Теория порядка
Теория порядка — это раздел математики , который исследует интуитивное понятие порядка, используя бинарные отношения . Он обеспечивает формальную основу для описания таких утверждений, как «это меньше, чем то» или «это предшествует тому». Эта статья знакомит с полем и дает основные определения. Список терминов теории порядка можно найти в глоссарии теории порядка .
Порядок присутствует повсюду в математике и смежных областях, таких как информатика . Первый порядок, часто обсуждаемый в начальной школе , - это стандартный порядок натуральных чисел, например, «2 меньше 3», «10 больше 5» или «У Тома меньше печенья, чем у Салли?». Эту интуитивную концепцию можно распространить на порядки других наборов чисел , таких как целые числа и действительные числа . Идея быть больше или меньше другого числа является одним из основных интуитивных представлений о системах счисления (сравните с системами счисления ) в целом (хотя обычно также интересует фактическое различие ).из двух номеров, что не указано в заказе). Другими известными примерами упорядочения являются алфавитный порядок слов в словаре и генеалогическое свойство прямого происхождения внутри группы людей.
Понятие порядка является очень общим и выходит за рамки контекстов, которые имеют непосредственное интуитивное ощущение последовательности или относительного количества. В других контекстах приказы могут охватывать понятия сдерживания или специализации. Абстрактно этот тип порядка сводится к отношению подмножества , например, « Педиатры — это врачи » и « Окружности — это просто эллипсы в частном случае ».
Некоторые порядки, такие как «меньше» для натуральных чисел и алфавитный порядок для слов, обладают особым свойством: каждый элемент можно сравнить с любым другим элементом, т. е. он меньше (ранее), чем, больше (позже) или идентичен. Однако многих других заказов нет. Рассмотрим, например, порядок подмножества в наборе множеств : хотя множество птиц и множество собак являются подмножествами множества животных, ни птицы, ни собаки не составляют подмножества другого. Такие порядки, как отношение «подмножество», для которых существуют несравнимые элементы, называются частичными порядками ; заказы, для которых каждая пара элементов сравнима, являются общими заказами .
Теория порядка фиксирует интуицию порядка, возникающую из таких примеров в общей обстановке. Это достигается указанием свойств, которыми отношение ≤ должно быть в математическом порядке. Этот более абстрактный подход имеет большой смысл, поскольку можно вывести многочисленные теоремы в общих условиях, не сосредотачиваясь на деталях какого-либо конкретного порядка. Затем эти идеи можно легко перенести во многие менее абстрактные приложения.
Благодаря широкому практическому использованию порядков были определены многочисленные специальные виды упорядоченных множеств, некоторые из которых превратились в собственные математические области. Кроме того, теория порядка не ограничивается различными классами отношений порядка, но также рассматривает соответствующие функции между ними. Простой пример теоретико-порядкового свойства функций можно найти в анализе, где часто встречаются монотонные функции.
