Функтор сигнализатора

В математике функтор сигнализатора дает пересечения потенциальной подгруппы конечной группы с централизаторами нетривиальных элементов абелевой группы. Теорема о функторе сигнализатора дает условия, при которых функтор сигнализатора происходит из подгруппы. Идея состоит в том, чтобы попытаться построить -подгруппу конечной группы , которая имеет хорошие шансы быть нормальной в , взяв в качестве генераторов некоторые -подгруппы централизаторов неединичных элементов в одной или нескольких заданных нециклических элементарных абелевых -подгруппах группы The Эта техника берет свое начало в теореме Фейта – Томпсона и впоследствии была развита многими людьми, в том числе${\ displaystyle p '}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p '}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G.}$Горенштейн (1969) , определивший сигнализирующие функторы, Глауберман (1976) , доказавший теорему о разрешимом сигнализаторе для разрешимых групп, и Макбрайд ( 1982a , 1982b ), который доказал ее для всех групп. Эта теорема необходима для доказательства так называемой «дихотомии», согласно которой данная неабелева конечная простая группа либо имеет локальную характеристику два, либо имеет компонентный тип. Таким образом, он играет важную роль в классификации конечных простых групп .

Определение [ править ]

Пусть быть непериодически элементарная абелева р - подгруппа конечной группы G. А-signalizer функтор на G или просто signalizer функтор , когда и G понятны отображение θ из множества неединичных элементов А к множеству A -инвариантные p ′ -подгруппы группы G, удовлетворяющие следующим свойствам:

• Для каждой неединичности группа содержится в${\ displaystyle a \ in A}$${\ Displaystyle \ тета (а)}$${\ displaystyle C_ {G} (а).}$
• Для каждого неидентичности мы имеем${\ displaystyle a, b \ in A}$${\ displaystyle \ theta (a) \ cap C_ {G} (b) \ substeq \ theta (b).}$

Второе условие выше называется условием баланса. Если подгруппы все разрешимы , то signalizer функтор сам называется разрешимой.${\ Displaystyle \ тета (а)}$${\ displaystyle \ theta}$

Теорема о разрешимом сигнализаторе о функторе [ править ]

Учитывая некоторые дополнительные, относительно мягкий, предположения позволяют доказать , что подгруппа из порождена подгруппами является фактически -подгруппой. Теорема о разрешимом сигнализаторе о функторе, доказанная Глауберманом и упомянутая выше, говорит, что это будет так, если она разрешима и имеет по крайней мере три генератора. Теорема также утверждает, что при этих предположениях сама будет разрешима.${\ displaystyle \ theta,}$${\ displaystyle W = \ langle \ theta (a) \ mid a \ in A, a \ neq 1 \ rangle}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ тета (а)}$${\ displaystyle p '}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W}$

Было доказано несколько более ранних версий теоремы: Горенштейн (1969) доказал это при более сильном предположении, имеющем ранг не менее 5. Гольдшмидт ( 1972a , 1972b ) доказал это при предположении, что оно имеет ранг не менее 4 или является 2-группой ранг не ниже 3. Бендер (1975) дал простое доказательство для 2-групп, используя теорему ZJ , и доказательство в аналогичном духе было дано для всех простых чисел Флавеллом (2007) . Глауберман (1976) дал окончательный результат для решаемых функторов сигнализаторов. Используя классификацию конечных простых групп, Макбрайд ( 1982a , 1982b ) показал, что${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W}$является -группой без предположения о разрешимости.${\ displaystyle p '}$${\ displaystyle \ theta}$

Полнота [ править ]

Терминология полноты часто используется при обсуждении функторов сигнализаторов. Пусть будет signalizer функтор , как описаны выше, и рассмотрит множество И все -инвариантные -подгруппы из удовлетворяющих следующего условия:${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$

• ${\ Displaystyle H \ крышка C_ {G} (а) \ substeq \ theta (а)}$ для всех неидентичности ${\ displaystyle a \ in A.}$

Например, подгруппы принадлежат И по условию баланса. Функтор сигнализатора называется полным, если И имеет единственный максимальный элемент, упорядоченный по включению. В этом случае единственный максимальный элемент может быть показано , что совпадает с выше, и называется завершение в . Если полно и оказывается разрешимым, то называется разрешимо полным.${\ Displaystyle \ тета (а)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ theta}$

Таким образом, теорему о разрешимом сигнализаторе можно перефразировать, сказав, что если имеется по крайней мере три генератора, то каждый разрешимый функтор -сигнализатор на является разрешимо полным.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle G}$

Примеры функторов сигнализатора [ править ]

Самый простой способ получить signalizer функтор, чтобы начать с -инвариантными -подгруппами из и определить для всех нетождественности На практике, однако, одна начинается с и использует его , чтобы построить инвариантную -группу.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p '}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle G,}$${\ Displaystyle \ тета (а) = М \ крышка C_ {G} (а)}$${\ displaystyle a \ in A.}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p '}$

Самый простой функтор сигнализатора, используемый на практике, таков:${\displaystyle \theta (a)=O_{p'}(C_{G}(a)).}$

Здесь необходимо несколько слов предостережения. Во-первых, обратите внимание, что, как определено выше, действительно является -инвариантной -подгруппой, поскольку является абелевой. Однако необходимы некоторые дополнительные предположения, чтобы показать, что это удовлетворяет условию баланса. Одним из достаточных критериев является то, что для каждой неединичности группа разрешима (или -разрешима, или даже -ограничена). Проверка условия баланса при этом предположении требует известной леммы, известной как -лемма Томпсона . (Обратите внимание, что эта лемма также называется -леммой Томпсона , но ее не следует путать с появлением в определении функтора сигнализатора!)${\displaystyle \theta (a)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle C_{G}(a)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle P\times Q}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Совместное действие [ править ]

Чтобы лучше понять функторы сигнализаторов, важно знать следующий общий факт о конечных группах:

• Пусть - абелева нециклическая группа, действующая на конечной группе. Предположим, что порядки групп и взаимно просты. потом${\displaystyle E}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\langle C_{X}(E_{0})\mid E_{0}\subseteq E,{\text{ and }}E/E_{0}{\text{ cyclic }}\rangle }$

Для доказательства этого факта используется теорема Шура – ​​Цассенхауза, чтобы показать, что для каждого простого делителя порядка группы существует -инвариантная силовская -подгруппа. Это сводится к случаю, когда - группа. Затем рассуждение по индукции по порядку сводит утверждение к случаю, когда является элементарным абелевым действием с неприводимым действием. Это заставляет группу быть циклической, и результат следует. Подробности см. В книгах Aschbacher (2000) или Kurzweil & Stellmacher (2004) .${\displaystyle q}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E/C_{E}(X)}$

Это используется как в доказательстве, так и в приложениях теоремы о разрешимом сигнализаторе о функторе. Для начала обратите внимание, что это быстро подразумевает утверждение, что если оно завершено, то его завершением является группа, определенная выше.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle W}$

Нормальное завершение [ править ]

Завершение функтора сигнализатора имеет "хорошие шансы" быть нормальным, согласно верхней части статьи. В данном случае для обоснования этого утверждения будет использован факт взаимного действия. Пусть - функтор полного -сигнализатора на${\displaystyle G,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$

Позвольте быть нециклической подгруппой Тогда факт взаимно простого действия вместе с условием баланса влечет, что .${\displaystyle B}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle W=\langle \theta (a)\mid a\in A,a\neq 1\rangle =\langle \theta (b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle }$

Чтобы убедиться в этом, заметим , что из - за это B -инвариантным, мы имеем${\displaystyle \theta (a)}$

${\displaystyle \theta (a)=\langle \theta (a)\cap C_{G}(b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle \subseteq \langle \theta (b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle .}$

В приведенном выше равенстве используется факт взаимного простого действия, а в содержании - условие баланса. Теперь часто бывает, что удовлетворяет условию "эквивариантности", а именно, что для каждого и неединичного${\displaystyle \theta }$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle a\in A}$

${\displaystyle \theta (a^{g})=\theta (a)^{g}.\,}$

Верхний индекс обозначает сопряжение. Например, отображение (которое часто является функтором сигнализатора!) Удовлетворяет этому условию. Если удовлетворяет эквивариантность, то нормализатор будет нормализован. Отсюда следует, что если порождается нормализаторами нециклических подгрупп группы, то пополнение (т.е. W) нормально в${\displaystyle g.}$${\displaystyle a\mapsto O_{p'}(C_{G}(a))}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle B}$${\displaystyle W.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle G.}$

Ссылки [ править ]

• Ашбахер, Майкл (2000), Теория конечных групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
• Бендеры, Helmut (1975), "Теорема Гольдшмидт 2-signalizer функтор", Израиль Журнал математики , 22 (3): 208-213, DOI : 10.1007 / BF02761590 , ISSN  0021-2172 , MR  0390056
• Флэйвелл, Пол (2007), Новое доказательство теоремы о решаемом сигнализаторе о функторе (PDF) , заархивировано из оригинального (PDF) на 2012-04-14
• Гольдшмидт, Дэвид М. (1972а), "Решаемые signalizer функторы на конечных группах", журнал алгебры , 21 : 137-148, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (72) 90040-3 , ISSN  0021-8693 , МР  0297861
• Гольдшмидт, Дэвид М. (1972b), "2-signalizer функторы на конечных группах", журнал алгебры , 21 : 321-340, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (72) 90027-0 , ISSN  0021-8693 , МР  0323904
• Глауберман, Джордж (1976), "О разрешимых сигнализаторах в конечных группах", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 33 (1): 1–27, doi : 10.1112 / plms / s3-33.1.1 , ISSN  0024 -6115 , Руководство по ремонту  0417284
• Горенштейны, Д. (1969), "О центратор инволюций в конечных группах", журнал алгебра , 11 : 243-277, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (69) 90056-8 , ISSN  0021-8693 , МР  0240188
• Курцвейл, Ганс; Штельмахер Бернд (2004), Теория конечных групп , Universitext, Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / b97433 , ISBN 978-0-387-40510-0, MR  2014408
• McBride, Патрик Пасхальное (1982a), "Рядом решаемые signalizer функторы конечных групп" (PDF) , журнал Алгебра , 78 (1): 181-214, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (82) 90107-7 , ISSN  0021 -8693 , Руководство по ремонту  0677717
• McBride, Патрик ПАСХАЛЬНЫЙ (1982b), "неразрешимое signalizer функторы на конечных группы", журнал алгебра , 78 (1): 215-238, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (82) 90108-9 , ЛВП : 2027,42 / 23876 , ISSN  0021-8693