Это хорошая статья. Для получения дополнительной информации нажмите здесь.
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

см. подпись
Георг Кантор, ок. 1870 г.    

Первая статья Кантора по теории множеств содержит первые теоремы Георга Кантора из теории трансфинитных множеств , изучающей бесконечные множества и их свойства. Одна из этих теорем являются его «революционным открытием» , что множество всех действительных чисел является несчетным , а не счетно , бесконечны. [1] Эта теорема доказывается с использованием первого доказательства несчетности Кантора , которое отличается от более известного доказательства с использованием его диагонального аргумента . Название статьи « Об одном свойстве набора всех вещественных алгебраических чисел»."(" Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen ") ссылается на свою первую теорему: множество действительных алгебраических чисел счетно. Статья Кантора была опубликована в 1874 году. В 1879 году он модифицировал свое доказательство несчетности, используя топологическое понятие множества, плотного в интервале.

Статья Кантора также содержит доказательство существования трансцендентных чисел . Как конструктивные, так и неконструктивные доказательства были представлены как «доказательство Кантора». Популярность представления неконструктивных доказательств привела к неправильному представлению о неконструктивности аргументов Кантора. Поскольку доказательство, которое опубликовал Кантор, либо конструирует трансцендентные числа, либо нет, анализ его статьи может определить, является ли это доказательство конструктивным. [2] Переписка Кантора с Ричардом Дедекиндом показывает развитие его идей и показывает, что у него был выбор между двумя доказательствами: неконструктивное доказательство, использующее несчетность действительных чисел, и конструктивное доказательство, не использующее несчетность.

Историки математики изучили статью Кантора и обстоятельства, в которых она была написана. Например, они обнаружили, что Кантору посоветовали опустить его теорему о несчетности в присланной им статье  -  он добавил ее во время корректуры . Они связали этот и другие факты со статьей с влиянием Карла Вейерштрасса и Леопольда Кронекера . Историки также изучили вклад Дедекинда в статью, в том числе его вклад в теорему о счетности действительных алгебраических чисел. Кроме того, они признали роль, которую играют теорема о несчетности и концепция счетности в развитии теории множеств, теории меры иИнтеграл Лебега .

Статья [ править ]

Статья Кантора короткая, менее четырех с половиной страниц. [A] Он начинается с обсуждения вещественных алгебраических чисел и утверждения его первой теоремы: множество действительных алгебраических чисел может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с множеством положительных целых чисел. [3] Кантор переформулирует эту теорему в терминах, более знакомых математикам его времени: набор действительных алгебраических чисел может быть записан как бесконечная последовательность, в которой каждое число встречается только один раз. [4]

Вторая теорема Кантора работает с отрезком [ a ,  b ], который представляет собой набор действительных чисел ≥  a и ≤  b . Теорема утверждает: Для любой последовательности действительных чисел x 1 , x 2 , x 3 , ... и любого интервала [ a ,  b ] существует число в [ a ,  b ], которое не содержится в данной последовательности. Следовательно, таких чисел бесконечно много. [5]

Кантор отмечает, что объединение двух его теорем дает новое доказательство теоремы Лиувилля о том, что каждый интервал [ a ,  b ] содержит бесконечно много трансцендентных чисел . [5]

Затем Кантор замечает, что его вторая теорема:

причина, по которой наборы действительных чисел, образующие так называемый континуум (например, все действительные числа, которые имеют ≥ 0 и ≤ 1), не могут однозначно соответствовать набору (ν) [совокупности всех положительных целых чисел]; таким образом, я обнаружил явное различие между так называемым континуумом и совокупностью, подобной совокупности действительных алгебраических чисел. [6]

Это замечание содержит теорему Кантора о несчетности, которая только утверждает, что интервал [ a ,  b ] не может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Он не утверждает, что этот интервал является бесконечным множеством большей мощности, чем множество положительных целых чисел. Количество элементов определяется в следующей статье Кантора, опубликованной в 1878 г. [7]

Доказательство теоремы Кантора о несчетности
Кантор не доказывает явно свою теорему о несчетности, что легко следует из его второй теоремы. Это можно доказать, используя доказательство от противного . Предположим, что интервал [ a ,  b ] может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с набором положительных целых чисел или, что эквивалентно: действительные числа в [ a ,  b ] могут быть записаны как последовательность, в которой появляется каждое действительное число только один раз. Применение второй теоремы Кантора к этой последовательности и [ a ,  b ] дает действительное число в [ a ,  b ], которое не принадлежит последовательности. Это противоречит исходному предположению и доказывает теорему о несчетности. [8]

Кантор лишь формулирует свою теорему о несчетности. Он не использует его ни в каких доказательствах. [3]

Доказательства [ править ]

Первая теорема [ править ]

Алгебраические числа на комплексной плоскости, раскрашенные полиномиальной степенью. (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4). Точки становятся меньше по мере увеличения коэффициентов целочисленного полинома.

Для того, чтобы доказать , что множество вещественных алгебраических чисел счетно, определяет высоту в виде полинома от степени п с целыми коэффициентами , как: п  - 1 + | а 0 | + | а 1 | + ... + | a n |, где a 0 , a 1 , ..., a n - коэффициенты многочлена. Упорядочить многочлены по их высоте и упорядочить действительные корнимногочленов одинаковой высоты в числовом порядке. Поскольку существует только конечное число корней многочленов заданной высоты, эти порядки помещают действительные алгебраические числа в последовательность. Кантор пошел еще дальше и создал последовательность, в которой каждое действительное алгебраическое число встречается только один раз. Он сделал это, используя только неприводимые полиномы над целыми числами. Следующая таблица содержит начало перечисления Кантора. [9]

Канторовское перечисление действительных алгебраических чисел
Действительное алгебраическое
число
Полиномиальный		Высота
полинома
х 1 = 0Икс      1
х 2 = -1х + 1      2
х 3 = 1х - 1      2
х 4 = −2х + 2      3
х 5 = -1/22 х + 1      3
х 6 =1/22 х - 1      3
х 7 = 2х - 2      3
х 8 = −3х + 3      4
х 9 =−1 - √ 5/2х 2 + х - 1      4
х 10 = - √ 2х 2 - 2      4
х 11 = -1/√ 22 х 2 - 1      4
х 12 =1 - √ 5/2х 2 - х - 1      4
х 13 = -1/33 х + 1      4
х 14 =1/33 х - 1      4
х 15 =−1 + √ 5/2   х 2 + х - 1      4
х 16 =1/√ 22 х 2 - 1      4
х 17 = √ 2х 2 - 2      4
х 18 =1 + √ 5/2х 2 - х - 1      4
х 19 = 3х - 3      4

Вторая теорема [ править ]

Требуется доказать только первую часть второй теоремы Кантора. Он гласит: Для любой последовательности действительных чисел x 1 , x 2 , x 3 , ... и любого интервала [ a ,  b ] существует число в [ a ,  b ], которое не содержится в данной последовательности. [B]

Чтобы найти число в [ a ,  b ], которое не содержится в данной последовательности, постройте две последовательности действительных чисел следующим образом: Найдите первые два числа данной последовательности, которые находятся в открытом интервале ( a ,  b ). Обозначим меньшее из этих двух чисел a 1, а большее - b 1 . Точно так же найдите первые два числа заданной последовательности, которые находятся в ( a 1 ,  b 1 ). Обозначим меньшую букву a 2, а большую - b 2 . Продолжение этой процедуры генерирует последовательность интервалов (1 ,  б 1 ), ( 2 ,  б 2 ), ( 3 ,  б 3 ), ... таким образом, что каждый интервал в последовательности содержит все последующие интервалы - то есть, она генерирует последовательность вложенных интервалов . Это означает, что последовательность a 1 , a 2 , a 3 , ... возрастает, а последовательность b 1 , b 2 , b 3 , ... убывает. [10]  

Либо количество сгенерированных интервалов конечно, либо бесконечно. Если конечно, пусть ( a L ,  b L ) будет последним интервалом. Если бесконечно, возьмем пределы a ∞  = lim n  → ∞  a n и b ∞  = lim n  → ∞  b n . Поскольку a n  <  b n для всех n , либо a ∞  =  b ∞, либо a ∞  <  b ∞ . Таким образом, следует рассмотреть три случая:

Случай 1: Последний интервал ( a L , b L )
Случай 1: есть последний интервал ( a L ,  b L ). Поскольку в этом интервале может быть не более одного x n , каждый y в этом интервале, кроме x n (если он существует), не содержится в данной последовательности.

Случай 2: a ∞ = b ∞
Случай 2: a ∞  =  b ∞ . Тогда a ∞ не содержится в данной последовательности, поскольку для всех n  : a ∞ принадлежит интервалу ( a n ,  b n ), но x n не принадлежит ( a n ,  b n ). В символах: a ∞  ∈  ( a n ,  b n ), но x n  ∉  ( a n ,  b n ).

Доказательство того, что для всех  n  : x n ∉ ( a n ,  b n )     
Эта лемма используется в случаях 2 и 3. Она следует из более сильной леммы: для всех  n ( a n ,  b n ) исключает x 1 , ...,  x 2 n . Доказывается по индукции . Базовый шаг: поскольку конечные точки ( a 1 ,  b 1 ) равны x 1 и x 2, а открытый интервал исключает его конечные точки, ( a 1 ,  b 1 ) исключает x 1 ,  x 2. Индуктивный шаг: Предположим, что ( a n ,  b n ) исключает x 1 , ...,  x 2 n . Поскольку ( a n +1 ,  b n +1 ) является подмножеством ( a n ,  b n ) и его конечными точками являются x 2 n +1 и x 2 n +2 , ( a n +1 ,  b n +1 ) исключает x 1 , ...,  x 2 nи x 2 n +1 ,  x 2 n +2 . Следовательно, для всех  n ( a n ,  b n ) исключает x 1 , ...,  x 2 n . Поэтому для всех  п , х п  ∉ ( а п ,  б п ). [C]

Случай 3: a ∞ < b ∞
Случай 3: a ∞  <  b ∞ . Тогда каждый y из [ a ∞ ,  b ∞ ] не содержится в данной последовательности, поскольку для всех n  : y принадлежит ( a n ,  b n ), а x n нет. [11]

Доказательство завершено, поскольку во всех случаях было найдено хотя бы одно действительное число в [ a ,  b ], которое не содержится в данной последовательности. [D]

Доказательства Кантора конструктивны и были использованы для написания компьютерной программы, которая генерирует цифры трансцендентного числа. Эта программа применяет конструкцию Кантора к последовательности, содержащей все действительные алгебраические числа от 0 до 1. В статье, в которой обсуждается эта программа, приводятся некоторые ее результаты, которые показывают, как конструкция генерирует трансцендентное число. [12]

Пример конструкции Кантора [ править ]

Пример показывает, как работает конструкция Кантора. Рассмотрим последовательность:1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, ... Эта последовательность получается путем упорядочения рациональных чисел в (0, 1) путем увеличения знаменателей, упорядочения чисел с тем же знаменателем путем увеличения числителей и исключения приводимых дробей . В таблице ниже показаны первые пять шагов построения. Первый столбец таблицы содержит интервалы ( a n ,  b n ). Во втором столбце перечислены термины, посещенные во время поиска первых двух терминов в ( a n ,  b n ). Эти два термина выделены красным. [13]

Генерация числа с помощью конструкции Кантора
ИнтервалНахождение следующего интервалаИнтервал (десятичный)

Поскольку последовательность содержит все рациональные числа из (0, 1), конструкция порождает иррациональное число , которое оказывается √ 2  - 1. [14]

Доказательство того, что сгенерированное число равно √ 2  - 1
Доказательство использует последовательности Фарея и непрерывные дроби . Последовательность Фарея - это возрастающая последовательность полностью сокращенных дробей , знаменатели которых равны If и являются смежными в последовательности Фарея, фракция с наименьшим знаменателем между ними является их медиантой. Эта медианта находится рядом с обеими и в последовательности Фарея [15]

Конструкция Кантора дает медианты, потому что рациональные числа были упорядочены по возрастанию знаменателя. Первый интервал в таблице - это Поскольку и смежные по своей медианте - это первая дробь в последовательности между и Следовательно, в этом неравенстве имеет наименьший знаменатель, поэтому вторая дробь является медианой и, которая равна Это означает: Следовательно, следующий интервал

Мы докажем, что концы интервалов сходятся к непрерывной дроби. Эта цепная дробь является пределом своих подходящих дробей :

Последовательности и удовлетворяют уравнениям: [16]

Во- первых, мы докажем по индукции , что при нечетном п , то п -й интервал в таблице:

и для четного n конечные точки интервала меняются местами:

Это верно для первого интервала, поскольку:

Предположим, что индуктивная гипотеза верна для k -го интервала. Если k нечетное, этот интервал равен:

Медиант конечных точек - это первая часть последовательности между этими конечными точками.

Следовательно,

В этом неравенстве имеет наименьший знаменатель, поэтому вторая дробь является медиантом и равна

Из этого следует:

Следовательно, ( k  + 1) -й интервал равен

Это желаемый интервал; является левым концом, потому что k  + 1 четно. Таким образом, индуктивная гипотеза верна для ( k  + 1) -го интервала. Для четного k доказательство аналогично. Это завершает индуктивное доказательство.

Поскольку правые конечные точки интервалов уменьшаются, и каждая другая конечная точка является их пределом, равным Левым конечным точкам, они имеют такой же предел, потому что они увеличиваются, а каждая другая конечная точка равна. Как упоминалось выше, этот предел представляет собой непрерывную дробь, которая равна [17]

Доказательство несчетности Кантора 1879 г. [ править ]

Везде плотно [ править ]

В 1879 году Кантор опубликовал новое доказательство несчетности, изменяющее его доказательство 1874 года. Сначала он определяет топологическое понятие точечного множества P, которое «всюду плотно в интервале»: [E]

Если P лежит частично или полностью в интервале [a, β], то замечательный случай может случиться так, что каждый интервал [γ, δ] содержится в [a, β], независимо от того , насколько она мала, содержит точки P . В таком случае мы будем говорить , что Р является всюду плотным в интервале [a, β]. [F]

В этом обсуждении доказательства Кантора: a ,  b ,  c ,  d используются вместо α, β, γ, δ. Кроме того, Кантор использует свое обозначение интервала только в том случае, если первая конечная точка меньше второй. Для данного обсуждения это означает, что ( a ,  b ) влечет a  <  b .

Поскольку обсуждение доказательства Кантора 1874 года было упрощено за счет использования открытых интервалов, а не закрытых, здесь используется то же упрощение. Это требует , эквивалентное определения всюду плотно: Множество Р всюду плотно в интервале [ ,  Ь ] тогда и только тогда , когда каждый открытый подинтервал ( с ,  d ) из [ ,  Ь ] содержит , по меньшей мере , одну точки Р . [18]

Кантор не уточнил, сколько точек P должен содержать открытый подынтервал ( c ,  d ). Ему не нужно было указать это потому , что предположение , что каждые открытые подотрезки содержат , по меньшей мере , одну точки Р означает , что каждые открытые подотрезки содержат бесконечно много точек Р . [ГРАММ]

Доказательство Кантора 1879 г. [ править ]

Кантор модифицировал свое доказательство 1874 года новым доказательством своей второй теоремы : для любой последовательности P действительных чисел x 1 , x 2 , x 3 , ... и любого интервала [ a ,  b ] существует число в [ a ,  б ] , который не содержится в P . Новое доказательство Кантора имеет только два случая. Во-первых, он обрабатывает случай, когда P не является плотным в интервале, затем он имеет дело с более сложным случаем Pбудучи плотным в интервале. Это разделение на случаи не только указывает, с какими последовательностями труднее справиться, но также выявляет важную роль, которую плотность играет в доказательстве. [доказательство 1]

В первом случае P не плотно в [ a ,  b ]. По определению P плотно в [ a ,  b ] тогда и только тогда, когда для всех подынтервалов ( c ,  d ) в [ a ,  b ] существует x  ∈  P такой, что x ∈ ( c , d ) . Отрицание каждой стороны «тогда и только тогда» дает: P не является плотным в [ a ,  b ] тогда и только тогда, когда существует подинтервал ( c ,  d) отрезка [ a ,  b ] такая, что для всех x  ∈  P  : x ∉ ( c , d ) . Таким образом, каждое число в ( с ,  d ) не содержится в последовательности Р . [доказательство 1] В этом случае рассматриваются случаи 1 и 3 доказательства Кантора 1874 года.

Во втором случае, который имеет дело со случаем 2 доказательства Кантора 1874 года, P плотно в [ a ,  b ]. Плотность последовательности P используется для рекурсивного определения последовательности вложенных интервалов, которая исключает все числа в P и чье пересечение содержит единственное действительное число в [ a ,  b ]. Последовательность интервалов начинается с ( a ,  b ). Учитывая интервал в последовательности, следующий интервал получается путем нахождения двух чисел с наименьшими индексами, принадлежащих P и текущему интервалу. Эти два числа являютсяконечные точки следующего открытого интервала. Поскольку открытых интервал не включает его конечные точки, каждый вложенного интервал исключает два числа от передней части последовательности P , откуда следует , что пересечение вложенных интервалов исключают все числа в P . [доказательство 1] Детали этого доказательства и доказательства того, что это пересечение содержит единственное действительное число в [ a ,  b ], приведены ниже.

Определение и доказательства для вложенных интервалов
Сплошность последовательности P используется для рекурсивно определить последовательность вложенных интервалов , что исключает все из чисел P . Базовый случай начинается с интервалом ( ,  б ). Поскольку P плотно в [ a ,  b ], существует бесконечно много чисел P в ( a ,  b ). Пусть x k 1 будет числом с наименьшим индексом, а x k 2 будет числом со следующим большим индексом, и пусть a 1 будет меньшим, а b1 - большее из этих двух чисел. Тогда k 1  <  k 2 , a < a 1 < b 1 < b и ( a 1 ,  b 1 ) - собственный подынтервал в ( a ,  b ). Кроме того, x m ∉ ( a 1 ,  b 1 ) для m  ≤  k 2, поскольку эти x m являются конечными точками ( a 1 , б 1 ). Повторение приведенного выше доказательства с интервалом ( a 1 ,  b 1 ) дает k 3 , k 4 , a 2 , b 2 такие, что k 1 < k 2 < k 3 < k 4 и a < a 1 < a 2 < b 2 < b 1 < b и x m ∉ ( a 2, b 2 ) для m  ≤  k 4 . [доказательство 1]

На шаге рекурсии начинается с интервала ( п -1 , б п -1 ) , неравенства к 1 < к 2 <. . . < k 2 n –2 < k 2 n –1 и a < a 1 <. . . < a n –1 < b n –1 . . . < b 1 < b , и тот факт, что интервал ( a n –1, Б п -1 ) включает первые 2 п  -2 членов последовательности Р  -  что есть, х м ∉ ( п -1 , б п -1 ) для м  ≤  K 2 п -2 . Поскольку P плотно в [ a ,  b ], существует бесконечно много чисел P в ( a n –1 , b n –1 ) . Пусть x k2 n  –1 будет числом с наименьшим индексом, а x k 2 n будет числом со следующим большим индексом, и пусть a n будет меньшим, а b n будет большим из этих двух чисел. Тогда, K 2 п  -1  <  к 2 л , п -1 < п < б п < б п -1 , и ( п ,  б п ) является собственно подинтервал из (a n –1 , b n –1 ) . Объединение этих неравенств с неравенствами для шага n  –1 рекурсии дает k 1 < k 2 <. . . < k 2 n –1 < k 2 n и a < a 1 <. . . < a n < b n . . . < б 1 < б . Кроме того, x m ∉ ( a n ,  b n )для m  =  k 2 n –1 и m  =  k 2 n, поскольку эти x m являются концами ( a n ,  b n ). Это вместе с ( a n –1 , b n –1 ), исключающим первые 2 n  –2 члена последовательности P, означает, что интервал ( a n ,  b n ) исключает первые 2 n членов P  -  чтоis, x m ∉ ( a n , b n ) для m  ≤  k 2 n . Поэтому для всех п , х п ∉ ( а п , б п ) начиная с п  ≤  K 2 н . [доказательство 1]

Последовательность a n возрастает и ограничена сверху числом b , поэтому предел A  = lim n  → ∞  a n существует. Аналогично, предел B  = lim n  → ∞  b n существует, поскольку последовательность b n убывает и ограничена снизу величиной a . Кроме того , п  <  б п означает  ≤  B . Если A  <  B , то для каждого n : xn  ∉ ( A ,  B ), потому что x n не находится в большем интервале ( a n ,  b n ). Это противоречитплотности P в [ a ,  b ]. Следовательно, =  B . Для всех n , A ∈ ( a n ,  b n ), но x n ∉ ( a n ,  b n ) . Следовательно, A - число из [ a ,  b] , Который не содержится в P . [доказательство 1]

Развитие идей Кантора [ править ]

Развитие, приведшее к статье Кантора 1874 года, проявляется в переписке между Кантором и Ричардом Дедекиндом . 29 ноября 1873 года Кантор спросил Дедекинда, может ли совокупность положительных целых чисел и совокупность положительных действительных чисел «соответствовать так, чтобы каждая особь одной коллекции соответствовала одной и только одной особи другой?» Кантор добавил, что коллекции, имеющие такое соответствие, включают в себя набор положительных рациональных чисел и коллекции вида ( a n 1 ,  n 2 , ...,  n ν ), где n 1 , n 2 ,. . . , n ν иν - натуральные числа. [19]

Дедекинд ответил, что не может ответить на вопрос Кантора, и сказал, что он «не заслуживает слишком больших усилий, потому что не представляет особого практического интереса». Дедекинд также прислал Кантору доказательство счетности множества алгебраических чисел. [20]

2 декабря Кантор ответил, что его вопрос действительно интересен: «Было бы хорошо, если бы на него можно было ответить; например, при условии, что на него можно было бы ответить« нет » , можно было бы получить новое доказательство теоремы Лиувилля о существовании трансцендентных чисел. " [21]

7 декабря Кантор отправил Дедекинду доказательство от противного, что множество действительных чисел неисчислимо. Кантор начинает с предположения, что действительные числа можно записать в виде последовательности. Затем он применяет конструкцию к этой последовательности, чтобы получить число , не входящее в последовательность, что противоречит его предположению. [22] Вместе буквы от 2 и 7 декабря дают неконструктивное доказательство существования трансцендентных чисел. [23] Кроме того, доказательство в письме Кантора от 7 декабря показывает некоторые рассуждения, которые привели к его открытию, что действительные числа образуют несчетное множество. [24]

Доказательство Кантора от 7 декабря 1873 г.

Доказательство проводится от противоречия и начинается с предположения, что действительные числа в можно записать в виде последовательности:

Возрастающая последовательность извлекается из этой последовательности, позволяя первому члену стать следующим по величине членом, следующим за следующим по величине членом,   и так далее. Та же процедура применяется к остальным членам исходной последовательности, чтобы извлечь другую возрастающую последовательность. Продолжая этот процесс извлечения последовательностей, можно увидеть, что последовательность может быть разложена на бесконечное множество последовательностей: [22]  

Позвольте быть интервал, такой, что ни один член последовательности (1) не лежит в нем. Например, пусть и удовлетворяет Тогда для так нет термина последовательности (1) лежит в [22]

Теперь рассмотрим, лежат ли члены других последовательностей вне. Все члены некоторых из этих последовательностей могут лежать вне, однако должна быть некоторая последовательность, такая, что не все ее члены лежат вне. В противном случае числа в не будут содержаться в последовательности, что противоречит исходная гипотеза. Пусть последовательность будет первой последовательностью, которая содержит член, и пусть будет первым термином. Так пусть и удовлетворяет условие Тогда это надмножество из (в символах, ). Кроме того, члены последовательностей  лежат за пределами [22]

Повторите приведенный выше аргумент, начиная с Пусть последовательность будет первой последовательностью, содержащей термин, и пусть будет первым термином. Так как let и удовлетворяют Then и члены последовательностей  лежат вне [22]

Видно, что можно сформировать бесконечную последовательность вложенных интервалов так , что: члены последовательности лежат вне членов последовательности лежат вне членов последовательности лежат снаружи [22]
      
      
      
      

Поскольку и являются ограниченными монотонными последовательностями , пределы и существуют. Кроме того , для всех означает Следовательно, существует по крайней мере одно число в который лежит во всех интервалах , а именно, может быть любое число Это означает , что лежит вне всех последовательностей , противоречащих первоначальную гипотезу о том, что последовательность содержит все действительные числа в Таким образом, набор всех действительных чисел неисчислим. [22]

Дедекинд получил доказательство Кантора 8 декабря. В тот же день Дедекинд упростил доказательство и отправил его по почте Кантору. Кантор использовал доказательство Дедекинда в своей статье. [25] Письмо, содержащее доказательство Кантора от 7 декабря, не было опубликовано до 1937 года. [26]

9 декабря Кантор объявил теорему, которая позволила ему построить трансцендентные числа, а также доказать несчетность множества действительных чисел:

Я показываю прямо, что если я начну с последовательности

(1)     ω 1 , ω 2 , ..., ω n , ...

Я могу определить в каждом заданном интервале [ α ,  β ] число η , которое не входит в (1). [27]

Это вторая теорема в статье Кантора. Это происходит от осознания того, что его конструкция может быть применена к любой последовательности, а не только к последовательностям, которые якобы перечисляют действительные числа. Итак, у Кантора был выбор между двумя доказательствами, демонстрирующими существование трансцендентных чисел: одно доказательство конструктивно, а другое - нет. Эти два доказательства можно сравнить, начав с последовательности, состоящей из всех действительных алгебраических чисел.

Конструктивное доказательство применяет конструкцию Кантора к этой последовательности и интервалу [ a ,  b ], чтобы получить трансцендентное число в этом интервале. [5]

Неконструктивное доказательство использует два доказательства от противного:

  1. Доказательство от противного используется для доказательства теоремы о несчетности (см. Доказательство теоремы Кантора о несчетности ).
  2. Доказательство от противного используется для доказательства существования трансцендентных чисел из счетности действительных алгебраических чисел и несчетности действительных чисел. Письмо Кантора от 2 декабря упоминает это доказательство существования, но не содержит его. Вот доказательство: предположим, что в [ a ,  b ] нет трансцендентных чисел . Тогда все числа в [ a ,  b ] алгебраические. Это означает, что они образуют подпоследовательность всех действительных алгебраических чисел, что противоречит теореме Кантора о несчетности. Таким образом, предположение об отсутствии трансцендентных чисел в [ a ,  b] ложно. Следовательно, в [ a ,  b ] есть трансцендентное число . [ЧАС]

Кантор решил опубликовать конструктивное доказательство, которое не только дает трансцендентное число, но также короче и позволяет избежать двух доказательств от противного. Неконструктивное доказательство из соответствия Кантора проще, чем приведенное выше, потому что оно работает со всеми действительными числами, а не с интервалом [ a ,  b ]. Это исключает шаг подпоследовательности и все вхождения [ a ,  b ] во втором доказательстве от противного. [5]

Заблуждение о работе Кантора [ править ]

Акихиро Канамори , специализирующийся на теории множеств, заявил, что «отчеты о работе Кантора в основном изменили порядок вывода о существовании трансцендентных чисел, установив сначала несчетность действительных чисел и только затем сделав вывод о существовании из счетности алгебраических чисел. В учебниках инверсия может быть неизбежной, но это породило неправильное представление о неконструктивности аргументов Кантора ». [29]

Как в опубликованном доказательстве Кантора, так и в доказательстве обратного порядка используется теорема: если дана последовательность вещественных чисел, можно найти вещественное число, которого нет в этой последовательности. Применив эту теорему к последовательности действительных алгебраических чисел, Кантор получил трансцендентное число. Затем он доказал, что действительные числа неисчислимы: предположим, что существует последовательность, содержащая все числа. Применение теоремы к этой последовательности дает вещественное число, не входящее в последовательность, что противоречит предположению, что последовательность содержит все действительные числа. Следовательно, реалы неисчислимы. [5]Доказательство в обратном порядке начинается с того, что сначала доказывается несчетность действительных чисел. Затем он доказывает, что трансцендентные числа существуют: если бы не было трансцендентных чисел, все действительные числа были бы алгебраическими и, следовательно, счетными, что противоречит только что доказанному. Это противоречие доказывает, что трансцендентные числа существуют, не создавая их. [29]

Оскар Перрон,     ок. 1948 г.

Переписка, содержащая неконструктивные рассуждения Кантора, была опубликована в 1937 году. К тому времени другие математики заново открыли его неконструктивное доказательство обратного порядка. Еще в 1921 году это доказательство называлось «доказательством Кантора» и критиковалось за то, что оно не дает никаких трансцендентных чисел. [30] В том же году Оскар Перрон дал доказательство обратного порядка, а затем заявил: «… Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел имеет, наряду с его простотой и элегантностью, большой недостаток, заключающийся в том, что оно является лишь доказательством существования; оно не позволяет нам на самом деле указать даже одно трансцендентное число ». [31] [I]

Авраам Френкель, между 1939 и 1949 годами.

Еще в 1930 году некоторые математики пытались исправить это неправильное представление о работе Кантора. В том же году теоретик множеств Абрахам Френкель заявил, что метод Кантора - это «… метод, который, кстати, вопреки широко распространенной интерпретации, является фундаментально конструктивным, а не просто экзистенциальным». [32] В 1972 году Ирвинг Каплански писал: «Часто говорят, что доказательство Кантора не« конструктивно »и поэтому не дает ощутимого трансцендентного числа. Это замечание не оправдано. Если мы составим определенный список всех алгебраических числа… а затем применить диагональную процедуру …, мы получаем совершенно определенное трансцендентное число (оно может быть вычислено до любого числа десятичных знаков) ».[33] [J]Доказательство Кантора не только конструктивно, но и проще, чем доказательство Перрона, которое требует первого доказательства того, что множество всех действительных чисел неисчислимо. [34]

Диагональный аргумент Кантора часто заменял его конструкцию 1874 года в изложении его доказательства. Диагональный аргумент конструктивен и дает более эффективную компьютерную программу, чем его конструкция 1874 года. С его помощью была написана компьютерная программа, которая вычисляет цифры трансцендентного числа за полиномиальное время . Программа, использующая конструкцию Кантора 1874 года, требует как минимум субэкспоненциального времени . [35] [K]

Изложение неконструктивного доказательства без упоминания конструктивного доказательства Кантора появляется в некоторых книгах, которые были весьма успешными, если судить по продолжительности появления новых изданий или переизданий, например: Irrationalzahlen Оскара Перрона (1921; 1960, 4-е издание), Eric « Люди математики» Темпл Белла (1937; все еще переиздаются), Годфри Харди и Э.М. Райта « Введение в теорию чисел» (1938; 6-е издание 2008 г.), Обзор современной алгебры Гарретта Биркгофа и Сондерса Мак Лейна (1941; 5-е издание 1997 г.) ) и исчисления Майкла Спивака (1967; 2008, 4-е издание). [36] [L] С 2014 года появилось по крайней мере две книги, в которых утверждается, что доказательство Кантора конструктивно, [37] и по крайней мере четыре появились, утверждая, что его доказательство не строит никакого (или единственного) трансцендентального. [38]

Утверждение, что Кантор дал неконструктивный аргумент, без упоминания конструктивного доказательства, которое он опубликовал, может привести к ошибочным утверждениям об истории математики . В «Обзоре современной алгебры» Биркгоф и Мак Лейн утверждают: «Аргумент Кантора в пользу этого результата [не каждое действительное число является алгебраическим] сначала был отвергнут многими математиками, так как он не показал какого-либо конкретного трансцендентного числа». [39] Доказательство, опубликованное Кантором, дает трансцендентные числа, и, похоже, нет никаких доказательств того, что его аргумент был отвергнут. Даже Леопольд Кронекер , имевший строгие взгляды на то, что допустимо в математике, и который мог отложить публикацию статьи Кантора, не откладывал это. [4]Фактически, применение конструкции Кантора к последовательности действительных алгебраических чисел приводит к ограничивающему процессу, который принял Кронекер, а именно, он определяет число с любой требуемой степенью точности. [M]

Влияние Вейерштрасса и Кронекера на статью Кантора [ править ]

Карл Вейерштрасс
Леопольд Кронекер, 1865 г.

Историки математики обнаружили следующие факты о статье Кантора «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»:

  • Теорема Кантора о несчетности была исключена из представленной им статьи. Добавил во время корректуры . [43]
  • Название статьи относится к набору вещественных алгебраических чисел. Основной темой в переписке Кантора было множество действительных чисел. [44]
  • Доказательство второй теоремы Кантора пришло от Дедекинда. Однако он опускает объяснение Дедекинда, почему существуют пределы a ∞ и b ∞ . [45]
  • Кантор ограничил свою первую теорему набором действительных алгебраических чисел. Доказательство, которое он использовал, демонстрирует счетность множества всех алгебраических чисел. [20]

Чтобы объяснить эти факты, историки указали на влияние бывших профессоров Кантора, Карла Вейерштрасса и Леопольда Кронекера. Кантор обсудил свои результаты с Вейерштрассом 23 декабря 1873 г. [46] Вейерштрасс сначала был поражен концепцией счетности, но затем нашел полезной счетность множества действительных алгебраических чисел. [47] Кантор еще не хотел публиковать, но Вейерштрасс чувствовал, что он должен опубликовать, по крайней мере, свои результаты, касающиеся алгебраических чисел. [46]

Из его переписки следует, что Кантор обсуждал свою статью только с Вейерштрассом. Однако Кантор сказал Дедекинду: «Ограничение, которое я наложил на опубликованную версию моих исследований, вызвано отчасти местными обстоятельствами…» [46] Биограф Кантора Йозеф Добен считает, что «местные обстоятельства» относятся к Кронекеру, который, как участник редакции Crelle's Journal отложил публикацию статьи 1870 года Эдуарда Гейне , одного из коллег Кантора. Кантор представит свою статью в Crelle's Journal . [48]

Вейерштрасс посоветовал Кантору убрать свою теорему о несчетности из статьи, которую он представил, но Вейерштрасс также сказал Кантору, что он может добавить ее в качестве заметки на полях во время корректуры, что он и сделал. [43] Об этом говорится в примечании в конце введения к статье . Здесь сыграли свою роль мнения Кронекера и Вейерштрасса. Кронекер не принимал бесконечные множества, и кажется, что Вейерштрасс не соглашался с тем, что два бесконечных множества могут быть такими разными, причем одно может быть счетным, а другое - нет. [49] Позже Вейерштрасс изменил свое мнение. [50]Без теоремы о несчетности статья нуждалась в названии, которое не относилось бы к этой теореме. Кантор выбрал «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen» («Об одном свойстве набора всех действительных алгебраических чисел»), который относится к счетности множества действительных алгебраических чисел, результат, который Вейерштрасс счел полезным. [51]

Влияние Кронекера проявляется в доказательстве второй теоремы Кантора. Кантор использовал версию доказательства Дедекинда, за исключением того, что он не упомянул, почему существуют пределы a ∞  = lim n  → ∞  a n и b ∞  = lim n  → ∞  b n . Дедекинд использовал свой «принцип непрерывности», чтобы доказать, что они существуют. Этот принцип (который эквивалентен свойству наименьшей верхней границы действительных чисел) исходит из конструкции вещественных чисел Дедекинда, конструкции, которую Кронекер не принял. [52]

Кантор ограничил свою первую теорему набором действительных алгебраических чисел, хотя Дедекинд прислал ему доказательство, которое рассматривало все алгебраические числа. [20] Кантор сделал это для объяснения причин и из-за «местных обстоятельств». [53] Это ограничение упрощает статью, поскольку вторая теорема работает с действительными последовательностями. Следовательно, конструкция второй теоремы может быть применена непосредственно к перечислению действительных алгебраических чисел для создания «эффективной процедуры вычисления трансцендентных чисел». Эта процедура была бы приемлема для Вейерштрасса. [54]

Вклад Дедекинда в статью Кантора [ править ]

Ричард Дедекинд,     ок. 1870 г.

С 1856 года Дедекинд разработал теории, включающие бесконечно много бесконечных множеств, например: идеалы , которые он использовал в алгебраической теории чисел , и сечения Дедекинда , которые он использовал для построения действительных чисел. Эта работа позволила ему понять и внести свой вклад в работу Кантора. [55]

Первый вклад Дедекинда касается теоремы о счетности множества действительных алгебраических чисел. Кантору обычно приписывают эту теорему, но историк математики Хосе Феррейрос назвал ее «теоремой Дедекинда». Их переписка показывает, какой вклад в теорему внес каждый математик. [56]

В своем письме, вводящем понятие счетности, Кантор без доказательства заявил, что множество положительных рациональных чисел счетно, как и множества вида ( a n 1 ,  n 2 , ...,  n ν ), где n 1 ,  n 2 , ...,  n ν и ν - натуральные числа. [57] Второй результат Кантора использует индексированное семейство чисел: набор формы ( a n 1 ,  n 2 , ...,  n ν ) является диапазоном функции из νиндексы к множеству действительных чисел. Его второй результат влечет его первый: пусть ν  = 2 и a n 1 ,  n 2  = п 1/п 2. Функция может быть довольно общей - например, a n 1 ,  n 2 ,  n 3 ,  n 4 ,  n 5  = (п 1/п 2)1/п 3 +  загар (п 4/п 5).

Дедекинд ответил доказательством теоремы о счетности множества всех алгебраических чисел. [20] В своем ответе Дедекинду Кантор не утверждал, что доказал результат Дедекинда. Он указал, как он доказал свою теорему об индексированных семействах чисел: «Ваше доказательство того, что ( n ) [набор натуральных чисел] может быть однозначно коррелирован с полем всех алгебраических чисел, примерно такое же, как и способ Я доказываю свое утверждение в последнем письме. Я беру n 1 2  +  n 2 2  + ··· +  n ν 2  =  и упорядочиваю элементы соответственно ». [58]Однако порядок Кантора слабее, чем порядок Дедекинда, и его нельзя распространить на наборы целых чисел, включающие нули. [59]

Второй вклад Дедекинда - это доказательство второй теоремы Кантора. Дедекинд отправил это доказательство в ответ на письмо Кантора, содержащее теорему о несчетности, которую Кантор доказал с помощью бесконечного числа последовательностей. Затем Кантор написал, что он нашел более простое доказательство, в котором не использовалось бесконечное количество последовательностей. [60] Итак, у Кантора был выбор доказательств, и он решил опубликовать доказательство Дедекинда. [61]

Кантор в частном порядке поблагодарил Дедекинда за его помощь: «… ваши комментарии (которые я высоко ценю) и ваша манера постановки некоторых пунктов очень помогли мне». [46] Однако он не упомянул помощь Дедекинда в своей статье. В предыдущих статьях он признал помощь, полученную от Кронекера, Вейерштрасса, Гейне и Германа Шварца . Неспособность Кантора упомянуть вклад Дедекинда испортила его отношения с Дедекиндом. Дедекинд перестал отвечать на свои письма и не возобновлял переписку до октября 1876 года. [62] [N]

Наследие статьи Кантора [ править ]

В статье Кантора вводятся теорема о несчетности и понятие счетности. Оба приведут к значительному развитию математики. Теорема о несчетности показала, что взаимно однозначные соответствия можно использовать для анализа бесконечных множеств. В 1878 году Кантор использовал их для определения и сравнения мощностей. Он также построил один-на-один соответствие , чтобы доказать , что п - мерные пространства R п (где R представляет собой множество действительных чисел) и множество иррациональных чисел имеют ту же мощность, что и R . [63] [O]

В 1883 году Кантор расширил положительные целые числа своими бесконечными ординалами . Это расширение было необходимо для его работы над теоремой Кантора – Бендиксона . Кантор открыл другие способы использования ординалов - например, он использовал наборы ординалов для создания бесконечного множества множеств, имеющих различные бесконечные мощности. [65] Его работа над бесконечными множествами вместе с теоретико-множественной работой Дедекинда создали теорию множеств. [66]

Концепция счетности привела к счетным операциям и объектам, которые используются в различных областях математики. Например, в 1878 году Кантор ввел счетные объединения множеств. [67] В 1890-х годах Эмиль Борель использовал счетные объединения в своей теории меры , а Рене Бэр использовал счетные ординалы для определения своих классов функций . [68] Основываясь на работах Бореля и Бэра, Анри Лебег создал свои теории меры и интеграции , которые были опубликованы с 1899 по 1901 год. [69]

Счетные модели используются в теории множеств. В 1922 годе Thoralf Skolem доказал , что если обычные аксиомы теории множеств являются последовательными , то они имеют счетную модель. Поскольку эта модель является счетной, ее набор действительных чисел является счетным. Это следствие называется парадоксом Сколема , и Сколем объяснил, почему оно не противоречит теореме Кантора о несчетности: хотя существует взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством положительных целых чисел, такое взаимно однозначное соответствие не является членом модели. Таким образом, модель считает свой набор действительных чисел несчетным, или, точнее, предложением первого порядка.это говорит о том, что набор действительных чисел неисчислим, верно в рамках модели. [70] В 1963 году Пол Коэн использовал счетные модели для доказательства своих теорем о независимости . [71]

См. Также [ править ]

  • Теорема кантора

Заметки [ править ]

  1. ↑ В письме к Дедекинду от 25 декабря 1873 года Кантор заявляет, что он написал и представил «небольшую статью» под названием « О свойстве множества всех действительных алгебраических чисел» . ( Noether & Cavaillès 1937 , стр. 17; английский перевод: Ewald 1996 , стр. 847.)
  2. ^ Это означает остаток теоремы - а именно, существует бесконечное множество чисел в [ с ,  Ь ], которые не содержатся в данной последовательности. Например, пустьбудет интервал и рассмотрим его подынтервалы. Поскольку эти подынтервалы попарно не пересекаются , применение первой части теоремы к каждому подинтервалу дает бесконечно много чисел, не содержащихся в данной последовательности. В общем, для интервалаприменим первую часть теоремы к подынтервалам
  3. ^ Кантор не доказывает эту лемму. В примечании для случая 2, он утверждаетчто х п вовсе не лежать внутри интервала [ в п ,  б п ]. [11] Это доказательство основано на его доказательстве 1879 года , которое содержит более сложное индуктивное доказательство, демонстрирующее несколько свойств порождаемых интервалов, включая доказанное здесь свойство.
  4. ^ Основное различие между доказательством Кантора и приведенным выше доказательством состоит в том, что он генерирует последовательность отрезков [ a n ,  b n ]. Чтобы найти a n  + 1 и b n  + 1 , он использует внутреннюю часть интервала [ a n ,  b n ], который является открытым интервалом ( a n ,  b n ). Генерация открытых интервалов сочетает в себе использование Кантором закрытых интервалов и их внутренней структуры, что позволяет диаграммам случаев отображать все детали доказательства.
  5. ^ Кантор не был первым, кто дал определение «всюду плотно», но его терминология была принята с или без «везде» (везде плотно: Архангельский и Федорчук 1990 , стр. 15; плотный: Келли 1991 , стр. 49). В 1870 году Герман Ганкель определил это понятие, используя другую терминологию: «Множество точек… заполняют отрезок, если в пределах отрезка, даже небольшого, не может быть дано никакого интервала, в котором нет хотя бы одной точки из этого множества» ( Феррейрос 2007 , стр.155 ). Ганкель основывался настатье Питера Густава Лежена Дирихле 1829 года, в которой содержится функция Дирихле , не ( Римана )интегрируемая функция , значение которой равно 0 для рациональных чисел и 1 для иррациональных чисел . ( Феррейрос 2007 , с. 149.)
  6. Перейти ↑ Перевод Cantor 1879 , p. 2: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α... Β), so kann der bemerkenswerthe Fall eintreten, dass jedes noch so kleine in (α... Β) enthaltene Intervall (γ... Δ) Punkte von P enthält . In einem solchen Falle wollen wir sagen, dass P im Intervalle (α... Β) überall-dicht sei.
  7. ^ Это доказывается путем создания последовательности точек, принадлежащих как P, так и ( c ,  d ). Так как Р плотно в [,  Ь ], то подинтервал ( с ,  d ) содержитпо меньшей мереодну точку х 1 из P . По предположению, подынтервал ( x 1 ,  d ) содержит хотя бы одну точку x 2 из P и x 2  >  x 1, поскольку x 2принадлежит этому подынтервалу. В общем, после генерации x n подынтервал (x n ,  d ) используется для генерации точки x n  + 1, удовлетворяющей x n  + 1  >  x n . Бесконечно много точек x n принадлежат как P, так и ( c ,  d ).
  8. ^ Начало этого доказательства вытекает из приведенного ниже доказательства путем ограничения его номеров интервалом [ a ,  b ] и использования подпоследовательности, поскольку Кантор использовал последовательности в своей работе 1873 года о счетности.
    Немецкий текст: Satz 68. Es gibt transzendente Zahlen.
    Gäbe es nämlich keine transzendenten Zahlen, so wären alle Zahlen algebraisch, das Kontinuum также identifyisch mit дер Menge Algebraischen Zahlen. Das ist aber unmöglich, weil die Mengealler algebraischen Zahlen abzählbar ist, das Kontinuum aber nicht.     [28]
    Перевод: Теорема 68. Есть трансцендентные числа.
    Если бы не было трансцендентных чисел, все числа были бы алгебраическими. Следовательно, континуумбудет идентично набору всех алгебраических чисел. Однако это невозможно, потому что множество всех алгебраических чисел счетно, а континуум - нет.
  9. ^ Под «доказательством Кантора» Перрон не подразумевает, что это доказательство, опубликованное Кантором. Скорее он имеет в виду, что доказательство использует только аргументы, опубликованные Кантором. Например, чтобы получить действительное число не в заданной последовательности, Перрон следует доказательству Кантора 1874 года, за исключением одной модификации: он использует диагональный аргумент Кантора 1891 года вместо своего аргумента вложенных интервалов 1874 года для получения действительного числа. Кантор никогда не использовал свой диагональный аргумент для опровержения своей теоремы. В этом случае и доказательство Кантора, и доказательство Перрона конструктивны, поэтому здесь не может возникнуть заблуждения. Затем Перрон модифицирует доказательство Кантора существования трансцендентального, приводя доказательство в обратном порядке. Это превращает конструктивное доказательство Кантора 1874 года в неконструктивное доказательство, которое приводит к неправильному представлению о работе Кантора.
  10. ^ Это доказательство такое же, как доказательство Кантора 1874 года, за исключением одной модификации: оно использует его диагональный аргумент 1891 года вместо аргумента вложенных интервалов 1874 года для получения действительного числа.
  11. ^ Программа, использующая диагональный метод, выдаетцифрыпоэтапно, в то время как программа, использующая метод 1874, требует как минимумшагов для полученияцифр. ( Грей, 1994 , стр. 822–823). O ( n 2 log 2 ⁡ n log ⁡ log ⁡ n ) {\displaystyle {\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)}
  12. ^ Начиная с книги Харди и Райта, эти книги связаны с книгой Перрона через их библиографии: книга Перрона упоминается в библиографии книги Харди и Райта, которая, в свою очередь, упоминается в библиографии книги Биркгофа и Мак Лейна и в библиографии книги Спивака. ( Харди и Райт, 1938 , с. 400; Биркгоф, Мак-Лейн, 1941 , с. 441; Спивак, 1967 , с. 515.)
  13. ^ Мнение Кронекера заключалось в следующем: «Определения должны содержать средства достижения решения за конечное число шагов, и должны проводиться доказательства существования так, чтобы рассматриваемая величина могла быть вычислена с любой требуемой степенью точности». [40] Таким образом, Кронекер принял аргумент Кантора как действительное доказательство существования, но он не принял бы его вывода о существовании трансцендентных чисел. Для Кронекера их не существует, потому что их определение не содержит средств для принятия решения за конечное число шагов, является ли данное число трансцендентным. [41] 1874 Конструкция Кантора вычисляет число в любой требуемой степенью точноститак: Учитывая K , п может быть вычислено такимчто б п- а n ≤1/kгде ( п ,  б п ) является п -го интервала строительства канторовского. Пример того, как это доказать, дан в Gray 1994 , p. 822. Диагональный аргумент Кантора обеспечивает точность 10 - n после вычисления n действительных алгебраических чисел, поскольку каждое из этих чисел порождает одну цифру трансцендентного числа. [42]
  14. ^ Феррейрос проанализировал отношения между Кантором и Дедекиндом. Он объясняет, почему «отношения между двумя математиками были трудными после 1874 года, когда у них произошел перерыв…» ( Ferreirós 1993 , pp. 344, 348–352).
  15. ^ Метод Кантора построения взаимно однозначное соответствие одному между множеством иррациональных чисел и R могут быть использованы для построения между множеством трансцендентных чисел и R . [64] Построение начинается с набора трансцендентных чисел T и удаляет счетное подмножество { t n } (например, t n =е/п). Пусть это множество будет T 0 . Тогда T  =   T 0  ∪ { t n } = T 0  ∪ { t 2 n - 1 } ∪ { t 2 n } и R  =  T  ∪ { a n } = T 0  ∪ { t n } ∪ { a n } где a n - последовательность действительных алгебраических чисел. Таким образом, и T, и R представляют собой объединение трех попарно непересекающихся множеств: T 0и два счетных множества. Взаимно однозначное соответствие между T и R задается функцией: g ( t ) = t, если t  ∈  T 0 , g ( t 2 n - 1 ) = t n и g ( t 2 n ) = a п .

Примечание к доказательству Кантора 1879 г. [ править ]

  1. ^ a b c d e f Поскольку доказательство Кантора не было опубликовано на английском языке, английский перевод дается вместе с оригинальным немецким текстом, взятым из Cantor 1879 , стр. 5–7. Перевод начинается на одно предложение перед доказательством, потому что в этом предложении упоминается доказательство Кантора 1874 года. Кантор утверждает, что это было напечатано в журнале Борхардта. Журнал Крелля также назывался Журналом Борхардта с 1856-1880 гг., Когда его редактировал Карл Вильгельм Борхардт ( Audin 2011 , p. 80). Квадратные скобки используются для обозначения этого упоминания более раннего доказательства Кантора, для пояснения перевода и для указания номеров страниц. Также " Mannichfaltigkeit«(многообразие) было переведено как« множество », а обозначение Кантора для замкнутых множеств (α... β) было переведено на [α, β]. Кантор изменил свою терминологию с Mannichfaltigkeit на Menge (set) в своей статье 1883 года, который ввел наборы порядковых чисел ( Kanamori 2012 , p. 5.) В настоящее время в математике многообразие является типом топологического пространства .
    английский переводНемецкий текст
    [Стр. 5]

     . . . Но это противоречит очень общей теореме, которую мы доказали со всей строгостью в журнале Borchardt's Journal, Vol. 77, стр. 260; а именно следующая теорема: «Если имеется просто [счетно] бесконечная последовательность ω 1 , ω 2 , ..., ω ν , ... действительных неравных чисел, которые действуют по некоторому правилу, то в каждом данном интервале [α, β] может быть указано число η (и, следовательно, бесконечно много из них), которое не встречается в этой последовательности (как ее член) ».
         
                

         Ввиду большого интереса к этой теореме не только в данном обсуждении, но и во многих других арифметических, а также аналитических соотношениях, возможно, будет не лишним, если мы разработаем аргумент, изложенный там [доказательство Кантора 1874 года], более ясно здесь с помощью с использованием упрощающих модификаций.

         Начиная с последовательностью:
                ω 1 , ω 2 ,. . . , Ш N , ,. . .
    (который мы даем [обозначим] символ (ω)) и произвольный интервал [α, β], где α <β, теперь мы покажем, что в этом интервале может быть найдено действительное число η, которое не встречается в ( ω).

         I. Сначала заметим, что если наше множество (ω) не всюду плотно в интервале [α, β], то внутри этого интервала должен присутствовать другой интервал [γ, δ], все номера которого не принадлежат (ω ). Тогда из интервала [γ, δ] можно выбрать любое число для η. Он лежит в интервале [α, β] и определенно не входит в нашу последовательность (ω). Таким образом, этот случай не представляет особого рассмотрения, и мы можем перейти к более сложному случаю.

         II. Пусть множество (ω) всюду плотно в интервале [α, β]. В этом случае каждый интервал [γ, δ], расположенный в [α, β], каким бы малым он ни был, содержит номера нашей последовательности (ω). Чтобы показать, что, тем не менее, существуют числа η в интервале [α, β], не входящие в (ω), воспользуемся следующим наблюдением.

         Поскольку некоторые числа в нашей последовательности:
                со 1 , со 2 ,. . . , Ш N , ,. . .

    [Страница 5]
     . . . Dem widerspricht aber ein sehr allgemeiner Satz, welchen wir in Borchardt's Journal, Bd. 77, стр. 260, mit Aller Strenge bewiesen haben, nämlich der folgende Satz:

         "Hat man eine einfach unendliche Reihe
                 ω 1 , ω 2 , ..., ω ν , ...
    von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle (α... Β)" ) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben, welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt. "

         В Anbetracht des grossen Interesses, welches sich an diesen Satz, nicht blos bei der gegenwärtigen Erörterung, sondern auch in vielen anderen sowohl arithmetischen, wie analytischen Beziehungen, knüpft, dürfteng düefolis düefolis, [18] , unter Anwendung vereinfachender Modificationen, hier deutlicher entwickeln.

         Унтер Zugrundelegung дер Райхе:
                ω 1 , ω 2 ,. . . , Ш N , ,. . .
    (welcher wir das Zeichen (ω) beilegen) und eines trustbigen Intervalles (α... β), wo α <β ist, soll также nun gezeigt werden, dass in diesem Intervalle eine reelle Zahl η gefunden werden kann, welche in (ω ) Nicht vorkommt.

         I. Wir bemerken zunächst, dass wenn unsre Mannichfaltigkeit (ω) в dem Intervall (α... Β) nicht überall-dicht ist, innerhalb dieses Intervalles ein anderes (γ... Δ) vorhanden sein muss, dessen Zahlen sämmtlich (ω) gehören; man kann alsdann für η irgend eine Zahl des Intervalls (γ... δ) wählen, sie liegt im Intervalle (α... β) und kommt sicher in unsrer Reihe (ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondere Umstände; унд цу Wir können дем schwierigeren übergehen.

         II. Die Mannichfaltigkeit (ω) sei im Intervalle (α... Β) überall-dicht . In diesem Falle enthält jedes, noch so kleine in (α... Β) gelegene Intervall (γ... Δ) Zahlen unserer Reihe (ω). Um zu zeigen, dass nichtsdestoweniger Zahlen η im Intervalle (α... Β) existiren, welche in (ω) nicht vorkommen, stellen wir die folgende Betrachtung an.

         Да в unserer Райхе:
                ω 1 , со 2 ,. . . , Ш N , ,. . .

    [Стр. 6]

    определенно встречается в интервале [α, β], одно из этих чисел должно иметь наименьший индекс, пусть это будет ω κ 1 , а другое: ω κ 2 со следующим большим индексом.

         Обозначим меньшее из двух чисел ω κ 1 , ω κ 2 через α ', большее - через β'. (Их равенство невозможно, потому что мы предполагали, что наша последовательность состоит только из неравных чисел.)

         Тогда по определению:
                α <α '<β' <β  , при этом
    :
                     κ 1  <κ 2  ;
    и все числа ω μ нашей последовательности, для которых μ ≤ κ 2 , не лежат внутри интервала [α ', β'], как сразу видно из определения чисел κ 1 , κ 2 . Аналогично, пусть ω κ 3 и ω κ 4 - два числа нашей последовательности с наименьшими индексами, которые попадают внутрь интервала [α ', β'], и пусть меньшее из чисел ω κ 3 , ω κ 4 обозначим через α '', большее через β ''.

         Тогда имеем:
                α '<α' '<β' '<β'  ,
                  κ 2  <κ 3  <κ 4  ;
    и видно, что все числа ω μ нашей последовательности, для которых μ ≤ κ 4 , не попадают внутрь интервала [α '', β ''].

         После того, как кто-то следовал этому правилу для достижения интервала [α (ν - 1) , β (ν - 1) ] , следующий интервал создается путем выбора первых двух (то есть с наименьшими индексами) номеров нашей последовательности (ω) ( пусть они будут ш х 2ν - 1 и ш х 2ν ) , которые попадают в интерьере из [& alpha ; (v - 1) , р (v - 1) ] . Обозначим меньшее из этих двух чисел через α (ν) , большее - через β (ν) .

         Тогда интервал [α (ν) , β (ν) ] лежит внутри всех предыдущих интервалов и имеет особую связь с нашей последовательностью (ω): все числа ω μ , для которых μ ≤ κ 2ν , определенно не лежат в его интерьере . Поскольку очевидно: κ 1 <κ 2 <κ 3 <. . . , Ш х 2ν - 2 <ш х 2ν - 1 <ш х 2ν ,. . . и эти числа, как индексы, являются целыми числами, поэтому: κ 2ν  ≥ 2ν ,
                 

                 
    а значит:
                ν <κ 2ν  ;
    таким образом, мы с уверенностью можем сказать (и этого достаточно для следующего):

         Если ν - произвольное целое число, [действительная] величина ω ν лежит вне интервала [α (ν)  . . . β (ν) ].

    [Seite 6]
    sicher Zahlen innerhalb des Intervalls (α... Β) vorkommen, so muss eine von diesen Zahlen den kleinsten Index haben, sie sei ω κ 1 , und eine andere: ω κ 2 mit dem nächst grösseren Index behavior sein.

         Die kleinere der beiden Zahlen ω κ 1 , ω κ 2 werde mit α ', die grössere mit β' bezeichnet. (Ihre Gleichheit ist ausgeschlossen, weil wir voraussetzten, dass unsere Reihe aus lauter ungleichen Zahlen besteht.)

         Es ist alsdann der Определение nach:
                α <α '<β' <β  ,
    ferner:
                     κ 1  <κ 2  ;
    und ausserdem ist zu bemerken, dass alle Zahlen ω μ unserer Reihe, für welche μ ≤ κ 2 , nicht im Innern des Intervalls (α '.. β') liegen, wie aus der Bestimmung der Zahlen κ 1 , κ 2 sofort erhellt . Ganz ebenso mögen ω κ 3 , ω κ 4 die beiden mit den kleinsten Indices versehenen Zahlen unserer Reihen [см. Примечание 1 ниже] sein, welche in das Innere des Intervalls (α '.. Β') fallen und die kleinere der Zahlen ω κ3 , ω κ 4 werde mit α '', die grössere mit β '' bezeichnet.

         Man hat alsdann:
                α '<α' '<β' '<β'  ,
                  κ 2  <κ 3  <κ 4  ;
    und man erkennt, dass all Zahlen ω μ unserer Reihe, für welche μ ≤ κ 4 nicht in das Innere des Intervalls (α ''... β '') упал.

         Nachdem man unter Befolgung des gleichen Gesetzes zu einem Intervall (α (ν - 1) ,... Β (ν - 1) ) желающий, ergiebt sich das folgende Intervall dadurch aus demselben, dass man die beiden ersten (dh mit niedrigsten Indices versehenen) Zahlen unserer Reihe (ω) aufstellt (sie seien ω κ 2ν - 1 и ω κ 2ν ), welche in das Innere von (α (ν - 1) ... β (ν - 1) ) упал; die kleinere dieser beiden Zahlen werde mit α (ν) , die grössere mit β (ν) bezeichnet.

         Das Intervall (α (ν)  ... Β (ν) ) liegt alsdann им Innern Aller vorangegangenen Intervalle унд шлет ца unserer Райи (со) умирает eigenthümliche Beziehung, Дассы Alle Zahlen ш ц , für Welche ц & le ; х 2ν Sicher Nicht в seinem Innern liegen. Да offenbar: κ 1 <κ 2 <κ 3 <. . . , Ш х 2ν - 2 <ш х 2ν - 1 <ш х 2ν ,. . .
                 

    und diese Zahlen, als Indices, ganze Zahlen sind, так ist:
                κ 2ν  ≥ 2ν  ,
    und daher:
                ν <κ 2ν  ;
    wir können daher, und dies ist für das Folgende ausreichend, gewiss sagen:

         Dass, wenn ν eine strictbige ganze Zahl ist, die Grösse ω ν ausserhalb des Intervalls (α (ν)  ... Β (ν) ) liegt.

    [Стр. 7]

         Поскольку числа α ', α' ', α' '',. . ., Α (ν) ,. . . непрерывно возрастают по значению, будучи одновременно заключенными в интервал [α, β], они имеют, согласно известной фундаментальной теореме теории величин [см. примечание 2 ниже], предел, который мы обозначим через A, так что : A = Lim α (ν) при ν = ∞.
                

         То же самое и с числами β ', β' ', β' '',. . ., Β (ν) ,. . ., которые непрерывно убывают и также лежат в интервале [α, β]. Мы называем их предел B, так что: B = Lim β (ν) при ν = ∞.
                

         Очевидно, что α (ν) <A ≤ B <β (ν) .
                

         Но легко видеть, что случай A <B здесь не может иметь место, поскольку в противном случае каждое число ω ν нашей последовательности лежало бы вне интервала [A, B], поскольку оно лежало вне интервала [α (ν) , β (ν ) ]. Таким образом, наша последовательность (ω) не будет всюду плотной в интервале [α, β] вопреки предположению.

         Таким образом, остается только случай А = В и теперь показано , что число:
                η = А = В
    это не происходит в нашей последовательности (со).

         Если бы это был член нашей последовательности, такой как ν th , тогда было бы: η = ω ν .

         Но последнее уравнение невозможно для любого значения ν, потому что η находится внутри интервала [α (ν) , β (ν) ], а ω ν лежит вне его.

    [Стр. 7]
         Da die Zahlen α ', α' ', α' '',. . ., Α (ν) ,. . . Ihrer Grosse ен fortwährend wachsen, Дабэй jedoch им Intervalle (α β...) eingeschlossen Синд, поэтому Haben Sie, нач Айнего bekannten Fundamentalsatze дер Grössenlehre, Eine Grenze, умирает Wir мит bezeichnen, так что Дассы: А = Лим & alpha ; (ν) если ν = ∞.
                

         Ein Gleiches gilt für die Zahlen β ', β' ', β' '',. . ., Β (ν) ,. . . Welche fortwährend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α... β) liegen; wir nennen ihre Grenze B, поэтому dass: B = Lim β (ν) für ν = ∞.
                

         Мужская шляпа offenbar: α (ν) <A ≤ B <β (ν) .
                

         Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A <B hier nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω ν , unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A ... B) liegen würde, indem ω ν , ausserhalb des Intervalls (α (ν) ... β (ν) ) gelegen ist; unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α... β) nicht überalldicht, gegen die Voraussetzung.

         Es bleibt daher nur der Fall A = B übrig und es zeigt sich nun, dass die Zahl: η = A = B in unserer Reihe (ω) nicht vorkommt.
                

         Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das ν te , so hätte man: η = ω ν .

         Die letztere Gleichung ist aber für keinen Werth von v möglich, weil η im Innern des Intervalls [α (ν) , β (ν) ], ω ν aber ausserhalb desselben liegt.

    Примечание 1: это единственное появление « unserer Reihen » («наши последовательности») в доказательстве. В доказательстве Кантора задействована только одна последовательность, и везде используется " Reihe " ("последовательность"), так что это, скорее всего, типографская ошибка, и она должна быть " unserer Reihe " ("наша последовательность"), как и переведено.

    Примечание 2: Grössenlehre , что было переведено как «теория величин», - это термин, используемый немецкими математиками 19 века и относящийся к теории дискретных и непрерывных величин. ( Ferreirós 2007 , стр. 41–42, 202).

Ссылки [ править ]

  1. ^ Dauben 1993 , стр. 4.
  2. ^ Gray 1994 , стр. 819-821.
  3. ^ а б Кантор 1874 . Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 840–843.
  4. ^ а б Грей 1994 , стр. 828.
  5. ^ a b c d e Cantor 1874 , стр. 259. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 840–841.
  6. Перейти ↑ Cantor 1874 , p. 259. Английский перевод: Gray 1994 , p. 820.
  7. Перейти ↑ Cantor 1878 , p. 242.
  8. ^ Грей 1994 , стр. 820.
  9. ↑ Cantor 1874 , стр. 259–260. Английский перевод: Ewald 1996 , p. 841.
  10. Перейти ↑ Cantor 1874 , pp. 260–261. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 841–842.
  11. ^ a b Cantor 1874 , стр. 261. Английский перевод: Ewald 1996 , p. 842.
  12. ^ Грей 1994 , стр. 822.
  13. ^ Havil 2012 , стр. 208-209.
  14. ^ Havil 2012 , стр. 209.
  15. ^ Левек 1956 , стр. 154-155.
  16. ^ Левек 1956 , стр. 174.
  17. Перейти ↑ Weisstein 2003 , p. 541.
  18. ↑ Архангельский и Федорчук 1990 , с. 16.
  19. ↑ Нётер и Кавай, 1937 , стр. 12–13. Английский перевод: Gray 1994 , p. 827; Эвальд 1996 , стр. 844.
  20. ^ a b c d Нётер и Кавай, 1937 , стр. 18. Английский перевод: Ewald 1996 , p. 848.
  21. ^ Нётер и Кавай, 1937 , стр. 13. Английский перевод: Gray 1994 , p. 827.
  22. ^ Б с д е е г Нётеровский & Cavaillès 1937 , стр. 14-15. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 845–846.
  23. ^ Грей 1994 , стр. 827
  24. ^ Dauben 1979 , стр. 51.
  25. ^ Нётер и Кавай, 1937 , стр. 19. Английский перевод: Ewald 1996 , p. 849.
  26. Перейти ↑ Ewald 1996 , p. 843.
  27. ^ Нётер и Кавай, 1937 , стр. 16. Английский перевод: Gray 1994 , p. 827.
  28. ^ Перрон 1921 , стр. 162.
  29. ^ а б Канамори 2012 , стр. 4.
  30. ^ Gray 1994 , стр. 827-828.
  31. ^ Перрон 1921 , стр. 162
  32. Перейти ↑ Fraenkel 1930 , p. 237. Английский перевод: Gray 1994 , p. 823.
  33. ^ Капланский 1972 , стр. 25.
  34. ^ Gray 1994 , стр. 829-830.
  35. ^ Gray 1994 , стр. 821-824.
  36. ↑ Bell 1937 , стр. 568–569; Харди и Райт 1938 , стр. 159 (6-е изд., С. 205–206); Биркгоф и Мак-Лейн, 1941 , стр. 392, (5-е изд., С. 436–437); Спивак, 1967 , с. 369–370 (4-е изд., С. 448–449).
  37. Перейти ↑ Dasgupta 2014 , p. 107; Шеппард, 2014 , стр. 131–132.
  38. ^ Джарвис 2014 , стр. 18; Чоудхари 2015 , стр. 19; Стюарт 2015 , стр. 285; Стюарт и Толл 2015 , стр. 333.
  39. Перейти ↑ Birkhoff & Mac Lane 1941 , p. 392, (5-е изд., С. 436–437).
  40. Перейти ↑ Burton 1995 , p. 595.
  41. ^ Dauben 1979 , стр. 69.
  42. ^ Грей 1994 , стр. 824.
  43. ^ а б Феррейрос 2007 , стр. 184.
  44. ↑ Нётер и Кавай, 1937 , стр. 12–16. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 843–846.
  45. ^ Dauben 1979 , стр. 67.
  46. ^ а б в г Нётер и Кавай, 1937 , стр. 16–17. Английский перевод: Ewald 1996 , p. 847.
  47. Перейти ↑ Grattan-Guinness 1971 , p. 124.
  48. ^ Dauben 1979 , стр. 67, 308-309.
  49. ^ Ferreiros 2007 , стр. 184-185, 245.
  50. ^ Ferreiros 2007 , стр. 185: Неясно, когда его отношение изменилось, но есть свидетельства того, что к середине 1880-х годов он принимал вывод о том, что бесконечные множества имеют разную мощность [мощности].
  51. ^ Ferreiros 2007 , стр. 177.
  52. ^ Dauben 1979 , стр. 67-68.
  53. ^ Ferreiros 2007 , стр. 183.
  54. ^ Ferreiros 2007 , стр. 185.
  55. ^ Ferreiros 2007 , стр. 109-111, 172-174.
  56. ^ Ferreiros 1993 , стр. 349-350.
  57. ↑ Нётер и Кавай, 1937 , стр. 12–13. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 844–845.
  58. ^ Нётер и Кавай, 1937 , стр. 13. Английский перевод: Ewald 1996 , p. 845.
  59. ^ Ferreiros 2007 , стр. 179.
  60. ↑ Noether & Cavaillès 1937 , стр. 14–16, 19. Английский перевод: Ewald 1996 , стр. 845–847, 849.
  61. ^ Ferreiros 1993 , стр. 358-359.
  62. ^ Ferreiros 1993 , стр. 350.
  63. ^ Кантор 1878 , стр. 245-254.
  64. Перейти ↑ Cantor 1879 , p. 4.
  65. ^ Ferreiros 2007 , стр. 267-273.
  66. ^ Ferreiros 2007 , стр. XVI, 320-321, 324.
  67. Перейти ↑ Cantor 1878 , p. 243.
  68. ^ Hawkins 1970 , стр. 103-106, 127.
  69. Перейти ↑ Hawkins 1970 , pp. 118, 120–124, 127.
  70. ^ Ferreiros 2007 , стр. 362-363.
  71. ↑ Коэн, 1963 , стр. 1143–1144.

Библиография [ править ]

  • Архангельский, А В; Федорчук, В.В. (1990), "Основные понятия и конструкции общей топологии", Архангельский, А.В. Понтрягин, Л.С. (ред.), Общая топология I , Нью-Йорк, Берлин: Springer-Verlag, стр. 1–90, ISBN 978-0-387-18178-3.
  • Audin, Michèle (2011), Вспоминая Софью Ковалевскую , Лондон: Springer, ISBN 978-0-85729-928-4.
  • Белл, Эрик Темпл (1937), Люди математики , Нью-Йорк: Саймон и Шустер, ISBN 978-0-671-62818-5.
  • Биркгоф, Гарретт; Мак-Лейн, Сондерс (1941), Обзор современной алгебры , Нью-Йорк: Макмиллан, ISBN 978-1-56881-068-3.
  • Бертон, Дэвид М. (1995), История математики Бертона (3-е изд.), Дубьюк, Айова: Уильям С. Браун, ISBN 978-0-697-16089-8.
  • Кантор, Георг (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1874 (77): 258–262, doi : 10.1515 / crll.1874.77.258 , S2CID  199545885.
  • Кантор, Георг (1878), «Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre» , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1878 (84): 242–258, doi : 10.1515 / crll.1878.84.242.
  • Кантор, Георг (1879), "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 1." , Mathematische Annalen (на немецком языке ), 15 : 1-7, DOI : 10.1007 / bf01444101 , S2CID  179177510.
  • Чоудхари, KR (2015), Основы дискретных математических структур (3-е изд.), Дели, Индия: PHI Learning, ISBN 978-81-203-5074-8.
  • Коэн, Пол Дж. (1963), «Независимость гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 50 (6): 1143–1148, Bibcode : 1963PNAS ... 50.1143C , DOI : 10.1073 / pnas.50.6.1143 , КУП  221287 , PMID  16578557.
  • Дасгупта, Абхиджит (2014), Теория множеств: Введение в наборы реальных точек , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-1-4614-8853-8.
  • Даубен, Джозеф (1979), Георг Кантор: его математика и философия бесконечности , Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета, ISBN 978-0-674-34871-4.
  • Даубен, Джозеф (1993), "Георг Кантор и битва за теорию трансфинитных множеств" (PDF) , Материалы 9-й конференции ACMS.
  • Эдвардс, Гарольд М. (1989), «Взгляды Кронекера на основы математики» , в Rowe, David E .; Макклири, Джон (ред.), История современной математики, том 1 , Нью-Йорк: Academic Press, стр.  67–77 , ISBN 978-0-12-599662-4 CS1 maint: discouraged parameter (link).
  • Эвальд, Уильям Б., изд. (1996), От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики, Том 2 , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850536-5.
  • Ferreiros, Хосе (1993), "Об отношениях между Георгом Кантором и Ричардом Дедекиндом", Historia Mathematica , 20 (4): 343-363, DOI : 10,1006 / hmat.1993.1030.
  • Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Базель: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-8349-7.
  • Френкель, Абрахам (1930), «Георг Кантор» , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 39 : 189–266.
  • Граттан-Гиннесс, Айвор (1971), «Переписка между Георгом Кантором и Филипом Журденом» , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 73 : 111–130 CS1 maint: discouraged parameter (link).
  • Серый, Роберт (1994), "Георг Кантор и трансцендентных чисел" (PDF) , American Mathematical Monthly , 101 (9): 819-832, DOI : 10,2307 / 2975129 , JSTOR  2975129 , MR  1300488 , Zbl  0827,01004.
  • Харди, Годфри; Райт, EM (1938), Введение в теорию чисел , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-921985-8.
  • Хэвил, Джулиан (2012), Иррациональные , Принстон, Оксфорд: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-16353-6.
  • Хокинс, Томас (1970), Теория интеграции Лебега , Мэдисон, Висконсин: University of Wisconsin Press, ISBN 978-0-299-05550-9 CS1 maint: discouraged parameter (link).
  • Джарвис, Фрейзер (2014), алгебраическая теория чисел , Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 978-3-319-07544-0.
  • Канамори, Акихиро (2012), «Теория множеств от Кантора до Коэна» (PDF) , в Gabbay, Dov M .; Канамори, Акихиро; Вудс, Джон Х. (ред.), « Наборы и расширения в двадцатом веке» , Амстердам, Бостон: Cambridge University Press, стр. 1–71, ISBN. 978-0-444-51621-3 CS1 maint: discouraged parameter (link).
  • Каплански, Ирвинг (1972), Теория множеств и метрические пространства , Бостон: Аллин и Бэкон, ISBN 978-0-8284-0298-9.
  • Келли, Джон Л. (1991), Общая топология , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-3-540-90125-9 CS1 maint: discouraged parameter (link).
  • Левек, Уильям Дж. (1956), Темы теории чисел , I , Чтение, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-486-42539-9 CS1 maint: discouraged parameter (link). (Перепечатано Dover Publications, 2002 г.)
  • Нётер, Эмми ; Кавай, Жан , ред. (1937), Briefwechsel Cantor-Dedekind (на немецком языке), Париж: Герман.
  • Перрон, Оскар (1921), Irrationalzahlen (на немецком языке), Лейпциг, Берлин: W. de Gruyter, OCLC  4636376.
  • Шеппард, Барнаби (2014), Логика бесконечности , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-1-107-67866-8.
  • Спивак, Майкл (1967), Исчисление , Лондон: WA Бенджамин, ISBN 978-0914098911.
  • Стюарт, Ян (2015), Теория Галуа (4-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0 CS1 maint: discouraged parameter (link).
  • Стюарт, Ян; Толл, Дэвид (2015), Основы математики (2-е изд.), Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-870644-1 CS1 maint: discouraged parameter (link).
  • Weisstein, Eric W. , ed. (2003), «Непрерывная дробь», Краткая энциклопедия математики CRC , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-347-0.