В математике изучаются многие типы алгебраических структур . Абстрактная алгебра - это в первую очередь изучение конкретных алгебраических структур и их свойств. Алгебраические структуры можно рассматривать по-разному, однако общая отправная точка текстов по алгебре состоит в том, что алгебраический объект включает один или несколько наборов с одной или несколькими бинарными операциями или унарными операциями, удовлетворяющими набору аксиом .
Другой раздел математики, известный как универсальная алгебра, изучает алгебраические структуры в целом. С точки зрения универсальной алгебры, большинство структур можно разделить на разновидности и квазимногообразия в зависимости от используемых аксиом. Некоторые аксиоматические формальные системы , которые не являются ни многообразиями, ни квазимногообразиями, называемые не- многообразиями , иногда по традиции включаются в число алгебраических структур.
Конкретные примеры каждой структуры можно найти в перечисленных статьях.
Сегодня алгебраических структур так много, что эта статья неизбежно будет неполной. В дополнение к этому, иногда существует несколько имен для одной и той же структуры, а иногда одно имя будет определяться несогласованными аксиомами разных авторов. Большинство структур, представленных на этой странице, будут обычными, с чем согласны большинство авторов. Другие веб-списки алгебраических структур, организованные более или менее в алфавитном порядке, включают Jipsen и PlanetMath. Эти списки упоминают многие структуры, не включенные ниже, и могут содержать больше информации о некоторых структурах, чем представлено здесь.
Изучение алгебраических структур
Алгебраические структуры появляются в большинстве разделов математики, и их можно встретить по-разному.
- Начало обучения: в американских университетах группы , векторные пространства и поля обычно являются первыми структурами, встречающимися в таких предметах, как линейная алгебра . Обычно они вводятся как наборы с определенными аксиомами.
- Углубленное изучение:
- Абстрактная алгебра изучает свойства конкретных алгебраических структур.
- Универсальная алгебра изучает алгебраические структуры абстрактно, а не конкретные типы структур.
- Теория категорий изучает взаимосвязь между различными структурами, алгебраическими и неалгебраическими. Для изучения неалгебраического объекта часто бывает полезно использовать теорию категорий, чтобы связать объект с алгебраической структурой.
- Пример: фундаментальная группа из топологического пространства дает информацию о топологическом пространстве.
Типы алгебраических структур
Вообще говоря, алгебраическая структура может использовать любое количество множеств и любое количество аксиом в своем определении. Однако наиболее часто изучаемые структуры обычно включают только один или два набора и одну или две бинарные операции . Приведенные ниже структуры организованы по количеству задействованных наборов и использованию бинарных операций. Увеличенный отступ предназначен для обозначения более экзотической структуры, а уровни с наименьшим отступом являются самыми основными.
Одна бинарная операция на одном наборе
Групповые структуры | |||||
---|---|---|---|---|---|
Целостность α | Ассоциативность | Личность | Обратимость | Коммутативность | |
Полугрупоидный | Ненужный | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Малая категория | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Группоид | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Магма | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Квазигруппа | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Обязательный | Ненужный |
Единичная магма | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Петля | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Полугруппа | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Обратная полугруппа | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Ненужный |
Моноид | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Коммутативный моноид | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Обязательный |
Группа | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Абелева группа | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный |
^ α Замыкание, которое используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной тотальности, хотя и определяется по-другому. |
Следующие структуры состоят из набора с бинарной операцией. Наиболее распространенная структура - это группа . Другие структуры включают ослабление или усиление аксиом для групп и могут дополнительно использовать унарные операции.
- Группы - это ключевые структуры. Абелевы группы - важный особый тип групп.
- полугруппы и моноиды : они похожи на группы, за исключением того, что операция не требует обратных элементов.
- квазигруппы и петли : они похожи на группы, за исключением того, что операция не обязательно должна быть ассоциативной.
- Магмы : они похожи на группы, за исключением того, что операция не обязательно должна быть ассоциативной или иметь обратные элементы.
- Полурешетка : это в основном «половина» решетчатой структуры (см. Ниже).
Две бинарные операции на одном наборе
Основными типами структур с одним набором, имеющим две бинарные операции, являются кольца и решетки . Аксиомы, определяющие многие другие структуры, являются модификациями аксиом для колец и решеток. Одно из основных различий между кольцами и решетками заключается в том, что их две операции по-разному связаны друг с другом. В кольцевых структурах две операции связаны законом распределения ; в решетчатых структурах операции связаны законом поглощения .
- Кольца : эти две операции обычно называют сложением и умножением. Коммутативные кольца - особенно важный тип колец, в котором операция умножения коммутативна. Целочисленные области и поля - особенно важные типы коммутативных колец.
- Неассоциативные кольца : они похожи на кольца, но операция умножения не обязательно должна быть ассоциативной.
- Кольца Ли и жордановы кольца являются частными примерами неассоциативных колец.
- полукольца : они похожи на кольца, но операция сложения не обязательно должна иметь обратные.
- nearrings : они похожи на кольца, но операция сложения не обязательно должна быть коммутативной.
- * -кольца : это кольца с дополнительной унарной операцией, известной как инволюция .
- Неассоциативные кольца : они похожи на кольца, но операция умножения не обязательно должна быть ассоциативной.
- Решетки : эти две операции обычно называют встречей и соединением .
- Latticoid : встречаются и присоединиться к коммутируют , но не нужно ассоциировать .
- Скошенная решетка : встретиться и присоединиться к партнеру, но не обязательно ездить на работу.
Две бинарные операции и два набора
Следующие структуры имеют общую особенность , имеющие два множества, A и B , так что существует бинарная операция из A × A в A , и другая операция из A × B в A .
- Векторные пространства : множество A - абелева группа, а множество B - поле .
- Градуированные векторные пространства : векторные пространства, которые снабжены разложением прямой суммы на подпространства.
- Модули : множество A - абелева группа, но B - только общее кольцо и не обязательно поле.
- Специальные типы модулей, включая свободные модули , проективные модули , инъективные модули и плоские модули , изучаются в абстрактной алгебре.
- Группа с операторами : в этом случае набор A является группой, а набор B - просто набором.
Три бинарных операции и два набора
Многие структуры здесь на самом деле являются гибридными структурами ранее упомянутых.
- Алгебра над полем : это кольцо, которое также является векторным пространством над полем. Существуют аксиомы, регулирующие взаимодействие двух структур. Умножение обычно считается ассоциативным.
- Алгебра над кольцом : они определены так же, как алгебры над полями, за исключением того, что теперь поле может быть любым коммутативным кольцом.
- Градуированная алгебра : эти алгебры снабжены разбиением на классы .
- Неассоциативные алгебры : это алгебры, для которых ассоциативность умножения колец ослаблена.
- Алгебры Ли и йордановы алгебры являются частными примерами неассоциативных алгебр.
- Коалгебра : эта структура имеет аксиомы, которые делают ее умножение двойным по отношению к таковым в ассоциативной алгебре.
- Биалгебра : эти структуры являются одновременно алгебрами и коалгебрами, операции которых совместимы. На самом деле для этой структуры есть четыре операции.
Алгебраические структуры с дополнительной неалгебраической структурой
Есть много примеров математических структур, в которых алгебраическая структура существует наряду с неалгебраической структурой.
- Топологические векторные пространства - это векторные пространства с совместимой топологией .
- Группы Ли : это топологические многообразия, которые также несут совместимую групповую структуру.
- Упорядоченные группы , упорядоченные кольца и упорядоченные поля имеют алгебраическую структуру, совместимую с порядком на множестве.
- Алгебры фон Неймана : это * -алгебры в гильбертовом пространстве , наделенные слабой операторной топологией .
Алгебраические структуры в разных дисциплинах
Некоторые алгебраические структуры находят применение в дисциплинах за пределами абстрактной алгебры. Следующее предназначено для демонстрации некоторых конкретных приложений в других областях.
По физике :
- Группы Ли широко используются в физике. Несколько хорошо известных включают ортогональные группы и унитарные группы .
- Алгебры Ли
- Внутренние пространства продукта
- Алгебра Каца – Муди
- В кватернионах и более обычно геометрические алгебры
В математической логике :
- Булевы алгебры являются одновременно кольцами и решетками в соответствии с их двумя операциями.
- Алгебры Гейтинга - частный пример булевых алгебр.
- Арифметика Пеано
- Граничная алгебра
- MV-алгебра
В информатике :
- Макс-плюс алгебра
- Синтаксический моноид
- Переходный моноид
Смотрите также
- Абстрактная алгебра
- Схема абстрактной алгебры
- Универсальная алгебра
- Разнообразие (универсальная алгебра)
- Линейная алгебра
- Очерк линейной алгебры
- Артистия
- Теория категорий
- Бесплатный объект
- Операция (математика)
- Подпись (логика)
- Теории первого порядка
- Математические списки
Заметки
Рекомендации
- Гаррет Биркгоф , 1967. Теория решеток , 3-е изд., AMS Colloquium Publications Vol. 25. Американское математическое общество.
- ———, и Сондерс Маклейн , 1999 (1967). Алгебра , 2-е изд. Нью-Йорк: Челси.
- Джордж Булос и Ричард Джеффри , 1980. Вычислимость и логика , 2-е изд. Cambridge Univ. Нажмите.
- Даммит, Дэвид С., Фут, Ричард М., 2004. Абстрактная алгебра , 3-е изд. Джон Уайли и сыновья.
- Гретцер, Джордж, 1978. Универсальная алгебра , 2-е изд. Springer.
- Дэвид К. Льюис , 1991. Часть занятий . Блэквелл.
- Мишель, Энтони Н. и Херже, Чарльз Дж., 1993 (1981). Прикладная алгебра и функциональный анализ . Дувр.
- Поттер, Майкл, 2004. Теория множеств и ее философия , 2-е изд. Oxford Univ. Нажмите.
- Smorynski, Craig, 1991 Логическая теория чисел я . Springer-Verlag.
Монография доступна бесплатно в Интернете:
- Беррис, Стэнли Н., и HP Sankappanavar, HP, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .
Внешние ссылки
- Джипсен:
- Алфавитный список структур алгебры; включает многие, не упомянутые здесь.
- Интернет-книги и конспекты лекций.
- Карта содержит около 50 построек, некоторые из которых не показаны выше. Точно так же большинство вышеперечисленных структур отсутствуют на этой карте.
- Указатель тем PlanetMath .
- Hazewinkel, Michiel (2001) Энциклопедия математики. Springer-Verlag.
- Страница Mathworld по абстрактной алгебре.
- Стэнфорд энциклопедия философии : Алгебра по Vaughan Pratt .