Заказать встраивание

В теории порядка , разделе математики , вложение порядка - это особый вид монотонной функции , которая обеспечивает способ включения одного частично упорядоченного набора в другой. Подобно связям Галуа , вложения порядка представляют собой понятие, которое строго слабее, чем понятие изоморфизма порядка . Оба этих недостатка можно понять с точки зрения теории категорий .

Формальное определение [ править ]

Формально, учитывая два частично упорядоченных множества (посетов) и , функция является вложением порядка, если она одновременно сохраняет и отражает порядок , то есть для всех и в одна имеет${\ Displaystyle (S, \ leq)}$${\ Displaystyle (Т, \ prevq)}$ ${\ displaystyle f: S \ to T}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle S}$

${\displaystyle x\leq y{\text{ if and only if }}f(x)\preceq f(y).}$^[1]

Такая функция обязательно инъективна , поскольку влечет и . ^[1] Если порядок вложения между двумя наборами и существует, говорят, что он может быть встроен в .${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y\leq x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

Свойства [ править ]

Взаимный порядок встраивания и , использование в обоих направлениях.${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f(x)=(94x+3)/100}$

Набор делителей 6, частично упорядоченных по x, делит y . Вложение не может быть притяжением.${\displaystyle S}$${\displaystyle id:\{1,2,3\}\to S}$

Изоморфизм порядка можно охарактеризовать как сюръективное вложение порядка. Как следствие, любое упорядоченное вложение f ограничивается изоморфизмом между его областью S и его образом f ( S ), что оправдывает термин «вложение». ^[1] С другой стороны, вполне может быть, что два (обязательно бесконечных) множества могут быть взаимно упорядоченно вложены друг в друга, но не изоморфны по порядку.

Пример приведен на открытом интервале от действительных чисел и соответствующего отрезка . Функция отображает первое на подмножество второго, а второе - на подмножество первого, см. Рисунок. Упорядочивание обоих наборов естественным образом одновременно сохраняет и отражает порядок (потому что это аффинная функция ). Тем не менее, изоморфизм между двумя множествами существовать не может, поскольку, например, имеет наименьший элемент, а его нет. Для аналогичного примера с использованием arctan для упорядочения встраивания действительных чисел в интервал и карты идентичности${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f(x)=(94x+3)/100}$ ${\displaystyle (0.03,0.97)}$${\displaystyle [0.03,0.97]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (0,1)}$относительно обратного направления см., например, Just and Weese (1996). ^[2]

Ретракт - это пара сохраняющих порядок карт, состав которых является тождественным. В этом случае это называется корретракцией и должно быть встраиванием порядка. ^[3] Однако не всякое вложение порядка является корретракцией. В качестве тривиального примера, уникальное вложение порядка из пустого чугуна в непустой чугуна не имеет ретракта, потому что не существует сохраняющего порядок отображения . Более иллюстративно, рассмотрит множество из делителей 6, частично упорядоченных по й делят у см картины. Рассмотрим вложенное подмножество . Отказ от вложения необходимо будет отправить где-то выше, и${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:\emptyset \to \{1\}}$${\displaystyle g:\{1\}\to \emptyset }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle id:\{1,2,3\}\to S}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$, но такого места нет.

Дополнительные перспективы [ править ]

Посеты можно легко рассматривать со многих точек зрения, а встраивания порядка достаточно просты, чтобы их можно было увидеть отовсюду. Например:

• ( Модель теоретически ) ч.у.м. представляет собой набор оснащен (рефлексивный, антисимметричной и переходной) бинарного отношения . Порядок вложения A → B есть изоморфизм из A к элементарной субструктуре из B .
• ( График теоретически ) ч.у.м. является (переходный, ациклический, направлены, рефлексивный) графа . Порядок вложения A → B является изоморфизмом графов из А к индуцированному подграфу из B .
• ( Категория теоретически ) ч.у.м. является (маленькой, тонкой, и скелетной) категорией , такими , что каждый homset имеет не более одного элемента. Порядок вложение A → B является полным и верным функтор из A в B , который инъективна на объекты, или , что эквивалентно изоморфизм из A до полной подкатегории из B .

См. Также [ править ]

• Теорема Душника – Миллера.
• Теорема Лавера

Ссылки [ править ]