Монотонная матрица

---

Вещественная квадратная матрица является монотонной (в смысле Коллатца), если для всех действительных векторов следует , где - поэлементный порядок на . ^[1]${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle Av \ geq 0}$${\ Displaystyle v \ geq 0}$${\ Displaystyle \ geq}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Доказательство : Позвольте быть монотонной матрицей и предположим, что существует с . Тогда по монотонности и , а значит .${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle х \ neq 0}$${\ Displaystyle Топор = 0}$${\ Displaystyle х \ geq 0}$${\ Displaystyle -х \ geq 0}$${\ Displaystyle х = 0}$${\ Displaystyle \ квадрат}$

Позвольте быть реальной квадратной матрицей. монотонно тогда и только тогда, когда . ^[1]${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle А ^ {- 1} \ geq 0}$

Доказательство . Предположим , что оно монотонно. Обозначим -й столбец . Тогда есть -й стандартный базисный вектор и, следовательно , по монотонности. Для обратного направления предположим, что допускает обратное такое, что . Тогда, если , и, следовательно , монотонна.${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle х}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle Ax}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}\geq 0}$${\displaystyle Ax\geq 0}$${\displaystyle x=A^{-1}Ax\geq A^{-1}0=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \square }$

---