Глоссарий теории порядка

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в различных разделах математики , связанных с полями порядка , решетки и теории областей . Обратите внимание, что есть также структурированный список тем для заказов . Другими полезными ресурсами могут быть следующие обзорные статьи:

свойства полноты частичных порядков
законы распределенности теории порядка
сохранение свойств функций между посетами.

В дальнейшем частичные заказы обычно будут обозначаться только их несущими наборами. Пока предполагаемое значение ясно из контекста, ≤ будет достаточно для обозначения соответствующего символа отношения, даже без предварительного введения. Кроме того, <будет обозначать строгий порядок, индуцированный ≤.

A [ править ]

Ациклический . Бинарное отношение ациклический , если он содержит не «циклов»: то же самое, его транзитивное замыкание не является антисимметричным . ^[1]
Смежный . См. Связь Галуа .
Топология Александрова . Для предупорядоченных множеств P , любой верхний набор вывод является Александровым-открыт . Наоборот, топология Александрова называется топологией, если открыто любое пересечение открытых множеств.
Алгебраический поз . ЧУМ является алгебраическим, если он имеет базу из компактных элементов.
Античейн . Антицепь - это ч.у.м., в котором нет двух элементов, которые можно сопоставить, т. Е. Нет двух различных элементов x и y, таких что x ≤ y . Другими словами, отношение порядка антицепи - это просто отношение тождества.
Приближает отношение . См. Отношение ниже .
Отношение R на множестве X является антисимметричным , если х К у и у Р х влечет х = у , для всех элементов х , у в X .
Антитонен функция F между Posets P и Q представляет собой функцию , для которой, для всех элементов х , у из Р , х ≤ у (в P ) означает п ( у ) ≤ ф ( х ) (в Q ). Другое название этого свойства - реверсирование порядка . В анализе при наличии полных порядков такие функции часто называют монотонно убывающими., но это не очень удобное описание при работе с неполными заказами. Двойственное понятие называется монотонным или сохраняющим порядок .
Асимметричный . Отношение R на множестве X является асимметричным, если х R Y означает не у R х , для всех элементов х , у в X .
Атом в посета Р с наименьшим элементом 0, является элементом , который является минимальным среди всех элементов , которые не равны 0.
Атомный ч.у.м. Р с наименьшим элементом 0 является тот , в котором, для каждого ненулевого элемента х из Р , есть атом из P с ≤ х .

B [ править ]

База . Смотрите непрерывный посет .
Булева алгебра является дистрибутивной решеткой с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1, в которой каждый элемент х имеет дополнение ¬ х , таких , что х ∧ ¬ х = 0 и х ∨ ¬ х = 1.
Ограниченная ч.у.м. является тот , который имеет наименьший элемент и наибольший элемент.
ЧУМ считается ограниченно полным, если каждое его подмножество с некоторой верхней границей также имеет наименьшую такую верхнюю границу. Двойственное понятие встречается нечасто.

C [ править ]

Цепь . Цепочка - это полностью упорядоченное множество или полностью упорядоченное подмножество poset. См. Также общий заказ .
Цепь завершена . Частично упорядоченное множество , в котором каждая цепь имеет точную верхнюю грань .
Оператор закрытия . Оператор замыкания на посета Р является функцией С : Р → Р , монотонно, идемпотентная , и удовлетворяет С ( х ) ≥ х для всех х в Р .
Компактный . Элемент x из poset является компактным, если он находится намного ниже самого себя, то есть x << x . Можно также говоритчто такое х является конечным .
Сопоставимо . Два элемента x и y чугуна P сравнимы, если либо x ≤ y, либо y ≤ x .
График сопоставимости . Граф сравнимости чугуна ( P , ≤) - это граф с множеством вершин P, в котором ребрами являются те пары различных элементов P , которые сравнимы при ≤ (и, в частности, при его рефлексивной редукции <).
Полная булева алгебра . Булева алгебра , которая является полной решеткой.
Полная алгебра Гейтинга . Гейтингова алгебра , которая является полной решеткой называется полной алгеброй гейтингова. Это понятие совпадает с концепциями фрейма и локали .
Полная решетка . Полная решетка - это ч.у., в котором существуют произвольные (возможно, бесконечные) соединения (верхняя граница) и пересечения (бесконечность).
Полный частичный заказ . Полный частичный порядок или cpo - это направленный полный частичный порядок (qv) с наименьшим элементом.
Полное отношение . Синоним Связанного отношения .
Полная полурешетка . Понятие полной полурешетки определяется по-разному. Как объясняется в статье о полноте (теория порядка) , любой чум, для которого существуют либо все верхние, либо все нижние границы, уже является полной решеткой. Поэтому понятие полной полурешетки иногда используется для совпадения с понятием полной решетки. В других случаях полные (встречающиеся) полурешетки определяются как ограниченные полные cpos , которые, возможно, являются наиболее полным классом множеств, которые еще не являются полными решетками.
Полностью распределительная решетка . Полная решетка полностью дистрибутивна, если произвольные соединения распределяются по произвольным встречам.
Завершение . Пополнение чугуна - это упорядоченное вложение чугуна в полную решетку.
Непрерывный позет . Ч.у. является непрерывным, если у него есть база , т. Е. Подмножество B в P такое, что каждый элемент x из P является супремумом направленного множества, содержащегося в { y in B | у << х }.
Непрерывная функция . См. Скотт-непрерывный .
Конверс . Обратное <° порядка <- это то, в котором x <° y всякий раз, когда y <x.
Обложка . Элемент y ч.у. множества P называется покрывающим элемент x из P (и называется покрытием x ), если x < y и не существует такого элемента z из P , что x < z < y .
cpo . Смотрите полный частичный заказ .

D [ править ]

DCPO . См. Направленный полный частичный заказ .
Плотно ч.у.м. Р является тот , в котором, для всех элементов х и у в Р с х < у , существует элемент г в Р , такое , что х < г < у . Подмножество Q из P является плотным в Р , если для любых элементов х < у в Р , существует элемент г в Q такие , что х < г < у .
Режиссер . Непустое подмножество Х из посета Р называется направлено, если для всех элементов х и у из X , существует элемент г из X такиечто X ≤ г и у ≤ г . Двойственное понятие называется фильтрованным .
Направлен полный частичный заказ . ЧУМ D называется направленным полным чугуном, или dcpo , если каждое направленное подмножество D имеет супремум.
Распределительный . Решетка L называется дистрибутивной, если для всех x , y и z в L мы находим, что x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ). Это условие, как известно, эквивалентно двойственному по порядку. Meet- полурешетка дистрибутивнаесли для всех элементов, б и х ,∧ б ≤ х влечет за собой существование элементов а» ≥a и b ' ≥ b такие, что a' ∧ b ' = x . Смотрите также полностью дистрибутив .
Домен . Домен - это общий термин для объектов, подобных тем, которые изучаются в теории доменов . Если он используется, он требует дальнейшего определения.
Даун-набор . См. Нижний набор .
Двойной . Для ч.у. ( P , ≤) двойственный порядок P ^d = ( P , ≥) определяется установкой x ≥ y тогда и только тогда, когда y ≤ x . Двойственный порядок P иногда обозначается P ^op и также называется обратным или обратным порядком. Любое теоретико-упорядоченное понятие порождает двойственное понятие, определяемое применением исходного утверждения к порядку, двойственному данному множеству. Это меняет местами ≤ и ≥, встречается и объединяет ноль и единицу.

E [ править ]

Расширение . Для частичных порядков ≤ и ≤ 'на множестве X , ≤' является продолжением ≤ при условии , что для всех элементов х и у из X , х ≤ у означает , что х ≤ ' у .

F [ править ]

Фильтр . Подмножество X ч.у.м. P называется фильтром, если оно является фильтрованным верхним множеством. Двойственное понятие называется идеальным .
Отфильтровано . Непустое подмножество Х из посета Р называется фильтруют, если для всех элементов х и у из X , существует элемент г из X , такой , что г ≤ х и г ≤ у . Двойственное понятие называется направленным .
Конечный элемент . См. Компактный .
Рамка . Шкала F - это полная решетка, в которой для каждого x из F и любого подмножества Y из F бесконечный закон распределения x ∧ Y ={ x ∧ y | y in Y } выполняется. Фреймы также известны как локали и полные алгебры Гейтинга . ${\ displaystyle \ bigvee}$ ${\ displaystyle \ bigvee}$

G [ править ]

Связь Галуа . Для двух множеств P и Q пара монотонных функций F : P → Q и G : Q → P называется связностью Галуа, если F ( x ) ≤ y эквивалентно x ≤ G ( y ) для всех x в Р и у в Q . F называется нижним сопряженным к G, а G называетсяверхний сопряженный из F .
Величайший элемент . Для подмножества X из ч.у.м. P , элементиз X называется наибольший элемент X , если х ≤для каждого элемента х в X . Двойственное понятие называется наименьшим элементом .
Наземный набор . Основным множеством чугуна ( X , ≤) является множество X, на котором определен частичный порядок ≤.

H [ править ]

Алгебра Гейтинга . Гейтинговая алгебра Н является ограниченной решеткойв которой функция F _в : H → H , задается F _в ( х ) =∧ х является нижним сопряженной в связи Галуа , для каждого элемент а из H . Тогда верхний сопряженный к f _a обозначается через g _a , причем g _a ( x ) = a ⇒; х . Каждая булева алгебра является алгеброй Гейтинга.
Диаграмма Хассе . Диаграмма Хассе - это тип математической диаграммы, которая используется для представления конечного частично упорядоченного множества в виде рисунка его транзитивной редукции .

Я [ править ]

Идеал является подмножеством Х из посета Р , которая является нижней направлено множество. Двойственное понятие называется фильтром .
Частота алгебра из посета является ассоциативной алгеброй всех скалярных функций на интервалах, с добавлением и скалярным умножением определяется точечно, и умножение определяется как некоторая свертка; см. подробности в алгебре инцидентности .
Infimum . Для посета P и подмножество X из Р , наибольший элемент в множестве нижних граней X (если оно существует, что оно не может) называется нижняя грань , встречаются , или точная нижняя грань из X . Он обозначается инф X или X . Нижняя грань двух элементов может быть записана как inf { x , y } или x ∧ y . Если множество X конечно, говорят о конечной нижней грани . Двойственное понятие называется супремумом . ${\ displaystyle \ bigwedge}$
Интервал . В течение двух элементов через , б частично упорядоченное множество Р , на интервале [, Ь ] есть подмножество { х в Р | ≤ х ≤ б } из Р . Если a ≤ b не выполняется, интервал будет пустым.
Интервал конечный посеть . Частично упорядоченное множество P является интервальным конечным, если каждый интервал вида {x in P | x ≤ a} - конечное множество. ^[2]
Обратный . См. Обратное .
Безрезультатный . Отношение R на множестве X иррефлексивно, если не существует ни одного элемента х в х , такихчто х К х .
Изотон . Увидеть монотонность .

J [ править ]

Присоединяйтесь . См. Супремум .

L [ править ]

Решетка . Решетка - это ч.у., в котором существуют все непустые конечные соединения (верхняя граница) и пересечения (нижняя граница).
Наименьший элемент . Для подмножества X из ч.у.м. P , элементиз X называется наименьший элемент X , если≤ х для каждого элемента х в X . Двойственное понятие называется наибольшим элементом .
Длина цепи является количество элементов меньше один. Цепочка из 1 элемента имеет длину 0, цепь из 2 элементов имеет длину 1 и т. Д.
Линейный . Посмотреть общий заказ .
Линейное удлинение . Линейное расширение частичного порядка - это расширение, которое является линейным порядком или полным порядком.
Локаль . Локаль - это полная алгебра Гейтинга . Локали также называются фреймами и проявляются в двойственности Стоуна и бессмысленной топологии .
Локально конечный посеть . Частично упорядоченное множество P является локально конечным, если каждый интервал [ a , b ] = { x в P | a ≤ x ≤ b } - конечное множество.
Нижняя граница . Нижняя граница подмножества X из ч.у.м. Р является элементом Ь из Р , такойчто б ≤ х , для всех х в X . Двойственное понятие называется верхней границей .
Нижний набор . Подмножество Х из посета Р называется нижним множествомесли для всех элементов х в X и р в Р , р ≤ х следуетчто р содержится в X . Двойственное понятие называется верхним множеством .

M [ править ]

Максимальная цепь . Цепь в посете , к которой ни один элемент не может быть добавлена без потери свойства быть вполне упорядочены. Это сильнее, чем быть насыщенной цепью, поскольку также исключает существование элементов, меньших, чем все элементы цепочки, или больших, чем все ее элементы. Конечная насыщенная цепь максимальна тогда и только тогда, когда она содержит как минимальный, так и максимальный элемент чугуна.
Максимальный элемент . Максимальный элемент подмножества X из ч.у.м. P является элементом т из X , такимчто м ≤ х означает , т = х , для всех х в X . Двойственное понятие называется минимальным элементом .
Максимальный элемент . Синоним величайшего элемента. Для подмножества X из ч.у.м. P , элементиз X называется максимальный элемент X , если х ≤для каждого элемента х в X . Максим гм элемент обязательно максим ал , но не обратное необходимости держать.
Знакомьтесь . См. Инфимум .
Минимальный элемент . Минимальный элемент подмножества X из ч.у.м. P является элементом т из X , такоечто X ≤ м означает , т = х , для всех х в X . Двойственное понятие называется максимальным элементом .
Минимальный элемент . Синоним наименьшего элемента. Для подмножества X из ч.у.м. P , элементиз X называется минимальным элементом X , если х ≥для каждого элемента х в X . Минит ит элемент обязательно минит аль , но не обратная необходимости держать.
Монотонный . Функция F между Posets P и Q монотонноесли для всех элементов х , у из Р , х ≤ у (в P ) означает п ( х ) ≤ F ( у ) (в Q ). Другие названия этого свойства - изотонный и сохраняющий порядок . В анализе при наличии полных порядков такие функции часто называют монотонно возрастающими., но это не очень удобное описание при работе с неполными заказами. Двойственное понятие называется антитоном или изменением порядка .

O [ править ]

Заказ-двойной . Двойственный порядок частично упорядоченного множества - это тот же набор, но отношение частичного порядка заменено его обратным.
Заказ-встраивание . Функция F между Posets P и Q представляет собой порядок-вложениеесли для всех элементов х , у из Р , х ≤ у (в Р ) эквивалентно е ( х ) ≤ F ( у ) (в Q ).
Порядковый изоморфизм . Отображение F : P → Q между двумя Posets P и Q называется изоморфизм порядка, если оно взаимно однозначное и оба F и F ^-1 являются монотонно . Эквивалентно, изоморфизм порядка - это сюръективное вложение порядка .
Сохранение порядка . Увидеть монотонность .
Реверсирование порядка . См. Антитон .

P [ править ]

Частичный заказ . Частичный порядок - это бинарное отношение, которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . При небольшом злоупотреблении терминологией этот термин иногда также используется для обозначения не такого отношения, а его соответствующего частично упорядоченного множества.
Частично заказанный комплект . Частично упорядоченное множество ( Р , ≤), или ч.у.м. для краткости, представляет собой набор Р вместе с частичным порядком ≤ на P .
Poset . Частично заказанный набор.
Предзаказ . Предварительный заказ - это бинарное отношение, которое является рефлексивным и транзитивным . Такие порядки также можно назвать квазипорядками . Термин « предварительный порядок» также используется для обозначения ациклического бинарного отношения (также называемого ациклическим орграфом ).
Сохранение .Говорят, чтофункция f между множествами P и Q сохраняет супремум (соединения), если для всех подмножеств X множества P , имеющих супремум sup X в P , мы обнаруживаем, что sup { f ( x ): x in X } существует и равно f (sup X ). Такую функцию еще называют сохраняющей соединение . Аналогично, говорят, что f сохраняет конечные, непустые, направленные или произвольные соединения (или встречи). Обратное свойство называется отражением соединения .
Prime . Идеал I в решетке L называется простым, если для всех элементов х и у в Ь , х ∧ у в I влечет й в I или у в I . Двойственное понятие называется простым фильтром . Эквивалентно, набор является простым фильтром тогда и только тогда, когда его дополнение является простым идеалом.
Директор . Фильтр называется основным фильтром, если он имеет наименьший элемент. Соответственно, главный идеал - это идеал с величайшим элементом. Наименьшие или самые большие элементы также могут быть названы главными элементами в этих ситуациях.
Проекция (оператор) . Отображение себя на частично упорядоченном множестве, которое является монотонным и идемпотентным относительно композиции функций . Проекции играют важную роль в теории предметной области .
Псевдо-дополнение . В алгебре Гейтинга элемент x ⇒; 0 называется псевдодополнением x . Он также задается sup { y : y ∧ x = 0}, то есть как наименьшая верхняя граница всех элементов y с y ∧ x = 0.

Q [ править ]

Квазипорядок . Смотрите предварительный заказ .
Квазитранзитивный . Отношение квазитранзитивно, если отношение на различных элементах транзитивно. Транзитивный подразумевает квазитранзитивный, а квазитранзитивный подразумевает ациклический. ^[1]

R [ править ]

Размышляя . Говорят, чтофункция f между множествами P и Q отражает супремум (соединения), если для всех подмножеств X множества P, для которых супремум sup { f ( x ): x в X } существует и имеет вид f ( s ) для некоторого s из P , то мы находим, что sup X существует и что sup X = s . Аналогично, говорят, что f отражает конечные, непустые, направленные или произвольные объединения (или встречи). Обратное свойство называетсясоединение с сохранением .
Рефлексивный . Бинарное отношение R на множестве X рефлексивно, если х К х имеет место для любого элемента х в X .
Остаточный . Двойная карта, прикрепленная к остаточному отображению .
Остаточное отображение . Монотонная карта, для которой прообраз главного понижающего множества снова является главным. Эквивалентно один компонент связи Галуа.

S [ править ]

Насыщенная цепь . Цепь таким образом, что ни один элемент не может быть добавлен между двумя из его элементов , не теряя свойство быть вполне упорядочено. Если цепь конечна, это означает, что в каждой паре следующих друг за другом элементов больший покрывает меньший. См. Также максимальную цепочку.
Рассеянный . Полный порядок разбросан, если он не имеет плотно упорядоченного подмножества.
Скотт-непрерывный . Монотонная функция f : P → Q между множествами P и Q является непрерывной по Скотту, если для каждого направленного множества D , имеющего супремум sup D в P , множество { fx | х в D } имеет супремум п (SUP D ) в Q . Другими словами, непрерывная по Скотту функция - это функция, сохраняющая все направленные супремумы. Фактически это эквивалентно непрерывности относительно топологии Скотта. на соответствующих посетах.
Скотт домен . Область Скотта - это частично упорядоченное множество, которое является ограниченным полным алгебраическим КП .
Скотт открыт . См. Топологию Скотта .
Топология Скотта . Для посета Р , подмножество О является Скотт-открытым , если это верхний набор и все направленные множества D , которые имеют грань в О имеют непустое пересечение с O . Множество всех открытых по Скотту множеств образует топологию , топологию Скотта .
Полурешетка . Полурешетка - это ч.у.м., в котором существуют либо все конечные непустые соединения (супремы), либо все конечные непустые пересечения (инфима). Соответственно, говорят о полурешетке соединения или полурешетке соединения .
Наименьший элемент . Видеть наименьший элемент .
Свойство Спернера частично упорядоченного множества
Спернер позет
Строго поет Спернера
Сильно спернерский поет
Строгий порядок . Строгий порядок - это бинарное отношение, которое является антисимметричным , транзитивным и иррефлексивным .
Супремум . Для посета P и подмножество X из Р , по наименьшим элементом в множестве верхних граней из X (если оно существует, что оно не может) называется супремум , присоединиться , или хотя бы верхнюю границу из X . Оно обозначается вир X или X . Супремум двух элементов может быть записан как sup { x , y } или x ∨ y . Если множество X конечно, говорят о конечном супремуме . Двойственное понятие называется ${\ displaystyle \ bigvee}$ инфимум .
Консистенция судзумуры . Бинарное отношение R является согласованным по Сузумуре, если из x R ^∗ y следует, что x R y или нет y R x . ^[1]
Симметричный . Отношение R на множестве X является симметричным, если х R Y означает у R х , для всех элементов х , у в X .

Т [ править ]

Вверху . См. Блок .
Общий заказ . Полный порядок T - это частичный порядок, в котором для каждого x и y в T мы имеем x ≤ y или y ≤ x . Суммарные заказы также называются линейными заказами или цепочками .
Полное отношение . Полное или полное отношение R на множестве X обладает тем свойством, что для всех элементов x , y из X выполняетсяпо крайней мере одно из x R y или y R x .
Переходный . Отношение R на множестве X транзитивно, если х К у и у R г означают х R г , для всех элементов х , у , г в X .
Переходное закрытие . Транзитивное замыкание R^∗ отношения R состоит из всех пар x , y, для которых существует конечная цепь x R a , a R b , ..., z R y . ^[1]

U [ править ]

Единица . Наибольший элемент из посета P можно назвать блок или только 1 (если она существует). Другой распространенный термин для этого элемента - верх . Это инфимум пустого множества и супремум P . Двойственное понятие называется нулем .
Настроен . См. Верхний набор .
Верхняя граница . Верхняя граница подмножества X из ч.у.м. Р является элементом Ь из Р , такоечто X & le ; б , для всех х в X . Двойственное понятие называется нижней границей .
Верхний набор . Подмножество Х из посета Р называется верхним множествомесли для всех элементов х в X и р в Р , х ≤ р следуетчто р содержится в X . Двойственное понятие называется нижним множеством .

V [ править ]

Оценка . Для данной решетки оценка является строгой (т. Е.), Монотонной, модульной (т. Е. ) И положительной. Непрерывные оценки - это обобщение мер. ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Nu: от X \ до [0,1]}$ ${\ Displaystyle \ ню (\ emptyset) = 0}$ ${\ Displaystyle \ Nu (U) + \ Nu (V) = \ Nu (U \ чашка V) + \ Nu (U \ cap V)}$

W [ править ]

Отношение «путь ниже» . В посете P , некоторый элемент х является значительно ниже у , написанный х << у , если для всех подмножеств направленного D из P , которые имеют грань, у ≤ вечерять D влечет е ≤ d для некоторого г в D . Еще говорят, что x приближается к y . См. Также теорию предметной области .
Слабый порядок . Частичный порядок ≤ на множестве X является слабым порядком при условии, что ч.у. (X, ≤) изоморфен счетномунаборумножеств, упорядоченных путем сравнения мощности .

Z [ править ]

Ноль . Наименьший элемент из посета Р можно назвать нуль или просто 0 (если она существует). Другой распространенный термин для этого элемента - дно . Ноль супремум пустого множества и инфимум P . Двойственное понятие называется единицей .

Заметки [ править ]

^ a b c d Боссерт, Вальтер; Судзумура, Котаро (2010). Последовательность, выбор и рациональность . Издательство Гарвардского университета. ISBN 0674052994.
^ Дэн 2008 , стр. 22

Ссылки [ править ]

Приведенные здесь определения согласуются с определениями, которые можно найти в следующих стандартных справочниках:

Б.А. Дэви и Х.А. Пристли, Введение в решетки и порядок , 2-е издание, Cambridge University Press, 2002.
Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислав и Д. С. Скотт, Непрерывные решетки и области , В энциклопедии математики и ее приложений , Vol. 93, Cambridge University Press, 2003.

Конкретные определения:

Дэн, Бангминг (2008), Конечномерные алгебры и квантовые группы , Математические обзоры и монографии, 150 , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4186-0

[BosSuz-1] Боссерт, Вальтер; Судзумура, Котаро (2010). Последовательность, выбор и рациональность . Издательство Гарвардского университета. ISBN 0674052994.

[2] Дэн 2008 , стр. 22

[1]