Кронштейн (математика)

В математике , кронштейны различных типографских форм, таких как круглые скобки (), квадратные скобки [], скобки {} и угловые скобки ⟨⟩, часто используются в математических обозначений . ^[1] Как правило, такие скобки обозначают некоторую форму группирования: при оценке выражения, содержащего подвыражение в квадратных скобках, операторы в подвыражении имеют приоритет над окружающими его. Кроме того, у различных скобок есть несколько значений. ^[2]

Исторически сложилось так, что для группировки использовались и другие обозначения, такие как vinculum . В современном обиходе все эти обозначения имеют определенное значение. Самое раннее использование скобок для обозначения агрегирования (т. Е. Группирования) было предложено в 1608 году Кристофером Клавиусом и в 1629 году Альбертом Жираром . ^[3]

Символы для обозначения угловых скобок [ править ]

Для обозначения угловых скобок используются различные символы. В электронной почте и другом тексте ASCII для обозначения угловых скобок обычно используются знаки «меньше» <и «больше» >, поскольку в ASCII угловые скобки отсутствуют. ^[4]

Unicode имеет пары выделенных символов; кроме символов «меньше» и «больше», к ним относятся:

• U + 27E8 ⟨ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ угловая скобка и U + 27E9 ⟩ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРАВЫЙ УГОЛ ОПОРА
• U + 29FC ⧼КРОНШТЕЙН ИЗГОЛЕННОГО УГЛА ВЛЕВО и U + 29FD КРОНШТЕЙН ИЗГОЛЕННОГО УГЛА ВПРАВО
• U + 2991 ⦑КРОНШТЕЙН ЛЕВОГО УГЛА С ТОЧКОЙ и U + 2992⦒ КРОНШТЕЙН ПРАВОГО УГЛА С ТОЧКОЙ
• U + 27EA « МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛЕВЫЙ DOUBLE угловой скобка и U + 27EB » МАТЕМАТИЧЕСКОЕ RIGHT DOUBLE угловая скобка
• U + 2329 〈 УГЛОВОЙ КРОНШТЕЙН ВЛЕВО и U + 232A〉УГЛОВОЙ КРОНШТЕЙН ВПРАВО , которые не рекомендуются ^[5]

В LaTeX разметка \langleи \rangle: .${\displaystyle \langle \ \rangle }$

К нематематическим угловым скобкам относятся:

• U + 3008 〈 ЛЕВЫЙ УГЛОВОЙ КРОНШТЕЙН и U + 3009〉ПРАВЫЙ УГЛОВОЙ КРОНШТЕЙН , используемые в текстовых цитатах из Восточной Азии
• U + 276C ❬ СРЕДНЯЯ ЛЕВОЕ УГЛОВАЯ ОПОРА ОРНАМЕНТ и U + 276D ❭ СРЕДНИЙ ПРАВЫЙ УГЛОВАЯ ОПОРА ОРНАМЕНТ , которые являются дингбатами

Есть дополнительные дингбаты с увеличенной толщиной линии ^[6], а также некоторые угловые кавычки и устаревшие символы.

Алгебра [ править ]

В элементарной алгебре круглые скобки () используются для указания порядка операций . ^[2] Сначала оцениваются термины внутри скобок; следовательно, 2 × (3 + 4) равно 14, 20 ÷ (5 (1 + 1)) равно 2 и (2 × 3) + 4 равно 10. Это обозначение распространяется на более общую алгебру, включающую переменные: например, ( x + y ) × ( x - y ) . Квадратные скобки также часто используются вместо второго набора круглых скобок, когда они вложены друг в друга, чтобы обеспечить визуальное различие.

В математических выражениях в целом круглые скобки также используются для обозначения группировки (то есть, какие части принадлежат друг другу), когда это необходимо, чтобы избежать двусмысленности и улучшить ясность. Например, в формуле , используемой в определении композиции двух естественных преобразований , круглые скобки вокруг служат для обозначения того, что индексация по применяется к композиции , а не только к ее последнему компоненту .${\displaystyle (\varepsilon \eta )_{X}=\varepsilon _{Cod\,\eta _{X}}\eta _{X}}$${\displaystyle \varepsilon \eta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon \eta }$${\displaystyle \eta }$

Функции [ править ]

Аргументы функции часто окружены скобками: . Когда вероятность двусмысленности невелика, круглые скобки вокруг аргумента обычно опускают (например, ).${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \sin x}$

Координаты и векторы [ править ]

В декартовой системе координат скобки используются для указания координат точки. Например, (2,3) обозначает точку с координатой x 2 и координатой y 3.

Скалярное произведение двух векторов обычно записывается как , ^[1] , но обозначение ( , б также используется).${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

Интервалы [ править ]

Обе круглые скобки () и квадратные скобки [] также могут использоваться для обозначения интервала . ^[1] Обозначение используется для обозначения интервала от a до c, который включает - но не включает . То есть это будет набор всех действительных чисел от 5 до 12, включая 5, но не 12. Здесь числа могут быть сколь угодно близкими к 12, включая 11,999 и так далее (с любым конечным числом 9), но 12.0 не входит. ${\displaystyle [a,c)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle [5,12)}$

В некоторых европейских странах для этого также используется обозначение , и везде, где запятая используется в качестве десятичного разделителя , точка с запятой может использоваться в качестве разделителя, чтобы избежать двусмысленности (например, ). ^[7]${\displaystyle [5,12[}$${\displaystyle (0;1)}$

Конечная точка, примыкающая к квадратной скобке, называется закрытой , а конечная точка, примыкающая к скобке, называется открытой . Если оба типа скобок одинаковы, весь интервал может называться закрытым или открытым, в зависимости от ситуации. Всякий раз, когда бесконечность или отрицательная бесконечность используется в качестве конечной точки (в случае интервалов на прямой числовой прямой ), она всегда считается открытой и добавляется в круглые скобки. Конечная точка может быть закрыта при рассмотрении интервалов на расширенной линии действительных чисел .

Распространенным соглашением в дискретной математике является определение набора положительных целых чисел, меньших или равных . То есть соответствовал бы набору .${\displaystyle [n]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [5]}$${\displaystyle \{1,2,3,4,5\}}$

Наборы и группы [ править ]

Фигурные скобки {} используются для обозначения элементов набора . Например, { a , b , c } обозначает набор из трех элементов a , b и c .

Угловые скобки используются в теории групп и коммутативной алгебре для определения представлений групп и для обозначения подгруппы ^[8] или идеала, порожденного набором элементов.

Матрицы [ править ]

Явно заданная матрица обычно записывается в большие круглые или квадратные скобки:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}}\quad \quad {\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}}$

Производные [ править ]

Обозначение

${\displaystyle f^{(n)}(x)}$

обозначает n-ю производную функции f , примененную к аргументу x . Так, например, если , то . Это должно быть противопоставлено , в п - кратное применение F аргумент х .${\displaystyle f(x)=\exp(\lambda x)}$${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lambda ^{n}\exp(\lambda x)}$${\displaystyle f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))}$

Падение и повышение факториала [ править ]

Обозначение используется для обозначения падающего факториала , полинома n-й степени, определяемого формулой${\displaystyle (x)_{n}}$

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}.}$

В качестве альтернативы, то же обозначение может встречаться как представление возрастающего факториала , также называемого « символом Поххаммера ». Другое обозначение того же есть . Его можно определить как${\displaystyle x^{(n)}}$

${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}.}$

Квантовая механика [ править ]

В квантовой механике угловые скобки также используются как часть формализма Дирака , обозначения скобок , для обозначения векторов из двойственных пространств бюстгальтера  и кета  . ${\displaystyle \left\langle A\right|}$${\displaystyle \left|B\right\rangle }$

В статистической механике угловые скобки обозначают ансамбль или среднее значение по времени.

Кольца многочленов [ править ]

Квадратные скобки используются для обозначения переменной (переменных) в кольцах многочленов . Например, это кольцо многочленов с вещественными коэффициентами и переменной . ^{[9] [8]}${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$${\displaystyle x}$

Подкольцо, созданное элементом или коллекцией элементов [ править ]

Если является Подкольцо кольцевой B , а B представляет собой элемент B , то [ Ь ] обозначает подкольцо B , порожденную A и B . Это подкольцо состоит из всех элементов, которые могут быть получены, начиная с элементов A и b , повторным сложением и умножением; эквивалентно, это наименьшее подкольцо B, которое содержит A и b . Например, это наименьшее подкольцо C, содержащее все целые числа и${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-2}}]}$${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$; он состоит из всех чисел вида , где m и n - произвольные целые числа. Другой пример: это подкольцо Q , состоящее из всех рациональных чисел, знаменатель является степенью 2 .${\displaystyle m+n{\sqrt {-2}}}$${\displaystyle \mathbf {Z} [1/2]}$

В более общем смысле, если A является подкольцом кольца B , и , то обозначает подкольцо B, порожденное A и . Даже в более общем случае , если S является подмножеством B , то [ S ] является подкольцо B , порожденный A и S .${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$${\displaystyle A[b_{1},\ldots ,b_{n}]}$${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$

Скобка и коммутатор Ли [ править ]

В теории групп и теории колец квадратные скобки используются для обозначения коммутатора . В теории групп коммутатор [ g , h ] обычно определяется как g ⁻¹ h ⁻¹ gh . В теории колец коммутатор [ a , b ] определяется как ab - ba . Кроме того, фигурные скобки могут использоваться для обозначения антикоммутатора : { a , b } определяется как ab + ba .

Скобка Ли из алгебры Ли является бинарная операция обозначается . Используя коммутатор как скобку Ли, любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли. Есть много различных форм скобки Ли , в частности производной Ли и кронштейна Якоби-Ли .${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Функции пола / потолка и дробная часть [ править ]

Квадратные скобки, как и в [ π ] = 3 , иногда используется для обозначения функции пола , ^[8] , который округляет вещественное число до следующего целого числа. Соответственно, некоторые авторы используют направленные наружу квадратные скобки для обозначения функции потолка, как в ] π [= 4 . Однако функции пола и потолка обычно набираются с левыми и правыми квадратными скобками, где отображаются только нижняя (для функции пола) или верхняя (для функции потолка) горизонтальные полосы, как в π⌋ = 3 или ⌈π⌉ = 4 .

Скобы, как и в {П} < ¹ / ₇ , может обозначать дробную часть вещественного числа.

См. Также [ править ]

• Биномиальный коэффициент
• Скобочный полином
• Обозначение бюстгальтера
• Разделитель
• Язык Дайка
• Скобка Фрелихера – Нийенхейса
• Кронштейн Айверсона
• Скобка Нейенхейса – Ричардсона , также известная как алгебраическая скобка .
• Символ Поххаммера
• Скобка Пуассона
• Скобка Схоутена – Нийенхейса

Заметки [ править ]