Перекрестное произведение

В математике , то векторное произведение или векторное произведение (иногда направлено область продукта , чтобы подчеркнуть его геометрический смысл) представляет собой бинарную операцию на двух векторов в трехмерном пространстве , и обозначается символом . ^[1] Учитывая два линейно независимых вектора a и b , перекрестное произведение a × b (читается как «крест b») - это вектор, перпендикулярный как a, так и b , ^[2] и, следовательно, нормальный${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ times}$ к самолету, содержащему их. Он имеет множество приложений в математике, физике , инженерии и компьютерном программировании . Его не следует путать с скалярным произведением (проекционным продуктом).

Если два вектора имеют одинаковое направление или прямо противоположные направления друг от друга (т. Е. Они не являются линейно независимыми), или если любой из них имеет нулевую длину, то их перекрестное произведение равно нулю. ^{[3] В} более общем смысле величина произведения равна площади параллелограмма с векторами сторон; в частности, величина произведения двух перпендикулярных векторов равна произведению их длин.

Перекрестное произведение является антикоммутативным (т.е. a × b = - b × a ) и дистрибутивным по сложению (т.е. a × ( b + c ) = a × b + a × c ). ^[2] Пространство вместе с перекрестным произведением представляет собой алгебру над действительными числами , которая не является ни коммутативной, ни ассоциативной , но является алгеброй Ли с перекрестным произведением, являющимся скобкой Ли .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Как и скалярное произведение , это зависит от метрики в евклидове пространства , но в отличие от продукта точки, это также зависит от выбора ориентации или « хиральности ». Продукт можно обобщить по-разному; его можно сделать независимым от ориентации, изменив результат на псевдовектор , или можно использовать внешнее произведение векторов в произвольных размерах с результатом бивектора или 2-формы . Кроме того, используя ориентацию и метрическую структуру, как и для традиционного трехмерного перекрестного произведения, можно в n измерениях взять произведение n - 1.векторы, чтобы создать вектор, перпендикулярный им всем. Но если продукт ограничен нетривиальными бинарными произведениями с векторными результатами, он существует только в трех и семи измерениях . ^[4] (См. § Обобщения ниже, чтобы узнать о других измерениях.)

Перекрестное произведение относительно правой системы координат

Определение [ править ]

Перекрестное произведение двух векторов a и b определяется только в трехмерном пространстве и обозначается a × b . ^[1] В физике и прикладной математике часто используется обозначение клина a ∧ b (в сочетании с названием векторного произведения ), ^{[5] [6] [7],} хотя в чистой математике такое обозначение обычно используется только для внешнего вида. product , абстракция векторного продукта до n измерений.

Векторное произведение a × b определяется как вектор c, который перпендикулярен (ортогонален) как a, так и b , с направлением, заданным правилом правой руки ^[2], и величиной, равной площади параллелограмма , в которой векторы охватывать. ^[3]

Перекрестное произведение определяется формулой ^{[8] [9]}

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ sin (\ theta) \ \ mathbf {n}}$

где θ - угол между a и b в плоскости, содержащей их (следовательно, между 0 ° и 180 °), ‖ a ‖ и ‖ b ‖ - величины векторов a и b , а n - единичный вектор, перпендикулярный на плоскость, содержащую a и b , в направлении, заданном правилом правой руки (показано). ^[3] Если векторы a и b параллельны (т. Е. Угол θмежду ними либо 0 °, либо 180 °), по приведенной выше формуле векторное произведение a и b является нулевым вектором 0 .

По соглашению, направление вектора n задается правилом правой руки, по которому просто направляют указательный палец правой руки в направлении a, а средний палец - в направлении b . Затем вектор n выходит из большого пальца (см. Рисунок рядом). Использование этого правила означает, что перекрестное произведение антикоммутативно , то есть b × a = - ( a × b ) . Если сначала указать указательным пальцем на b , а затем средним пальцем на a, большой палец будет перемещен в противоположном направлении, меняя знак вектора произведения.

Использование перекрестного произведения требует учета ручного управления системой координат (как это явно указано в определении выше). Если используется левая система координат , направление вектора n задается правилом левой руки и указывает в противоположном направлении.

Это, однако, создает проблему, потому что преобразование из одной произвольной системы отсчета в другую (например, преобразование зеркального изображения из правой системы координат в левую) не должно изменять направление n . Проблема проясняется осознанием того, что векторное произведение двух векторов не является (истинным) вектором, а скорее псевдовектором . См. § Перекрестное произведение и руки для более подробной информации.

Имена [ править ]

В 1881 году Джозия Уиллард Гиббс и независимо Оливер Хевисайд ввели как скалярное произведение, так и кросс-произведение, используя точку ( a . B ) и «x» ( a x b ), соответственно, для их обозначения. ^[10]

В 1877 году, чтобы подчеркнуть тот факт, что результатом скалярного произведения является скаляр, а результатом перекрестного произведения является вектор , Уильям Кингдон Клиффорд придумал альтернативные названия скалярное произведение и векторное произведение для двух операций. ^[10] Эти альтернативные названия до сих пор широко используются в литературе.

И крест обозначения ( × б ) и название перекрестное произведение , возможно , были вдохновлены тем , что каждая скалярная компонента из в × б вычисляется путем умножения несоответствующие компоненты и б . И наоборот, скалярное произведение a ⋅ b включает умножения между соответствующими компонентами a и b . Как поясняется ниже , перекрестное произведение может быть выражено в виде определителя специальной матрицы 3 × 3 . Согласно правилу Сарруса, это включает в себя умножение элементов матрицы, обозначенных скрещенными диагоналями.

Вычисление кросс-продукта [ править ]

Обозначение координат [ править ]

В стандартных базисных векторах я , J и K удовлетворяют следующие равенства в правой руке систему координат : ^[2]

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} \ mathbf {\ color {blue} {i}} & \ times \ mathbf {\ color {red} {j}} && = \ mathbf {\ color {lime} { k}} \\\ mathbf {\ color {красный} {j}} & \ times \ mathbf {\ color {lime} {k}} && = \ mathbf {\ color {blue} {i}} \\\ mathbf {\ color {лайм} {k}} & \ times \ mathbf {\ color {blue} {i}} && = \ mathbf {\ color {red} {j}} \ end {alignat}}}$

из которых следует, в силу антикоммутативности перекрестного произведения, что

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {lime}{k}} \\\mathbf {\color {lime}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {lime}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$

Антикоммутативность перекрестного произведения (и очевидное отсутствие линейной независимости) также означает, что

${\displaystyle \mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {lime}{k}} \times \mathbf {\color {lime}{k}} =\mathbf {0} }$( нулевой вектор ).

Этих равенств, вместе с дистрибутивностью и линейностью перекрестного произведения (но ни одно из них не следует легко из определения, данного выше), достаточно для определения перекрестного произведения любых двух векторов a и b . Каждый вектор можно определить как сумму трех ортогональных компонентов, параллельных стандартным базисным векторам:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {lime}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {lime}{k}} \end{alignedat}}}$

Их перекрестное произведение a × b может быть расширено с помощью распределительности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {lime}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {lime}{k}} )\\={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {lime}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {lime}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {lime}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {lime}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {lime}{k}} \times \mathbf {\color {lime}{k}} )\\\end{aligned}}}$

Это можно интерпретировать как разложение a × b на сумму девяти более простых перекрестных произведений, включающих векторы, выровненные с i , j или k . Каждое из этих девяти перекрестных произведений оперирует двумя векторами, с которыми легко работать, поскольку они параллельны или ортогональны друг другу. Из этого разложения, используя вышеупомянутые равенства и собирая аналогичные члены, мы получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {lime}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {lime}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {lime}{k}} \\\end{aligned}}}$

означает, что три скалярные компоненты результирующего вектора s = s ₁ i + s ₂ j + s ₃ k = a × b равны

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}}$

Используя векторы-столбцы , мы можем представить тот же результат следующим образом:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}}$

Обозначение матрицы [ править ]

Перекрестное произведение также может быть выражено как формальный детерминант : ^{[примечание 1] [2]}

${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Этот определитель может быть вычислен с использованием правила Сарруса или расширения кофактора . Используя правило Сарруса, он расширяется до

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}}$

Вместо этого, используя расширение кофактора в первой строке, он расширяется до ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} \\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} ,\end{aligned}}}$

который дает компоненты результирующего вектора напрямую.

Использование символа Леви-Чивита [ править ]

Мы также можем использовать символ Леви-Чивиты для определения векторного произведения:${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{k}\,.}$

Свойства [ править ]

Геометрическое значение [ править ]

Величина поперечного продукта может быть интерпретирована как положительной области от параллелограмма , имеющего и б , как стороны (см рисунок 1): ^[2]

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\||\sin \theta |.}$

В самом деле, можно также вычислить объем V в виде параллелепипеда , имеющим более , б и гр как кромки с использованием комбинации перекрестного продукта и скалярным произведением, называется скалярным тройное произведение (рисунок 2):

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

Поскольку результат скалярного тройного произведения может быть отрицательным, объем параллелепипеда определяется его абсолютным значением. Например,

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.}$

Поскольку величина перекрестного произведения равна синусу угла между его аргументами, перекрестное произведение можно рассматривать как меру перпендикулярности так же, как скалярное произведение - как меру параллелизма . Учитывая два единичных вектора , их перекрестное произведение имеет величину 1, если они перпендикулярны, и нулевую величину, если они параллельны. Скалярное произведение двух единичных векторов ведет себя прямо противоположно: оно равно нулю, когда единичные векторы перпендикулярны, и 1, если единичные векторы параллельны.

Единичные векторы обеспечивают два удобных тождества: скалярное произведение двух единичных векторов дает косинус (который может быть положительным или отрицательным) угла между двумя единичными векторами. Величина векторного произведения двух единичных векторов дает синус (который всегда будет положительным).

Алгебраические свойства [ править ]

Если векторное произведение двух векторов нулевого вектора (т.е. × Ь = 0 ), то один или оба из входов нулевого вектора, ( = 0 или Ь = 0 ) , либо они параллельны или антипараллельны ( a ∥ b ) так, чтобы синус угла между ними был равен нулю ( θ = 0 ° или θ = 180 ° и sin  θ = 0 ).

Самостоятельное перекрестное произведение вектора - это нулевой вектор:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .}$

Перекрестное произведение антикоммутативно ,

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ),}$

распределительный над сложением,

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),}$

и совместим со скалярным умножением, так что

${\displaystyle (r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

Он не ассоциативен , но удовлетворяет тождеству Якоби :

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .}$

Дистрибутивность, линейность и тождество Якоби показывают, что векторное пространство R ³ вместе с векторным сложением и перекрестным произведением образует алгебру Ли, алгебру Ли вещественной ортогональной группы в 3 измерениях, SO (3) . Перекрестное произведение не подчиняется закону сокращения : то есть, a × b = a × c с a ≠ 0 не означает, что b = c , а только то, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\\\end{aligned}}}$

Это может быть случай, когда b и c сокращаются, но дополнительно, когда a и b - c параллельны; то есть они связаны масштабным коэффициентом t , что приводит к:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,}$

для некоторого скалярного t .

Если в дополнение к a × b = a × c и a ≠ 0, как указано выше, это случай, когда a ⋅ b = a ⋅ c, то

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}}$

Поскольку b - c не может быть одновременно параллельным (для перекрестного произведения, равным 0 ) и перпендикулярным (для скалярного произведения, равным 0) к a , должен быть случай, когда b и c сокращаются: b = c .

Согласно геометрическому определению, перекрестное произведение инвариантно относительно собственных поворотов вокруг оси, определяемой a × b . В формулах:

${\displaystyle (R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$, где - матрица вращения с .${\displaystyle R}$${\displaystyle \det(R)=1}$

В более общем смысле, перекрестное произведение подчиняется следующему тождеству при матричных преобразованиях:

${\displaystyle (M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

где представляет собой 3-на-3 матрицы и является транспонированной из обратного и является матрицей кофактора. Легко увидеть, как эта формула сводится к предыдущей, если является матрицей вращения.${\displaystyle M}$${\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \operatorname {cof} }$${\displaystyle M}$

Векторное произведение двух векторов лежит в нулевом пространстве от 2 × 3 матрицы с векторами как строки:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).}$

Для суммы двух перекрестных произведений имеет место следующее тождество:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .}$

Дифференциация [ править ]

Правило продукта дифференциального исчисления относится к любой операции билинейной, а следовательно , и к поперечному продукта:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}},}$

где a и b - векторы, зависящие от действительной переменной t .

Тройное расширение продукта [ править ]

Перекрестное произведение используется в обеих формах тройного произведения. Смешанное произведение трех векторов определяется как

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

Это объем со знаком параллелепипеда с ребрами a , b и c, и поэтому векторы могут использоваться в любом порядке, который является равной перестановкой указанного выше порядка. Следовательно, следующие равны:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}$

Вектор тройное произведение представляет собой векторное произведение вектора с результатом другого поперечного продукта, а также имеет отношение к скалярному произведению по следующей формуле

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}$

Мнемонические «BAC минус САВ» используется для запоминания порядка векторов в правой части руки. Эта формула используется в физике для упрощения векторных вычислений. Частным случаем, касающимся градиентов и полезным в векторном исчислении , является

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}}$

где ∇ ² - векторный оператор Лапласа .

Другие тождества связывают перекрестное произведение со скалярным тройным произведением:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \right)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$

где I - единичная матрица.

Альтернативная формулировка [ править ]

Перекрестное произведение и скалярное произведение связаны между собой:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

Правая часть является определитель Грама из и б , квадрат площади параллелограмма , определяемого векторами. Это условие определяет величину перекрестного произведения. А именно, поскольку скалярное произведение определяется в терминах угла θ между двумя векторами, как:

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$

указанное выше соотношение можно переписать следующим образом:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).}$

Используя тригонометрическое тождество Пифагора, получаем:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,}$

которая представляет собой величину перекрестного произведения, выраженную через θ , равную площади параллелограмма, определяемой a и b (см. определение выше).

Комбинация этого требования и свойства, что перекрестное произведение ортогонально его составляющим a и b, дает альтернативное определение перекрестного произведения. ^[13]

Лагранж [ править ]

Соотношение:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

можно сравнить с другим соотношением, включающим правую часть, а именно с тождеством Лагранжа, выраженным как: ^[14]

${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}\ ,}$

где a и b могут быть n -мерными векторами. Это также показывает, что риманова форма объема для поверхностей - это в точности элемент поверхности из векторного исчисления. В случае, когда n = 3 , объединение этих двух уравнений приводит к выражению для величины перекрестного произведения в терминах его компонентов: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \sum _{1\leq i<j\leq 3}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\\\equiv {}&\left(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)^{2}\ .\end{aligned}}}$

Тот же результат получается непосредственно с использованием компонентов перекрестного произведения, найденных из:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \equiv \det {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{\hat {\mathbf {k} }}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.}$

В R ³ уравнение Лагранжа является частным случаем мультипликативности | vw | = | v || w | нормы в алгебре кватернионов .

Это частный случай другой формулы, также иногда называемой тождеством Лагранжа, которая представляет собой трехмерный случай тождества Бине – Коши : ^{[16] [17]}

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\equiv (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).}$

Если a = c и b = d, это упрощается до формулы выше.

Бесконечно малые генераторы вращений [ править ]

Перекрестное произведение удобно описывает бесконечно малые генераторы вращений в R ³ . В частности, если n является единичным вектором в R ^3, а R ( φ ,  n ) обозначает поворот вокруг оси через начало координат, заданное n , с углом φ (измеряется в радианах, против часовой стрелки, если смотреть с конца n ), тогда

${\displaystyle \left.{d \over d\phi }\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {x}}}$

для каждого вектора x в R ³ . Следовательно, векторное произведение с n описывает бесконечно малый генератор вращений вокруг n . Эти бесконечно малые образующие образуют алгебру Ли so (3) группы вращений SO (3) , и мы получаем результат, что алгебра Ли R ³ с кросс-произведением изоморфна алгебре Ли so (3).

Альтернативные способы вычисления перекрестного произведения [ править ]

Преобразование в матричное умножение [ править ]

Векторное векторное произведение также может быть выражено как произведение кососимметричной матрицы и вектора: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

где верхний индекс ^T относится к операции транспонирования , а [ a ] _× определяется следующим образом:

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}$

Столбцы [ a ] _{×, i} кососимметричной матрицы для вектора a также могут быть получены путем вычисления перекрестного произведения с единичными векторами , то есть:

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}}$

или же

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,}$

где - оператор внешнего продукта .${\displaystyle \otimes }$

Кроме того , если само по себе выражается в виде перекрестного продукта:

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} }$

тогда

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.}$

Доказательство подстановкой

Оценка перекрестного произведения дает ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} ={\begin{pmatrix}c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}\\c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}\end{pmatrix}}}$ Следовательно, левая часть равна ${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}}$ Теперь, что касается правой стороны, ${\displaystyle \mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{1}d_{2}&c_{1}d_{3}\\c_{2}d_{1}&c_{2}d_{2}&c_{2}d_{3}\\c_{3}d_{1}&c_{3}d_{2}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}}$ И его транспонирование ${\displaystyle \mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{2}d_{1}&c_{3}d_{1}\\c_{1}d_{2}&c_{2}d_{2}&c_{3}d_{2}\\c_{1}d_{3}&c_{2}d_{3}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}}$ Оценка правой части дает ${\displaystyle \mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}}$ Сравнение показывает, что левая часть равна правой части.

Этот результат можно обобщить на более высокие измерения с помощью геометрической алгебры . В частности, в любом измерении бивекторы могут быть идентифицированы с кососимметричными матрицами, поэтому произведение между кососимметричной матрицей и вектором эквивалентно части степени 1 произведения бивектора и вектора. ^[18] В трех измерениях бивекторы двойственны векторам, поэтому произведение эквивалентно перекрестному произведению с бивектором вместо двойственного вектора. В более высоких измерениях произведение все еще может быть вычислено, но бивекторы имеют больше степеней свободы и не эквивалентны векторам. ^[18]

С этими обозначениями также часто намного проще работать, например, в эпиполярной геометрии .

Из общих свойств векторного произведения немедленно следует, что

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }$   а также   ${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }$

а из кососимметричности [ a ] _× следует, что

${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}$

Упомянутое выше разложение на тройное произведение (правило баккаба) может быть легко доказано с использованием этой записи.

Как упоминалось выше, алгебра Ли R ³ с кросс-произведением изоморфна алгебре Ли so (3) , элементы которой можно отождествить с кососимметричными матрицами 3 × 3 . Отображение a → [ a ] _× обеспечивает изоморфизм между R ³ и so (3) . При этом отображении перекрестное произведение 3-векторов соответствует коммутатору кососимметричных матриц 3x3.

Преобразование матрицы для перекрестного произведения с каноническими базовыми векторами

Обозначая с к -му канонической базисного вектора, векторное произведение общего вектора с определяется по формуле: , где${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\in \mathbf {R} ^{3\times 1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbf {R} ^{3\times 1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {e} _{i}=\mathbf {C} _{i}\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {C} _{2}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {C} _{3}={\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ Эти матрицы обладают следующими свойствами: ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}^{\textrm {T}}=-\mathbf {C} _{i}}$( кососимметричный ); И след, и определитель равны нулю; ${\displaystyle {\text{rank}}(\mathbf {C} _{i})=2}$; ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}\mathbf {C} _{i}^{\textrm {T}}=\mathbf {P} _{\mathbf {e} _{i}}^{^{\perp }}}$ (см. ниже); Ортогональная проекция матрицы вектора задается . Матрица проекции на ортогональное дополнение задается выражением , где - единичная матрица. В частном случае можно проверить, что${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {v} }=\mathbf {v} \left(\mathbf {v} ^{\textrm {T}}\mathbf {v} \right)^{-1}\mathbf {v} ^{T}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {v} }^{^{\perp }}=\mathbf {I} -\mathbf {P} _{\mathbf {v} }}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{1}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{2}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{3}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ Чтобы узнать о других свойствах матриц ортогональных проекций, см. Проекцию (линейная алгебра) .

Обозначение индекса для тензоров [ править ]

В качестве альтернативы перекрестное произведение можно определить с помощью символа Леви-Чивиты ε _ijk и скалярного произведения η ^mi (= δ ^mi для ортонормированного базиса), которые полезны при преобразовании векторной записи для тензорных приложений:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}}$

где индексы соответствуют компонентам вектора. Эта характеристика перекрестного произведения часто выражается более компактно с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании как${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}}$

в котором повторяющиеся индексы суммируются по значениям от 1 до 3. Это представление является другой формой кососимметричного представления векторного произведения:

${\displaystyle \eta ^{mi}\varepsilon _{ijk}a^{j}=[\mathbf {a} ]_{\times }.}$

В классической механике : представление перекрестного произведения с помощью символа Леви-Чивиты может сделать механическую симметрию очевидной, когда физические системы изотропны . (Пример: рассмотрим частицу в потенциале закона Гука в трех пространствах, свободную колебаться в трех измерениях; ни одно из этих измерений не является «особенным» ни в каком смысле, поэтому симметрии лежат в угловом моменте, представленном перекрестным произведением, который поясняются вышеупомянутым представлением Леви-Чивиты). ^{[ необходима цитата ]}

Мнемоника [ править ]

Слово «xyzzy» можно использовать, чтобы запомнить определение перекрестного произведения.

Если

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$

где:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}}$

тогда:

${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}}$

${\displaystyle a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}}$

${\displaystyle a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.}$

Второе и третье уравнения можно получить из первого, просто повернув индексы по вертикали, x → y → z → x . Проблема, конечно, в том, как запомнить первое уравнение, и для этого доступны два варианта: либо запомнить соответствующие две диагонали схемы Сарруса (те, которые содержат i ), либо запомнить последовательность xyzzy.

Так как первая диагональ в схеме Sarrus является только главной диагонали из выше -mentioned 3 × 3 матрицы, первые три буквы слова XYZZY может быть очень легко запоминается.

Перекрестная визуализация [ править ]

Подобно приведенному выше мнемоническому устройству, «крест» или X может быть визуализирован между двумя векторами в уравнении. Это может быть полезно для запоминания правильной формулы кросс-произведения.

Если

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$

тогда:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

Если мы хотим получить формулу, мы просто опускаем и в формуле и убираем следующие два компонента:${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle b_{x}}$${\displaystyle c_{x}}$

${\displaystyle a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

При этом следующие два элемента должны «обернуть» матрицу так, чтобы после компонента z последовал компонент x. Для ясности, при выполнении этой операции для следующих двух компонентов должны быть z и x (в указанном порядке). При этом для следующих двух компонентов следует принять x и y.${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$

${\displaystyle a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end{bmatrix}},\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\end{bmatrix}}}$

Для затем, если представить перекрестный оператор как указание от элемента слева к элементу справа, мы можем взять первый элемент на левое и просто умножить на элементе , который в точках пересечение в правой матрице руки. Затем мы вычитаем следующий элемент слева, умноженный на элемент, на который здесь указывает крест. Это приводит к нашей формуле -${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle a_{x}}$

${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.}$

Мы можем сделать это таким же образом для и для построения связанных с ними формул.${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$

Приложения [ править ]

Перекрестный продукт имеет приложения в различных контекстах: например, он используется в вычислительной геометрии, физике и технике. Ниже приводится неполный список примеров.

Вычислительная геометрия [ править ]

Перекрестное произведение появляется при вычислении расстояния двух наклонных линий (линий, не находящихся в одной плоскости) друг от друга в трехмерном пространстве.

Перекрестное произведение можно использовать для вычисления нормали для треугольника или многоугольника, операция, часто выполняемая в компьютерной графике . Например, наматывание многоугольника (по часовой стрелке или против часовой стрелки) вокруг точки внутри многоугольника может быть вычислено путем триангуляции многоугольника (например, спицы колеса) и суммирования углов (между спицами) с использованием перекрестного произведения для отслеживания знак каждого угла.

В вычислительной геометрии в плоскости , крест продукт используется для определения знака угла острого определяется тремя точками и . Он соответствует направлению (вверх или вниз) перекрестного произведения двух копланарных векторов, определяемых двумя парами точек и . Знак острого угла - это знак выражения${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle p_{3}=(x_{3},y_{3})}$${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$${\displaystyle (p_{1},p_{3})}$

${\displaystyle P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}),}$

которая представляет собой длину со знаком перекрестного произведения двух векторов.

В «правой» системе координат, если результат равен 0, точки лежат на одной прямой ; если он положительный, три точки составляют положительный угол поворота вокруг от до , в противном случае - отрицательный угол. С другой стороны, знак указывает, находится ли он слева или справа от линии.${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle p_{1},p_{2}.}$

Перекрестное произведение используется при вычислении объема многогранника, такого как тетраэдр или параллелепипед .

Угловой момент и крутящий момент [ править ]

Угловой момент L частицы о данном происхождения определяется как:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$

где r - вектор положения частицы относительно начала координат, p - импульс частицы.

Таким же образом, момент M силы F _B, приложенной в точке B вокруг точки A, определяется как:

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,}$

В механике момент силы также называется крутящим моментом и записывается как${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

Поскольку положение r , линейный момент p и сила F являются истинными векторами, и угловой момент L, и момент силы M являются псевдовекторами или осевыми векторами .

Жесткое тело [ править ]

Перекрестное произведение часто встречается при описании жестких движений. Две точки P и Q на твердом теле могут быть связаны следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}$

где - положение точки, - ее скорость и - угловая скорость тела .${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Поскольку положение и скорость являются истинными векторами, угловая скорость является псевдовектором или осевым вектором .${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Сила Лоренца [ править ]

Перекрестное произведение используется для описания силы Лоренца, испытываемой движущимся электрическим зарядом q _e :

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

Поскольку скорость v , сила F и электрическое поле E являются истинными векторами, магнитное поле B является псевдовектором .

Другое [ править ]

В векторном исчислении перекрестное произведение используется для определения формулы для векторного оператора curl .

Уловка переписывания перекрестного произведения в терминах умножения матриц часто встречается в эпиполярной и многовидовой геометрии, в частности, при выводе ограничений сопоставления.

Перекрестный продукт как внешний продукт [ править ]

Перекрестное произведение можно определить в терминах внешнего продукта . Его можно обобщить на внешний продукт не в трех измерениях. ^[19] Это мнение ^{[ какой? ]} позволяет естественную геометрическую интерпретацию векторного произведения. Во внешней алгебре внешнее произведение двух векторов является бивектором . Бивектор - это ориентированный плоский элемент, почти так же, как вектор - это ориентированный линейный элемент. Учитывая два вектора a и b , можно рассматривать бивектор a ∧ b как ориентированный параллелограмм, натянутый на a и b. Перекрестное произведение затем получается, взяв звезду Ходжа бивектора a ∧ b , отображая 2-векторы в векторы:

${\displaystyle a\times b=\star (a\wedge b)\,.}$

Это можно рассматривать как ориентированный многомерный элемент, «перпендикулярный» бивектору. Только в трех измерениях получается ориентированный одномерный элемент - вектор - тогда как, например, в четырех измерениях двойственный по Ходжу бивектор является двумерным - бивектором. Таким образом, только в трех измерениях векторное векторное произведение a и b может быть определено как вектор, дуальный к бивектору a ∧ b : он перпендикулярен бивектору, с ориентацией, зависящей от руки системы координат, и имеет ту же величину относительно к единичному вектору нормали, как a ∧ b относительно единичного бивектора; именно свойства, описанные выше.

Перекрестное произведение и руки [ править ]

Когда измеряемые величины связаны с перекрестными произведениями, управляемость используемых систем координат не может быть произвольной. Однако, когда законы физики записываются в виде уравнений, должна быть возможность сделать произвольный выбор системы координат (включая ручку). Чтобы избежать проблем, нужно быть осторожным и никогда не записывать уравнение, в котором две стороны не ведут себя одинаково при всех преобразованиях, которые необходимо учитывать. Например, если одна сторона уравнения является перекрестным произведением двух векторов, необходимо принять во внимание, что, когда хиральность системы координат не фиксирована априори, результатом будет не (истинный) вектор, а псевдовектор . Следовательно, для единообразия другая сторона тоже должна быть псевдовектором. ^{[цитата необходима ]}

В более общем смысле, результатом перекрестного произведения может быть вектор или псевдовектор, в зависимости от типа его операндов (векторы или псевдовекторы). А именно, векторы и псевдовекторы связаны между собой следующим образом при применении кросс-произведения:

• вектор × вектор = псевдовектор
• псевдовектор × псевдовектор = псевдовектор
• вектор × псевдовектор = вектор
• псевдовектор × вектор = вектор.

Таким образом, согласно приведенным выше отношениям, единичные базисные векторы i , j и k ортонормированной правой (декартовой) системы координат должны быть псевдовекторами (если базис смешанных векторных типов запрещен, как обычно), поскольку i × j = k , j × k = i и k × i = j .

Поскольку перекрестное произведение также может быть (истинным) вектором, оно не может изменять направление при преобразовании зеркального изображения. Это происходит, согласно приведенным выше отношениям, если один из операндов является (истинным) вектором, а другой - псевдовектором (например, перекрестным произведением двух векторов). Например, векторное тройное произведение, включающее три (истинных) вектора, является (истинным) вектором.

Безрукий подход возможен с использованием внешней алгебры .

Обобщения [ править ]

Есть несколько способов обобщить перекрестное произведение на более высокие измерения.

Алгебра Ли [ править ]

Перекрестное произведение можно рассматривать как одно из простейших произведений Ли, и поэтому оно обобщается алгебрами Ли , которые аксиоматизируются как бинарные произведения, удовлетворяющие аксиомам полилинейности, кососимметрии и тождества Якоби. Существует множество алгебр Ли, и их изучение является важной областью математики, называемой теорией Ли .

Например, алгебра Гейзенберга дает другую структуру алгебры Ли на основе In, произведение${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}.}$${\displaystyle \{x,y,z\},}$${\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.}$

Кватернионы [ править ]

Перекрестное произведение также можно описать в терминах кватернионов . В общем, если вектор [ a ₁ , a ₂ , a ₃ ] представлен как кватернион a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k , перекрестное произведение двух векторов можно получить, взяв их произведение как кватернионы и удалив реальная часть результата. Действительная часть будет отрицательной величиной скалярного произведения двух векторов.

Octonions [ править ]

Перекрестное произведение для 7-мерных векторов может быть получено таким же образом, используя октонионы вместо кватернионов. Отсутствие нетривиальных векторнозначных скрещенных произведений двух векторов в других измерениях связано с результатом теоремы Гурвица о том, что единственными нормированными алгебрами с делением являются алгебры с размерностью 1, 2, 4 и 8.

Внешний продукт [ править ]

В общем измерении нет прямого аналога двоичного векторного произведения, которое дает конкретный вектор. Однако существует внешний продукт , который имеет аналогичные свойства, за исключением того, что внешнее произведение двух векторов теперь является 2-вектором, а не обычным вектором. Как упоминалось выше, перекрестное произведение можно интерпретировать как внешний продукт в трех измерениях с помощью звездообразного оператора Ходжа для сопоставления 2-векторов с векторами. Двойственное по Ходжу к внешнему произведению дает ( n - 2) -вектор, который является естественным обобщением векторного произведения в любом количестве измерений.

Внешний продукт и скалярное произведение могут быть объединены (посредством суммирования), чтобы сформировать геометрическое произведение в геометрической алгебре .

Внешний продукт [ править ]

Как упоминалось выше, перекрестное произведение можно интерпретировать в трех измерениях как двойственное произведение Ходжа внешнего продукта. В любых конечных n измерениях двойственный по Ходжу к внешнему произведению n - 1 векторов является вектором. Таким образом, вместо бинарной операции в произвольных конечных размерностях перекрестное произведение обобщается как двойственное по Ходжу внешнее произведение некоторых заданных n - 1 векторов. Это обобщение называется внешним продуктом . ^[20]

Коммутаторный продукт [ править ]

Интерпретация трехмерное векторного пространства алгебры как 2-вектор ( а не 1-вектора) подалгебры из трехмерной геометрической алгебры , где , , и , поперечный соответствует продукту точно к коллекторному продукту в геометрической алгебре и одновременно используйте тот же символ . Коммутаторное произведение определяется для 2-векторов и в геометрической алгебре как:${\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} }$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} }$${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} }$${\displaystyle \times }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)}$

где - геометрическое произведение . ^[21]${\displaystyle AB}$

Коммутаторное произведение может быть обобщено на произвольные мультивекторы в трех измерениях, в результате чего получается мультивектор, состоящий только из элементов 1-й степени (1-векторы / истинные векторы ) и 2 (2-векторы / псевдовекторы ). В то время как коммутаторное произведение двух 1-векторов действительно совпадает с внешним произведением и дает 2-вектор, коммутатор 1-вектора и 2-вектора дает истинный вектор, соответствующий вместо этого левому и правому сжатиюв геометрической алгебре. Коммутаторное произведение двух 2-векторов не имеет соответствующего эквивалентного произведения, поэтому коммутаторное произведение определено в первую очередь для 2-векторов. Кроме того, коммутаторное тройное произведение трех 2-векторов такое же, как векторное тройное произведение тех же трех псевдовекторов в векторной алгебре. Однако, коммутатор тройное произведение из трех 1-векторов в геометрической алгебры вместо этого отрицательного из вектора тройного произведения одних и тех же трех истинных векторов в векторной алгебры.

Обобщения на более высокие измерения обеспечиваются тем же самым коммутаторным произведением 2-векторов в геометрических алгебрах более высоких измерений, но 2-векторы больше не являются псевдовекторами. Подобно тому, как коммутаторное произведение / кросс-произведение 2-векторов в трех измерениях соответствует простейшей алгебре Ли , 2-векторные подалгебры геометрической алгебры более высоких измерений, снабженные коммутаторным произведением, также соответствуют алгебрам Ли. ^[22] Также, как и в трех измерениях, коммутаторное произведение может быть далее обобщено на произвольные мультивекторы.

Полилинейная алгебра [ править ]

В контексте полилинейной алгебры перекрестное произведение можно рассматривать как (1,2) -тензор ( смешанный тензор , в частности, билинейное отображение ), полученный из формы трехмерного объема , ^{[примечание 2]} a (0,3 ) -тензор, подняв индекс .

В деталях, трехмерная объемная форма определяет продукт , взяв определитель матрицы, заданной этими тремя векторами. По двойственности это эквивалентно функции (фиксация любых двух входных данных дает функцию путем вычисления на третьем входе) и при наличии внутреннего продукта (такого как скалярное произведение ; в более общем смысле невырожденная билинейная форма), у нас есть изоморфизм, и, таким образом, это дает карту, которая является перекрестным произведением: (0,3) -тензор (3 векторных входа, скалярный выход) был преобразован в (1,2) -тензор (2 векторных входа, 1 векторный вывод) "поднятием индекса".${\displaystyle V\times V\times V\to \mathbf {R} ,}$${\displaystyle V\times V\to V^{*},}$${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle V\to V^{*},}$${\displaystyle V\times V\to V,}$

Переводя приведенную выше алгебру в геометрию, функция «объем параллелепипеда, определяемая посредством » (где первые два вектора фиксированы, а последний является входом), которая определяет функцию , может быть уникально представлена как скалярное произведение с вектором: этот вектор является кросс - продукт с этой точки зрения, крест продукта определяется с помощью скалярного тройного произведения ,${\displaystyle (a,b,-)}$${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle a\times b.}$${\displaystyle \mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.}$

Точно так же в более высоких измерениях можно определить обобщенные перекрестные произведения, подняв индексы формы n- мерного объема, которая является -тензором. Наиболее прямые обобщения перекрестного произведения состоят в том, чтобы определить:${\displaystyle (0,n)}$

• -тензорный, который принимает в качестве входных векторов, и выдает в качестве выходного вектора 1 - -ичный вектор-продукт, или${\displaystyle (1,n-1)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (n-1)}$
• a -тензор, который принимает на вход 2 вектора и дает на выходе кососимметричный тензор ранга n - 2 - бинарное произведение с рангом n - 2 значения тензора. Можно также определить -тензор для других k .${\displaystyle (n-2,2)}$${\displaystyle (k,n-k)}$

Все эти продукты являются полилинейными и кососимметричными и могут быть определены в терминах определителя и четности .

-Ичный продукт может быть описан следующим образом : данные векторы в определяют их обобщенный перекрестный продукт , как:${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n},}$${\displaystyle v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}}$

• перпендикулярно гиперплоскости, определяемой ${\displaystyle v_{i},}$
• Величина есть объем параллелепипеда , определяемый который может быть вычислен как определитель Грама из${\displaystyle v_{i},}$${\displaystyle v_{i},}$
• ориентирован так, что ориентирован положительно.${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$

Это уникальная полилинейное, чередуя продукт , который имеет значение , и так далее для циклических перестановок индексов.${\displaystyle e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}}$${\displaystyle e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1},}$

В координатах можно дать формулу для этого -арного аналога перекрестного произведения в R ^{n следующим} образом:${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle \bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.}$

Эта формула идентична по структуре формуле определителя для нормального перекрестного произведения в R ^3, за исключением того, что строка базисных векторов является последней строкой в ​​определителе, а не первой. Причина в том, чтобы гарантировать, что упорядоченные векторы ( v ₁ , ..., v _{n −1} , Λ^{n –1}
_{i = 0}v _i ) имеют положительную ориентацию относительно ( e ₁ , ..., e _n ). Если n нечетное, эта модификация оставляет значение неизменным, поэтому это соглашение согласуется с обычным определением двоичного произведения. Однако в случае четного n различие должно быть сохранено. Эта -арная форма обладает многими из тех же свойств, что и векторное векторное произведение: она является чередующейся${\displaystyle (n-1)}$и линейный по своим аргументам, он перпендикулярен каждому аргументу, а его величина дает гиперобъем области, ограниченной аргументами. И так же, как векторное векторное произведение, его можно определить независимо от координат как двойственное по Ходжу произведение клина аргументов.

Кососимметричная матрица [ править ]

Если перекрестное произведение определяется как двоичная операция, оно принимает в качестве входных данных ровно два вектора. Если его выход не обязательно должен быть вектором или псевдовектором, а должен быть матрицей , то его можно обобщить в произвольном количестве измерений. ^{[23] [24] [25]}

В механике, например, угловую скорость можно интерпретировать либо как псевдовектор, либо как антисимметричную матрицу или кососимметричный тензор . В последнем случае закон скорости твердого тела имеет вид:${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\Omega }\cdot \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)}$

где Ω формально определяется из матрицы вращения, связанной с рамой тела: В трехмерном случае выполняется:${\displaystyle R^{N\times N}}$${\displaystyle \Omega \triangleq {\frac {dR}{dt}}R^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle \Omega =[\omega ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-\omega _{3}&\,\,\,\omega _{2}\\\,\,\,\omega _{3}&0&\!-\omega _{1}\\\!-\omega _{2}&\,\,\omega _{1}&\,\,0\end{bmatrix}}}$

В квантовой механике момент часто представляются в качестве анти-симметричной матрицы или тензорного оператора. Точнее, это результат перекрестного произведения, включающего позицию и линейный импульс :${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$