В математике , особенно в области алгебры известна как теория групп , в подгруппу Фиттинга F из в конечной группы G , названный в честь Ганса Fitting , является уникальным по величине нормальная нильпотентная подгруппа из G . Интуитивно, она представляет собой самую маленькую подгруппу , которая «управляет» структуру G , когда G является разрешимым . Когда G неразрешима, аналогичную роль играет обобщенная подгруппа Фиттинга F *, Который порождается Место подгруппы и компоненты из G .
Для произвольного (не обязательно конечной) группы G , подгруппа Фиттинга определяются как подгруппа порождается нильпотентными нормальными подгруппами группы G . Для бесконечных групп подгруппа Фиттинга не всегда нильпотентна.
Остальная часть статьи посвящена исключительно конечным группам .
Подгруппа Фиттинга
Нильпотентность Фиттинга подгруппы конечной группы гарантируется фитинг теоремы , которая говорит о том , что произведение конечного набора нормальных нильпотентных подгрупп группы G снова нормальная нильпотентная подгруппа. Он также может быть явно построен как произведение р-ядра из G над всеми простыми числами р , делящей порядок G .
Если G конечная нетривиальная разрешимая группа, то подгруппа Фиттинга всегда нетривиальна, т.е. если G ≠ 1 конечно разрешима, то F ( G ) ≠ 1. Точно так же подгруппа Фиттинга группы G / F ( G ) будет нетривиальной, если сама G не является нильпотентной, что дает начало концепции длины Фиттинга . Поскольку подгруппа Фиттинга конечной разрешимой группы содержит свой собственный централизатор , это дает метод понимания конечных разрешимых групп как расширений нильпотентных групп с помощью точных групп автоморфизмов нильпотентных групп.
В нильпотентной группе каждый главный фактор централизован каждым элементом. Несколько ослабив условие и взяв подгруппу элементов общей конечной группы, которая централизует каждый главный фактор, можно просто снова получить подгруппу Фиттинга ( Huppert 1967 , Kap.VI, Satz 5.4, p.686):
Обобщение на p -нильпотентные группы аналогично.
Обобщенная подгруппа Фиттинга
Компонент группы является субнормальным квазипростой подгруппой. (Группа квазипроста, если она является совершенным центральным расширением простой группы.) Слой E ( G ) или L ( G ) группы - это подгруппа, порожденная всеми компонентами. Любые две компоненты группы коммутируют, поэтому слой является совершенным центральным расширением произведения простых групп и является наибольшей нормальной подгруппой группы G с такой структурой. Обобщенная подгруппа Фиттинга F * ( G ) - это подгруппа, порожденная слоем и подгруппой Фиттинга. Слой коммутирует с подгруппой Фиттинга, поэтому обобщенная подгруппа Фиттинга является центральным расширением произведения p -групп и простых групп .
Слой также является максимальной нормальной полупростой подгруппой, где группа называется полупростой, если она является совершенным центральным расширением произведения простых групп.
Это определение обобщенной подгруппы Фиттинга может быть мотивировано некоторыми из ее предполагаемых применений. Рассмотрим проблему попытки идентифицировать нормальную подгруппу H группы G, которая содержит собственный централизатор и группу Фиттинга. Если С -централизатор Н мы хотим доказать , что C содержится в H . Если нет, то выбрать минимальную характеристическую подгруппу M / Z (H) из C / Z (Н) , где Z (Н) является центром H , который является таким же , как пересечение C и H . Тогда M / Z ( H ) является произведением простых или циклических групп, поскольку он характерно прост. Если M / Z ( H ) - произведение циклических групп, то M должно быть в подгруппе Фиттинга. Если M / Z ( H ) является произведением неабелевых простых групп, то производная подгруппа M является нормальным полупростым отображением подгруппы на M / Z ( H ). Итак, если H содержит подгруппу Фиттинга и все нормальные полупростые подгруппы, то M / Z ( H ) должно быть тривиальным, поэтому H содержит свой собственный централизатор. Обобщенная подгруппа Фиттинга - это наименьшая подгруппа, которая содержит подгруппу Фиттинга и все нормальные полупростые подгруппы.
Обобщенную подгруппу Фиттинга можно также рассматривать как обобщенный централизатор главных факторов. Неабелева полупростая группа не может централизовать себя, но она действует как внутренние автоморфизмы. Группа называется квазинильпотентной, если каждый элемент действует как внутренний автоморфизм на каждом главном факторе. Обобщенная подгруппа Фиттинга является единственной наибольшей субнормальной квазинильпотентной подгруппой и равна множеству всех элементов, которые действуют как внутренние автоморфизмы на каждом главном факторе целой группы ( Huppert & Blackburn 1982 , глава X, теорема 5.4, с. 126):
Здесь элемент г в H C G ( H / K ) , если и только если существует некоторая ч в H , что для любого х в Н , х г ≡ х ч мод К .
Характеристики
Если G конечная разрешимая группа, то подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор. Центром подгруппы Фиттинга является центр подгруппы Фиттинга. В этом случае обобщенная подгруппа Фиттинга равна подгруппе Фиттинга. В более общем смысле, если G - конечная группа, то обобщенная подгруппа Фиттинга содержит свой собственный централизатор. Это означает, что в некотором смысле обобщенная подгруппа Фиттинга управляет G , поскольку G по модулю централизатора F * ( G ) содержится в группе автоморфизмов F * ( G ), а централизатор F * ( G ) содержится в F * ( G ). В частности, существует лишь конечное число групп с данной обобщенной подгруппой Фиттинга.
Приложения
Нормализаторы нетривиальных p -подгрупп конечной группы называются p -локальными подгруппами и в значительной степени контролируют структуру группы (позволяя то, что называется локальным анализом ). Конечная группа называется типом характеристики p, если F * ( G ) является p -группой для любой p -локальной подгруппы, потому что любая группа лиева типа, определенная над полем характеристики p, обладает этим свойством. При классификации конечных простых групп это позволяет угадать, над каким полем следует определить простую группу. Обратите внимание, что некоторые группы имеют характеристический p- тип более чем для одного p .
Если простая группа не лиева типа над полем данной характеристики p , то p -локальные подгруппы обычно имеют компоненты в обобщенной подгруппе Фиттинга, хотя есть много исключений для групп, которые имеют малый ранг, определены над небольшими полями, или носят спорадический характер. Это используется для классификации конечных простых групп, потому что, если p -локальная подгруппа имеет известный компонент, часто можно идентифицировать всю группу ( Aschbacher & Seitz 1976 ).
Анализ конечных простых групп с помощью структуры и вложения обобщенных подгрупп Фиттинга их максимальных подгрупп был начат Гельмутом Бендером ( Bender 1970 ) и стал известен как метод Бендера . Это особенно эффективно в исключительных случаях, когда компоненты или функторы сигнализатора неприменимы.
Рекомендации
- Ашбахер, Майкл (2000), Теория конечных групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
- Ашбахер, Майкл ; Зейтц, Гэри М. (1976), "О группах со стандартной компонентой известного типа", Osaka J. Math. , 13 (3): 439–482
- Бендеры, Гельмут (1970), "О группах с абелевым силовским 2-подгрупп", Mathematische Zeitschrift , 117 : 164-176, DOI : 10.1007 / BF01109839 , ISSN 0025-5874 , МР 0288180
- Хупперт, Б. (1967), Endliche Gruppen (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, Руководство по ремонту 0224703 , OCLC 527050
- Хупперт, Бертрам ; Блэкберн, Норман (1982), Конечные группы. III. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 243 , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10633-2, Руководство по ремонту 0650245