц, за исключением , может быть , для . Это показывает это . Применяя этот аргумент к минорам из , положительная полуопределенности следует по критерию Сильвестра .
Если исключить требование симметрии, такая матрица не обязательно будет положительно полуопределенной. Например, рассмотрим
Однако действительные части его собственных значений остаются неотрицательными по теореме Гершгорина о круге .
Точно так же эрмитова матрица со строго диагональным преобладанием и действительными положительными диагональными элементами является положительно определенной , поскольку она равна сумме некоторой эрмитовой матрицы с диагональным преобладанием и действительными неотрицательными диагональными элементами (которая является положительно полуопределенным) и некоторого положительного действительного числа ( положительно определен).
При выполнении исключения Гаусса (факторизация LU) для матрицы строго по диагонали с преобладанием столбцов не требуется никакого (частичного) поворота .
В якобиевы и методы Гаусса-Зейделя для решения линейной системы сходится , если матрица строго (или неснижаемо) по диагонали доминирующим.
Многие матрицы, возникающие в методах конечных элементов, имеют диагональное преобладание.
Небольшая вариация идеи диагонального доминирования используется для доказательства невырожденности спаривания на диаграммах без петель в алгебре Темперли – Либа . [4] Для матрицы с полиномиальными элементами одно разумное определение диагонального доминирования состоит в том, что наибольшая степень появления в каждой строке появляется только на диагонали. (Оценки такой матрицы при больших значениях являются диагонально доминирующими в указанном выше смысле.)
Заметки [ править ]
- ^ Например, Хорн и Джонсон (1985, стр. 349) используют его для обозначения слабого диагонального доминирования.
- ^ Хорн и Джонсон, Thm 6.2.27.
- ^ Хорн и Джонсон, Thm 6.1.10. Этот результат был обнаружен независимо друг от друга десятки раз. Некоторые известные из них - Леви (1881), Деспланк (1886), Минковский (1900), Адамар (1903), Шур, Марков (1908), Рорбах (1931), Гершгорин (1931), Артин (1932), Островский (1937). ) и Фуртвенглер (1936). Историю этой «повторяющейся теоремы» см .: Taussky, Olga (1949). «Повторяющаяся теорема о детерминантах» (PDF) . Американский математический ежемесячник . Американский математический ежемесячник, Vol. 56, No. 10. 56 (10): 672–676. DOI : 10.2307 / 2305561 . JSTOR 2305561 . Другая полезная история находится в: Schneider, Hans (1977). «Влияние Ольги Таусской-Тодд на матричную теорию и теоретиков матриц». Линейная и полилинейная алгебра . 5 (3): 197–224. DOI : 10.1080 / 03081087708817197 .
- ↑ KH Ko и L. Smolinski (1991). «Комбинаторная матрица в теории трехмерных многообразий». Pacific J. Math. 149 : 319–336.
Ссылки [ править ]
- Голуб, Джин Х .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления . ISBN 0-8018-5414-8.
- Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985). Матричный анализ (изд. В мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38632-2.
Внешние ссылки [ править ]
- PlanetMath: определение диагонального доминирования
- PlanetMath: свойства диагонально доминирующих матриц
- Mathworld