В математике , A 2-значной морфизм [1] является гомоморфизм , который посылает булеву алгебру B на двухэлементной булевой алгебре 2 = {0,1}. Это, по существу , то же самое, что и ультрафильтрации на B , и, по-другому, а также одни и те же вещи , как максимальный идеал в B. 2-значных морфизмов также были предложены в качестве инструмента для унификации языка физики. [2]
2-значные морфизмы, ультрафильтры и максимальные идеалы
Предположим, что B - булева алгебра.
- Если ы : B → 2 представляет собой 2-значные морфизмы, то множество элементов B , которые посылаются к 1 ультрафильтру на B , и множество элементов B , которые отправляются в 0 является максимальным идеалом B .
- Если U - ультрафильтр на B , то дополнение к U является максимальным идеалом B , и существует ровно один двузначный морфизм s : B → 2 , переводящий ультрафильтр в 1, а максимальный идеал в 0.
- Если M - максимальный идеал B , то дополнение к M является ультрафильтром на B , и существует ровно один двузначный морфизм s : B → 2 , переводящий ультрафильтр в 1, а максимальный идеал в 0.
Физика
Если элементы B рассматриваются как «предложения о каком-то объекте», то двузначный морфизм на B можно интерпретировать как представление определенного «состояния этого объекта», а именно того, в котором утверждения B , отображаемые в 1 истинны, а предложения, отображаемые в 0, ложны. Поскольку морфизм сохраняет булевы операторы ( отрицание , конъюнкция и т. Д.), Набор истинных предложений не будет противоречивым, но будет соответствовать конкретной максимальной конъюнкции предложений, обозначающей (атомарное) состояние. (Истинные предложения образуют ультрафильтр, ложные предложения образуют максимальный идеал, как упоминалось выше.)
Переход между двумя состояниями S 1 и ˙s 2 из B , представленного 2-оцененных морфизмов, то может быть представлено автоморфизме F от B к B , таким образом, что с 2 о е = ев 1 .
Определенные таким образом возможные состояния различных объектов можно представить как представление потенциальных событий. Затем набор событий может быть структурирован таким же образом, как инвариантность причинной структуры, или причинные связи между локальными и глобальными, или даже формальные свойства глобальных причинных связей.
Морфизмы между (нетривиальными) объектами можно рассматривать как представление причинных связей, ведущих от одного события к другому. Например, приведенный выше морфизм f приводит от события s 1 к событию s 2 . Последовательности или «пути» морфизмов, для которых нет обратного морфизма, могут затем интерпретироваться как определяющие отношения хоризмотического или хронологического предшествования. Эти отношения затем будут определять временной порядок , топологию и, возможно, метрику .
Согласно [2] «минимальная реализация такой реляционно детерминированной пространственно-временной структуры может быть найдена». Однако в этой модели нет явных различий. Это эквивалентно модели, в которой каждый объект характеризуется только одним отличием: (наличие, отсутствие) или (существование, несуществование) события. Таким образом, «стрелки» или «структурный язык» можно интерпретировать как морфизмы, сохраняющие это уникальное различие ». [2]
Однако, если рассматривать более одного различия, модель становится намного более сложной, и интерпретация состояний различия как событий или морфизмов как процессов становится гораздо менее простой.
Рекомендации
- ^ Флейшер, Исидор (1993), "Булева формализация исчисления предикатов", Алгебры и порядки (Монреаль, PQ, 1991) , НАТО Adv. Sci. Inst. Сер. C Math. Phys. Sci., 389 , Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, pp. 193–198, MR 1233791.
- ^ а б в Хейлиген, Фрэнсис (1990). Структурный язык для основ физики . Брюссель: Международный журнал общих систем 18, стр. 93-112. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )