Аксиома определенности

В математике , то аксиома детерминированности (сокращенно AD ) является возможной аксиомой для теории множеств введено Яном Мицельскимом и Штейнгаузом в 1962 году , относится к некоторым из двух людей топологических игр длиной со . Состояния AD , что каждая игра из определенного типа является определено ; то есть у одного из двух игроков есть выигрышная стратегия .

Они мотивировали AD интересными следствиями и предположили, что AD может быть истинным в наименее естественной модели L (R) теории множеств, которая принимает только слабую форму аксиомы выбора (AC), но содержит все действительные и все порядковые числа . Некоторые последствия AD следуют из доказанных теорем ранее Стефана Банаха и Станиславом Мазур и Мортон Дэвис . Мычильские и Станислава Świerczkowski способствовало еще одно: AD означает , что все множества действительных чисел являются измеримыми по Лебегу . Позже Дональд А. Мартини другие доказали более важные следствия, особенно в описательной теории множеств . В 1988 году Джон Р. Стил и У. Хью Вудин завершили долгую линию исследований. Предполагая существование некоторых несчетных кардинальных чисел, аналогичных , они доказали исходную гипотезу Микельского и Штейнхауза о том, что AD истинна в L (R).${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Определенные типы игр [ править ]

Аксиома детерминированности относится к играм следующего вида конкретный: Рассмотрит подмножество А из бэровских со | ^со все бесконечными последовательностями из натуральных чисел . Два игрока, I и II , поочередно выбирают натуральные числа.

п ₀ , п ₁ , п ₂ , п ₃ , ...

После бесконечного количества ходов генерируется последовательность . Игрок I выигрывает игру , если и только если последовательность генерируется элемент A . Аксиома детерминированности - это утверждение, что все такие игры детерминированы.${\ Displaystyle (п_ {я}) _ {я \ в \ омега}}$

Не все игры требуют аксиомы детерминированности, чтобы доказать, что они детерминированы. Если множество является замкнутым , игра, по существу , конечная игра, и, следовательно , определяется. Аналогично, если A - замкнутое множество , то игра определяется. В 1975 году Дональд А. Мартин показал, что игры, в которых выигрышный набор является набором Бореля , определяются. Из существования достаточно больших кардиналов следует, что все игры с выигрышным множеством проективное множество определены (см. Проективная определенность ), и что AD выполняется в L (R) .

Аксиома детерминированности следует , что для любого подпространства X из действительных чисел , то игра Банаха-Мазура BM ( X ) определяется (и , следовательно , что каждый набор чисел имеет свойство Бэра ).

Несовместимость аксиомы детерминированности с аксиомой выбора [ править ]

Множество S1 всех стратегий первого игрока в ω-игре G имеет ту же мощность, что и континуум . То же верно и для множества S2 всех стратегий второго игрока. Отметим, что мощность множества SG всех возможных в G последовательностей также является континуумом. Пусть A будет подмножеством SG всех последовательностей, в которых выигрывает первый игрок. Используя аксиому выбора, мы можем упорядочить континуум; более того, мы можем сделать это таким образом, чтобы любая надлежащая начальная часть не имела мощности континуума. Мы создаем контрпример с помощью трансфинитной индукции на множестве стратегий при таком порядке:

Начнем с множества A undefined. Пусть T будет «временем», ось которого имеет континуум длины. Нам нужно рассмотреть все стратегии {s1 (T)} первого игрока и все стратегии {s2 (T)} второго игрока, чтобы убедиться, что для каждой стратегии существует стратегия другого игрока, которая выигрывает у нее. Для каждой рассматриваемой стратегии игрока мы сгенерируем последовательность, которая принесет другому игроку победу. Пусть t будет временем, ось которого имеет длину ℵ ₀ и которое используется во время каждой игровой последовательности.

1. Рассмотрим текущую стратегию {s1 (T)} первого игрока.
2. Пройдите всю игру, генерируя (вместе со стратегией первого игрока s1 (T)) последовательность {a (1), b (2), a (3), b (4), ..., a (t) , b (t + 1), ...}.
3. Решите, что эта последовательность не принадлежит A, т.е. s1 (T) потеряна.
4. Рассмотрим стратегию {s2 (T)} второго игрока.
5. Пройдите следующую всю игру, создав (вместе со стратегией второго игрока s2 (T)) последовательность {c (1), d (2), c (3), d (4), ..., c (t ), d (t + 1), ...}, убедившись, что эта последовательность отлична от {a (1), b (2), a (3), b (4), ..., a (t ), b (t + 1), ...}.
6. Решите, что эта последовательность принадлежит A, т.е. s2 (T) потеряна.
7. Продолжайте повторять дальнейшие стратегии, если таковые имеются, следя за тем, чтобы уже рассмотренные последовательности не генерировались снова. (Мы начинаем с набора всех последовательностей, и каждый раз, когда мы генерируем последовательность и опровергаем стратегию, мы проецируем сгенерированную последовательность на ходы первого игрока и на ходы второго игрока, и мы убираем две результирующие последовательности из нашего набора последовательностей.)
8. Для всех последовательностей, которые не обсуждались выше, произвольно решите, принадлежат ли они к A или к дополнению к A.

После того, как это было сделано у нас есть игра G . Если вы дадите мне стратегию s1, тогда мы рассмотрели эту стратегию в какой-то момент T = T (s1). В момент времени T мы решили, что результатом s1 будет потеря s1. Следовательно, эта стратегия терпит неудачу. Но это верно для произвольной стратегии; следовательно, аксиома определенности и аксиома выбора несовместимы.

Бесконечная логика и аксиома детерминированности [ править ]

В конце 20 века было предложено множество различных версий бесконечной логики . Одна из причин веры в аксиому детерминированности состоит в том, что ее можно записать следующим образом (в версии бесконечной логики):

${\ Displaystyle \ forall G \ substeq Seq (S):}$

${\displaystyle \forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\in G}$ ИЛИ ЖЕ

${\displaystyle \exists a\in S:\forall a'\in S:\exists b\in S:\forall b'\in S:\exists c\in S:\forall c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\notin G}$

Примечание: Seq ( S ) есть множество всех -последовательностей из S . Предложения здесь бесконечно длинные со счетным бесконечным списком кванторов, в которых появляются эллипсы.${\displaystyle \omega }$

Большие кардиналы и аксиома определенности [ править ]

Непротиворечивость аксиомы определенности тесно связана с вопросом о непротиворечивости больших кардинальных аксиом. По теореме Вудена согласованность теории множеств Цермело – Френкеля без выбора (ZF) вместе с аксиомой детерминированности эквивалентна согласованности теории множеств Цермело – Френкеля с выбором (ZFC) вместе с существованием бесконечного числа кардиналов Вудена . Поскольку кардиналы Вудена строго недоступны , если AD непротиворечиво, то также и бесконечное количество недоступных кардиналов.

Более того, если к гипотезе о бесконечном множестве кардиналов Вудена добавить существование измеримого кардинала, большего, чем все они, возникает очень сильная теория измеримых по Лебегу множеств действительных чисел, поскольку тогда можно доказать, что аксиома определенности истинно в L (R) , и поэтому каждый набор действительных чисел в L (R) определен.

См. Также [ править ]

• Аксиома действительной определенности (AD _R )
• Теорема Бореля об определенности
• Мера Мартина
• Топологическая игра

Ссылки [ править ]

• Мыцельски, Ян ; Штайнхаус, Гюго (1962). «Математическая аксиома, противоречащая аксиоме выбора». Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques and Physiques . 10 : 1–3. ISSN  0001-4117 . Руководство по ремонту  0140430 .
• Мыцельски, Ян ; Свержковский, Станислав (1964). «Об измеримости по Лебегу и аксиоме детерминированности». Фонд. Математика . 54 : 67–71.
• Вудин, У. Хью (1988). «Сверхкомпактные кардиналы, множества вещественных чисел и слабооднородные деревья» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 85 (18): 6587–6591. DOI : 10.1073 / pnas.85.18.6587 . PMC  282022 . PMID  16593979 .
• Мартин, Дональд А .; Стил, Джон Р. (январь 1989 г.). «Доказательство проективной определенности» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 2 (1): 71–125. DOI : 10.2307 / 1990913 . JSTOR  1990913 . Архивировано из оригинального (PDF) 30 апреля 2016 года.
• Jech, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Springer. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Канамори, Акихиро (2008). Высшее Бесконечное (2-е изд.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-88866-6.
• Мощовакис, Яннис Н. (2009). Описательная теория множеств (PDF) (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4813-5. Архивировано 12 ноября 2014 года.CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

Дальнейшее чтение [ править ]

• Филипп Роде, О расширениях аксиомы детерминации , Диссертация, Департамент математики, Боннский университет, Германия, 2001 г.
• Телгарски, Р. Дж. Топологические игры: к 50-летию игры Банах-Мазур , Скалистые горы J. Math. 17 (1987), стр. 227–276. (3,19 МБ)
• «Большие кардиналы и решительность» в Стэнфордской энциклопедии философии