В математике , в матрице Гурвица , или матрицы Рауса-Гурвица , в инженерной матрицы устойчивости , является структурированная реальная квадратная матрица строится с коэффициентами вещественного многочлена.
Матрица Гурвица и критерий устойчивости Гурвица [ править ]
А именно, учитывая действительный многочлен
называется матрицей Гурвица, соответствующей многочлену . Он был создан Адольф Гурвиц в 1895 году , что реальный многочлен является стабильным (то есть, все его корни имеют строго отрицательную вещественную часть) , если и только если все ведущие главные миноры матрицы положительны:
и так далее. Миноры называются детерминантами Гурвица . Аналогично, если тогда многочлен устойчив тогда и только тогда, когда главные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного.
Стабильные матрицы Гурвица [ править ]
В технике и теории устойчивости , квадратная матрица называется стабильной матрицей (или иногда матрица Гурвица ) , если каждое собственное значение из имеет строго отрицательную вещественную часть , то есть,
для каждого собственного значения . также называется матрицей устойчивости , потому что тогда дифференциальное уравнение
является асимптотически устойчивым , то есть , как
Если является (матричнозначной) передаточной функцией , то называется гурвицевым, если полюсы всех элементов имеют отрицательную действительную часть. Обратите внимание, что для конкретного аргумента не обязательно должна быть матрица Гурвица - она даже не обязательно должна быть квадратной. Связь состоит в том, что если - матрица Гурвица, то динамическая система
имеет передаточную функцию Гурвица.
Любая гиперболическая неподвижная точка (или точка равновесия ) непрерывной динамической системы является локально асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда якобиан динамической системы устойчив по Гурвицу в неподвижной точке.
Матрица устойчивости Гурвица является важной частью теории управления . Система устойчива, если ее управляющая матрица является матрицей Гурвица. Отрицательные действительные компоненты собственных значений матрицы представляют собой отрицательную обратную связь . Точно так же система по своей природе нестабильна, если любое из собственных значений имеет положительные действительные компоненты, представляющие положительную обратную связь .
См. Также [ править ]
- М-матрица
- P-матрица
- Теорема Перрона – Фробениуса.
- Z-матрица
Ссылки [ править ]
- Аснер, Бернард А., младший (1970). «О полной неотрицательности матрицы Гурвица». Журнал СИАМ по прикладной математике . 18 (2): 407–414. DOI : 10.1137 / 0118035 . JSTOR 2099475 .
- Димитров, Димитар К .; Пенья, Хуан Мануэль (2005). «Почти строгая тотальная положительность и класс многочленов Гурвица» . Журнал теории приближений . 132 (2): 212–223. DOI : 10.1016 / j.jat.2004.10.010 .
- Гантмахер, FR (1959). Приложения теории матриц . Нью-Йорк: Interscience .
- Гурвиц, А. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt" . Mathematische Annalen . 46 (2): 273–284. DOI : 10.1007 / BF01446812 .
- Халил, Хасан К. (2002). Нелинейные системы . Прентис Холл .
- Лехнигк, Зигфрид Х. (1970). «О матрице Гурвица». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik . 21 (3): 498–500. Полномочный код : 1970ZaMP ... 21..498L . DOI : 10.1007 / BF01627957 .
Эта статья включает материал из матрицы Гурвица на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Внешние ссылки [ править ]
- «Матрица Гурвица» . PlanetMath .