Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Щелкните "показать" для описания.
Периодическая плиточные с фундаментальной единицы (треугольник) и примитивной ячейки (шестиугольник) выделены. Мозаика всей плоскости может быть получена путем совмещения копий этих треугольных участков вместе. Для этого базовый треугольник необходимо повернуть на 180 градусов, чтобы подогнать его от края до края к соседнему треугольнику. Таким образом, будет сгенерирована треугольная мозаика фундаментальных единиц, которая взаимно локально выводится из мозаики с помощью цветных плиток. Другая фигура, нарисованная на мозаике, белый шестиугольник, представляет собой примитивную ячейку мозаики. Копии соответствующего фрагмента цветной плитки можно перевестичтобы образовать бесконечную мозаику плоскости. Для этого нет необходимости вращать этот патч.

В геометрии , A плиточные является разбиение плоскости (или любой другой геометрической формы) в замкнутых множеств (называемые плитки ), без зазоров или перекрытий (кроме границ плитки). [1] Тайлинг считается периодическим, если существуют сдвиги в двух независимых направлениях, которые отображают тайлинг на себя. Такая мозаика состоит из одной фундаментальной единицы или примитивной ячейки, которая бесконечно и регулярно повторяется в двух независимых направлениях. [2]Пример такой мозаики показан на диаграмме рядом (дополнительную информацию см. В описании изображения). Мозаика, которую невозможно построить из одной примитивной ячейки, называется непериодической. Если данный набор плиток допускает только непериодические мозаики, то этот набор плиток называется апериодическим . [3] Замощения, полученные из апериодического набора плиток, часто называют апериодическими мозаиками , хотя, строго говоря, апериодическими являются сами плитки. (Сама мозаика называется «непериодической».)

Первая таблица объясняет сокращения, используемые во второй таблице. Вторая таблица содержит все известные апериодические наборы плиток и дает некоторую дополнительную базовую информацию о каждом наборе. Этот список плиток все еще неполный.

Пояснения [ править ]

СокращениеСмыслОбъяснение
E 2Евклидова плоскостьнормальная плоская плоскость
H 2гиперболическая плоскостьплоскость, где постулат параллельности не выполняется
E 3Евклидово пространство 3пространство, определяемое тремя перпендикулярными осями координат
MLDВзаимно локально выводимаядве мозаики называются взаимно локально производными друг от друга, если одна мозаика может быть получена из другой с помощью простого локального правила (например, удаления или вставки ребра)

Список [ править ]

Это динамический список, который, возможно, никогда не сможет удовлетворить определенные стандарты полноты. Вы можете помочь, добавив недостающие элементы из надежных источников .
ИзображениеИмяКоличество плитокКосмосДата публикацииСсылкаКомментарии
Трилобит и крест.png
Трилобиты и крестовые плитки2E 21999 г.[4]Плитки МЛД из плиток стула
Пенроуз P1.svg
Плитка Penrose P16E 21974 [5][6]Плитки MLD из мозаик P2 и P3, треугольников Робинсона и "Морская звезда, лист плюща, шестигранник"
Воздушный змей Dart.svg
Плитка Penrose P22E 21977 [7][8]Плитки MLD из мозаик P1 и P3, треугольников Робинсона и "Морская звезда, лист плюща, шестигранник"
Пенроуз P3 arcs.svg
Плитка Penrose P32E 21978 [9][10]Плитки MLD из мозаик P1 и P2, треугольников Робинсона и "Морская звезда, лист плюща, шестигранник"
Двоичный тайлинг arcs.svg
Бинарные плитки2E 21988 г.[11] [12]Хотя мозаики похожи по форме на плитки P3, они не отличаются друг от друга MLD. Разработан в попытке смоделировать расположение атомов в бинарных сплавах.
Робинзон tile.svg
Плитка Робинзона6E 21971 [13][14]Плитки усиливают апериодичность, образуя бесконечную иерархию квадратных решеток.
Нет изображенияПлитка Ammann A16E 21977 [15][16]Плитки усиливают апериодичность, формируя бесконечное иерархическое двоичное дерево.
Плитка Ammann A22E 21986 [17][18]
Плитка Ammann A33E 21986 [17][18]
Плитка Ammann A42E 21986 [17][18] [19]Плитки MLD с Ammann A5.
Плитка Ammann A52E 21982 [20][21] [22]Плитки MLD с Ammann A4.
Нет изображенияШестиугольник-треугольник Пенроуза2E 21997 [23][23] [24]
Золотой треугольник плитки10E 22001 [25][26]дата предназначена для обнаружения правил соответствия. Двойной к Ammann A2
Социальные плитки3E 21989 [27][28] [29]Плитки МЛД из плиток Щит
Щитовые плитки4E 21988 [30][31] [32]Тайлинги MLD из мозаик соколарными плитками
Квадратные треугольные плитки5E 21986 [33][34]
Морская звезда, лист плюща и шестигранные плитки3E 2[35] [36] [37]Мозаика - это MLD в треугольники Пенроуза P1, P2, P3 и Робинсона.
Треугольник Робинсона4E 2[17]Мозаика - это MLD на P1, P2, P3 Пенроуза и «Морская звезда, лист плюща, шестигранник».
Данцеровские треугольники6E 21996 [38][39]
Вертушка плиткиE 21994 [40] [41][42] [43]Дата публикации правил соответствия.
Плитка Socolar – Taylor1E 22010 г.[44] [45]Не подключенный набор . Апериодическая иерархическая мозаика.
Нет изображенияПлитка Ван20426E 21966 г.[46]
Нет изображенияПлитка Ван104E 22008 г.[47]
Нет изображенияПлитка Ван52E 21971 [13][48]Плитки усиливают апериодичность, образуя бесконечную иерархию квадратных решеток.
Плитка Ван32E 21986 г.[49]Локально производный от плиток Пенроуза.
Нет изображенияПлитка Ван24E 21986 г.[49]Локально выводится из тайлинга A2
Плитка Ван16E 21986 г.[17] [50]Получено из тайлинга A2 и его стержней Амманна
Плитка Ван14E 21996 г.[51] [52]
Плитка Ван13E 21996 г.[53] [54]
Плитка Ван11E 22015 г.[55]
Нет изображенияДесятиугольная плитка из губки1E 22002 г.[56] [57]Пористая плитка, состоящая из неперекрывающихся наборов точек
Нет изображенияСильно апериодические плитки Гудмана-Штрауса85H 22005 г.[58]
Нет изображенияСильно апериодические плитки Гудмана-Штрауса26 годH 22005 г.[59]
Гиперболическая черепица Бёрёчки1H n1974 [60] [61][59] [62]Только слабо апериодический
Нет изображенияПлитка Шмитта1E 31988 г.[63]Винтовой периодический
Плитка Шмитта – Конвея – Данцера1E 3[63]Винтовые периодические и выпуклые
Плитка Socolar – Taylor1E 32010 г.[44] [45]Периодический в третьем измерении
Нет изображенияРомбоэдры Пенроуза2E 31981 [64][65] [66] [67] [68] [69] [70] [71]
Ромбоэдры Маккая – Аммана4E 31981 г.[35]Икосаэдрическая симметрия . Это декорированные ромбоэдры Пенроуза с правилом согласования, обеспечивающим апериодичность.
Нет изображенияКубики Ванга21 годE 31996 г.[72]
Нет изображенияКубики Ванга18E 31999 г.[73]
Нет изображенияТетраэдры Данцера4E 31989 [74][75]
I и L плитки2E n для всех n ≥ 31999 г.[76]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Грюнбаум, Бранко; Шепард, Джеффри К. (1977), "Замощения правильными многоугольниками", Math. Mag. , 50 (5): 227-247, DOI : 10,2307 / 2689529 , JSTOR  2689529
  2. ^ Эдвардс, Стив, «Фундаментальные области и примитивные ячейки» , Tiling Plane & Fancy , Государственный университет Кеннесо, заархивировано из оригинала 16 сентября 2010 г. , извлечено 11 января 2017 г.
  3. ^ Вагон, Стив (2010), « Математика в действии» (3-е изд.), Springer Science & Business Media, стр. 268, ISBN 9780387754772
  4. ^ Гудман-Strauss, Хаим (1999), "Малый Апериодический Набор Planar плитки", Европейский J. Совмещенный. , 20 (5): 375-384, DOI : 10,1006 / eujc.1998.0281( доступен препринт )
  5. ^ Пенроуз, Роджер (1974), "Роль эстетики в чистых и прикладных математических исследованиях", Bull. Inst. Математика. И его приложение. , 10 (2): 266–271
  6. ^ Михаэль, Джулс (2010), Коллоидные монослои на квазипериодических лазерных полях (PDF) (докторская диссертация), стр. 23, doi : 10.18419 / opus-4924 , архив (PDF) из оригинала 28.09.2010
  7. ^ Гарднер Мартин (январь 1977), "Математические игры: Чрезвычайный непериодична плиточные , что обогащает теорию плитки", Scientific American , 236 (1): 110-121, Bibcode : 1977SciAm.236a.110G , DOI : 10.1038 / scientificamerican0177- 110
  8. ↑ Гарднер, Мартин (1997), Плитки Пенроуза для тайных шифров (пересмотренная редакция), Математическая ассоциация Америки, стр. 86, ISBN 9780883855218
  9. Перейти ↑ Penrose, Roger (1978), «Pentaplexity» (PDF) , Eureka , 39 : 16–22
  10. Перейти ↑ Penrose, Roger (1979), «Pentaplexity» , Math. Intell. , 2 (1): 32-37, DOI : 10.1007 / bf03024384 , S2CID 120305260 , заархивированы с оригинала на 2010-09-23 , извлекаются 2010-07-26 
  11. ^ Lançon, F .; Billard, L. (1988), "Двумерный система с квазикристаллическим состоянием" (PDF) , Журналь де Physique , 49 (2): 249-256, CiteSeerX 10.1.1.700.3611 , DOI : 10.1051 / jphys : 01988004902024900 , заархивировано (PDF) из оригинала 29.09.2010  
  12. ^ Годреш, C .; Лансон, Ф. (1992), «Простой пример мозаики без Пизо с пятикратной симметрией» (PDF) , Journal de Physique I , 2 (2): 207–220, Bibcode : 1992JPhy1 ... 2. .207G , doi : 10.1051 / jp1: 1992134 , архив (PDF) из оригинала 29.09.2010
  13. ^ a b Робинсон, Рафаэль М. (1971), «Неразрешимость и непериодичность мозаик на плоскости», Inventiones Mathematicae , 12 (3): 177–209, Bibcode : 1971InMat..12..177R , doi : 10.1007 / BF01418780 , S2CID 14259496 
  14. ↑ Goodman-Strauss, Chaim (1999), Sadoc, JF; Rivier, Н. (ред.), "Апериодический Иерархические тайлинги", НАТО АСИ серии , серии E: Applied Sciences, 354 (Пенопласты и Эмульсии): 481-496, DOI : 10.1007 / 978-94-015-9157-7_28 , ISBN 978-90-481-5180-6
  15. Перейти ↑ Gardner, Martin (2001), The Colossal Book of Mathematics , WW Norton & Company, p. 76, ISBN 978-0393020236
  16. Перейти ↑ Grünbaum, Branko & Shephard, Джеффри К. (1986), Tilings and Patterns , New York: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1194-0, В соответствии с голландцами, Стивен (2003), апериодических разбиений , Университет штата Висконсин - Грин - Бей, архивируются с оригинала на 2006-08-30 , извлекаться 2011-04-02; ср. Савард, Джон Дж., Апериодические мозаики в обычных решетках
  17. ^ a b c d e Грюнбаум, Бранко и Шепард, Джеффри К. (1986), Плитки и узоры , Нью-Йорк: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1194-0
  18. ^ a b c Амманн, Роберт; Грюнбаум, Бранко; Шеппард, Джеффри С. (июль 1992), "Апериодические плитки", Дискретная & Вычислительная геометрия , 8 (1): 1-25, DOI : 10.1007 / BF02293033 , S2CID 39158680 
  19. ^ Харрис, Эдмунд; Фреттлё, Дирк, "Ammann A4" , энциклопедия Tilings , Билефельдский университет
  20. ^ Beenker, FPM (1982), Алгебраическая теория непериодических мозаик плоскости двумя простыми строительными блоками: квадратом и ромбом , Отчет TH, 82-WSK04, Технологический университет Эйндховена
  21. ↑ Komatsu, Kazushi; Номакучи, Кентаро; Сакамото, Кунико; Токито, Такаши (2004), «Представление мозаик Амманна-Бенкера автоматом» , Nihonkai Math. J. , 15 (2): 109–118, архивировано 29 сентября 2010 г. , архивировано 12 января 2017 г.
  22. ^ Харрис, Эдмунд; Фреттлё, Дирк, «Амманн-Бенкер» , энциклопедия Tilings , Билефельдский университет
  23. ^ a b Пенроуз Р. (1997), «Замечания о мозаике: детали апериодического множества (1 + ε + ε 2 )», NATO ASI Series , Series C: Mathematical and Physical Sciences, 489 (The Mathematics of Long -Range апериодический Order): 467-497, DOI : 10.1007 / 978-94-015-8784-6_18 , ISBN 978-0-7923-4506-0
  24. ^ Гудман-Штраус, Хаим (2003), Апериодическая пара плиток (PDF) , Университет Арканзаса
  25. ^ Данцер, Людвиг; van Ophuysen, Gerrit (2001), "Вид плоских треугольных плиток с коэффициентом инфляции ", Res. Бык. Panjab Univ. Sci. , 50 (1–4): 137–175, MR 1914493. 
  26. ^ Gelbrich G (1997), "Фрактальная Пенроуза плитка II Плитка с фрактальной границей , как двойников Пенроуза треугольников.", Aequationes Mathematicae , 54 (1-2): 108-116, да : 10.1007 / bf02755450 , МР 1466298 , S2CID 120531480  
  27. ^ Socolar, Joshua ES (1989), "Простые восьмиугольные и двенадцатиугольными квазикристаллов", Physical Review B , 39 (15): 10519-51, Bibcode : 1989PhRvB..3910519S , DOI : 10,1103 / PhysRevB.39.10519 , PMID 9947860 
  28. ^ Gähler, Франц; Люк, Рейнхард; Бен-Авраам, Шеломо I .; Gummelt, Петра (2001), "двенадцатиугольные тайлинги как максимальные кластерные покрытия", Сегнетоэлектрики , 250 (1): 335-338, DOI : 10,1080 / 00150190108225095 , S2CID 123171399 
  29. ^ Савард, Джон JG, Соколярная мозаика
  30. ^ Gähler, Franz (1988), "Кристаллография двенадцатиугольными квазикристаллов " " (PDF) , в Janot, Кристиан (ред.), Квазикристалличе- материалы: Материалы семинара Codest ILL /, Гренобль, 21-25 марта 1988 , Сингапур: World Scientific, стр. 272–284.
  31. ^ Gähler, Франц; Фреттлё, Дирк, «Щит» , Энциклопедия Тилингса , Билефельдский университет
  32. ^ Gähler, Franz (1993), "Matching правили квазикристаллы: метод композиционно-разложение" (PDF) , журнал некристаллических твердых тел , 153-154 (Proceddings Четвертой Международной конференции по квазикристаллам): 160-164, Bibcode : 1993JNCS..153..160G , CiteSeerX 10.1.1.69.2823 , doi : 10.1016 / 0022-3093 (93) 90335-u , заархивировано (PDF) из оригинала 01.10.2010  
  33. ^ Stampfli, П. (1986), "Додекагональная квазипериодическая решетка в двух измерениях", Helv. Phys. Acta , 59 : 1260–1263.
  34. ^ Hermisson, Joachim; Ричард, Кристоф; Бааке, Майкл (1997), "Руководство по структуре симметрии квазипериодических классов мозаики" , Journal de Physique I , 7 (8): 1003–1018, Bibcode : 1997JPhy1 ... 7.1003H , CiteSeerX 10.1.1.46.5796 , DOI : 10,1051 / JP1: 1997200 
  35. ^ а б Лорд, Эрик. A. (1991), "Квазикристаллы и паттерны Пенроуза" (PDF) , Current Science , 61 (5): 313–319, архив (PDF) из оригинала 27 сентября 2010 г.
  36. ^ Olamy, Z .; Клеман, М. (1989), "Двухмерный апериодическим плотная плиточные" (PDF) , Журнал де Телосложение , 50 (1): 19-33, DOI : 10.1051 / jphys: 0198900500101900 , архивируются (PDF) от оригинала на 2010 -11-01
  37. ^ Михалкович, М .; Хенли, CL; Видом, М. (2004), «Комбинированное уточнение данных дифракции энергии декагонального AlNiCo», Журнал некристаллических твердых тел , 334–335 (8-я Международная конференция по квазикристаллам): 177–183, arXiv : cond-mat / 0311613 , Bibcode : 2004JNCS..334..177M , DOI : 10.1016 / j.jnoncrysol.2003.11.034 , S2CID 18958430 
  38. ^ Nischke, K.-P .; Данцер, Л. (1996), "Построение правил инфляции на основе п - кратное симметрии", Дискретная & Вычислительная геометрия , 15 (2): 221-236, DOI : 10.1007 / bf02717732 , S2CID 22538367 
  39. ↑ Хаяси, Хироко; Кавачи, Юу; Комацу, Казуши; Конда, Ая; Курозоэ, Михо; Накано, Фумихико; Одавара, Наоми; Онда, Рика; Сугио, Акинобу; Ямаути, Масатецу (2009), "Аннотация: Заметки о вершинном атласе плоского мозаичного покрытия Данцера " (PDF) , Японская конференция по вычислительной геометрии и графам, Канадзава, 11–13 ноября 2009 г.
  40. ^ Радин, Чарльз (1994), "вертушки разбиение плоскости", Анналы математики , вторая серия, 139 (3): 661-702, CiteSeerX 10.1.1.44.9723 , DOI : 10,2307 / 2118575 , JSTOR 2118575 , MR 1283873   
  41. ^ Радин, Чарльз (1993), "Симметрия мозаики плоскости", Bull. Амер. Математика. Soc. , 29 (2): 213–217, arXiv : math / 9310234 , Bibcode : 1993math ..... 10234R , CiteSeerX 10.1.1.45.5319 , doi : 10.1090 / s0273-0979-1993-00425-7 , S2CID 14935227  
  42. ^ Радин, Чарльз; Вольф, Мэйхью (1992), "Пространственные мозаики и локальный изоморфизм", Геом. Dedicata , 42 (3): 355-360, DOI : 10.1007 / bf02414073 , МР 1164542 , S2CID 16334831  
  43. ^ Радин, C (1997), «Апериодические мозаики, эргодическая теория и вращения», Серия ASI НАТО , Серия C: Математические и физические науки, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 489 (Математика дальнего апериодического порядка), MR 1460035 
  44. ^ Б Socolar, Джошуа ES; Тейлор, Джоан М. (2011), «Апериодическая шестиугольная плитка», Журнал комбинаторной теории, серия A , 118 (8): 2207–2231, arXiv : 1003.4279v1 , doi : 10.1016 / j.jcta.2011.05.001 , S2CID 27912253 
  45. ^ Б Socolar, Джошуа ES; Тейлор, Джоан М. (2011), «Принудительная непериодичность с помощью одной плитки», The Mathematical Intelligencer , 34 (1): 18–28, arXiv : 1009.1419v1 , doi : 10.1007 / s00283-011-9255-y , S2CID 10747746 
  46. ^ Бургер, Роберт (1966), «Неразрешимость проблемы домино», Мемуары Американского математического общества , 66 (66), DOI : 10.1090 / memo / 0066 , ISBN 978-0-8218-1266-2
  47. ^ Оллингер, Николя (2008), «Два по два Замена системы и неразрешимость Domino проблема» (PDF) , логика и теория алгоритмов , Lecture Notes в области компьютерных наук, 5028 , Springer, стр. 476-485, CiteSeerX 10.1.1.371.9357 , DOI : 10.1007 / 978-3-540-69407-6_51 , ISBN   978-3-540-69405-2
  48. ^ Кари, Дж . ; Papasoglu, P. (1999), "детерминированная Апериодическая плитка множества", Геометрическое и функциональный анализ , 9 (2): 353-369, DOI : 10.1007 / s000390050090 , S2CID 8775966 
  49. ^ a b Lagae, Арес; Кари, Джаркко ; Дютре, Филипп (2006), Апериодические наборы квадратных плиток с цветными углами , Report CW, 460 , KU Leuven , p. 15, CiteSeerX 10.1.1.89.1294 
  50. ^ Карбоне, Алессандра; Громов, Михаил; Прусинкевич, Пшемыслав (2000), Формирование паттернов в биологии, зрении и динамике , Сингапур: World Scientific, ISBN 978-981-02-3792-9
  51. ^ Кари, Яркко~d (1996), "Небольшой апериодический набор Ван плиток", дискретная математика , 160 (1-3): 259-264, DOI : 10.1016 / 0012-365X (95) 00120-L
  52. ^ Lagae, Ares (2007), Tile методы , основанные на компьютерной графике (PDF) (докторская диссертация), KU Левен , с. 149, ISBN  978-90-5682-789-2, архивировано из оригинального (PDF) 06.10.2010
  53. ^ Кулик, Карел; Kari, Яркко (1997), "О апериодических множеств Ван плитки", Основы информатики , Lecture Notes в области компьютерных наук, 1337 , стр 153-162,. DOI : 10.1007 / BFb0052084 , ISBN 978-3-540-63746-2
  54. ^ Culik, Карел (1996), "апериодический набор из 13 Ван плиток", дискретная математика , 160 (1-3): 245-251, CiteSeerX 10.1.1.53.5421 , DOI : 10.1016 / S0012-365X (96) 00118 -5 
  55. ^ Jeandel, Эммануэль; Рао, Майкл (2015), «Апериодический набор из 11 плиток Ванга», CoRR , arXiv : 1506.06492 , Bibcode : 2015arXiv150606492J
  56. Перейти ↑ Zhu, Feng (2002), The Search for a Universal Tile (PDF) (диссертация бакалавра), Williams College
  57. ^ Бейли, Дуэйн А .; Чжу, Фэн (2001), Губчатая (почти) универсальная плитка (PDF) , CiteSeerX 10.1.1.103.3739  
  58. ^ Гудман-Strauss, Хаим (2010), "Иерархическая сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости" (PDF) , теоретическая информатика , 411 (7-9): 1085-1093, DOI : 10.1016 / j.tcs. 2009.11.018
  59. ^ a b Гудман-Штраус, Хаим (2005), "Сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости", Инвент. Математика. , 159 (1): 130-132, Bibcode : 2004InMat.159..119G , CiteSeerX 10.1.1.477.1974 , DOI : 10.1007 / s00222-004-0384-1 , S2CID 5348203  
  60. ^ Böröczky, К. (1974), "Gömbkitöltések Allando görbületü terekben I", Matematikai лапок , 25 : 265-306
  61. ^ Böröczky, К. (1974), "Gömbkitöltések Allando görbületü terekben II", Matematikai лапок , 26 : 67-90
  62. ^ Долбилин, Nikkolai; Фретлё, Дирк (2010), "Свойства мозаик Бёрёчки в многомерных гиперболических пространствах" (PDF) , European J. Combin. , 31 (4): 1181-1195, Arxiv : 0705,0291 , CiteSeerX 10.1.1.246.9821 , DOI : 10.1016 / j.ejc.2009.11.016 , S2CID 13607905   
  63. ^ Б Радин, Чарльз (1995), "Апериодические тайлинги в высших измерениях" (PDF) , Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 123 (11): 3543-3548, DOI : 10,2307 / 2161105 , JSTOR 2161105 , получено 25.09.2013  
  64. ^ Маккей, Алан Л. (1981), "De Nive Quinquangula: На пятиугольной снежинке" (PDF) , Sov. Phys. Кристаллогр. , 26 (5): 517–522, архивировано (PDF) из оригинала 06.10.2010.
  65. ^ Meisterernst, Гетц, Experimente цур Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (PDF) (Диссертация), Мюнхенский университет Людвига-Максимилиана , стр. 18-19, в архиве (PDF) с оригинала на 2010-10-08
  66. ^ Цзижун, ВС (1993), «Структура Переход трехмерного Пенроуз Под фазонного штаммом», китайский Phys. Lett. , 10 (8): 449-452, Bibcode : 1993ChPhL..10..449S , DOI : 10,1088 / 0256-307x / 10/8/001
  67. ^ Inchbald, Guy (2002), 3-D квазикристалла Структура
  68. ^ Лорд, EA; Ranganathan, S .; Kulkarni, UD (2001), «Квазикристаллы: мозаика против кластеризации» (PDF) , Philosophical Magazine A , 81 (11): 2645–2651, Bibcode : 2001PMagA..81.2645L , CiteSeerX 10.1.1.487.2640 , doi : 10.1080 / 01418610108216660 , S2CID 138403519 , заархивировано (PDF) из оригинала на 2010-10-06   
  69. ^ Rudhart, Christoph Paul (июнь 1999), Цур numerischen Simulation де Bruchs фон Quasikristallen (тезисы), Университет Штутгарта , с. 11, DOI : 10,18419 / Opus-4639
  70. ^ Лорд, EA; Ranganathan, S .; Кулькарни, У.Д. (2000), «Плитки, покрытия, кластеры и квазикристаллы» (PDF) , Current Science , 78 (1): 64–72, архив (PDF) из оригинала 01.11.2010.
  71. ^ Кац, А. (1988), "Теория Matching правил для 3-Dimensional Пенроуза разбиений", Связь в математической физике , 118 (2): 263-288, Bibcode : 1988CMaPh.118..263K , DOI : 10.1007 / BF01218580 , S2CID 121086829 
  72. ^ Кулик, Карел; Кари, Джаркко (1995), «Апериодический набор кубов Ванга», Journal of Universal Computer Science , 1 (10), CiteSeerX 10.1.1.54.5897 , doi : 10.3217 / jucs-001-10-0675 
  73. ^ Вальтер. Герд; Селтер, Кристоф, ред. (1999), Mathematikdidaktik als design science: Festschrift für Erich Christian Wittmann , Лейпциг: Ernst Klett Grundschulverlag, ISBN 978-3-12-200060-8
  74. ^ Данзер, Л. (1989), « Трехмерные аналоги плоских мозаик Пенроуза и квазикристаллов», Дискретная математика , 76 (1): 1–7, DOI : 10.1016 / 0012-365X (89) 90282-3
  75. ^ Zerhusen, Аарон (1997), три мерные плиточный Данцер в университете Кентукки
  76. ^ Гудман-Штраус, Хаим (1999), «Апериодическая пара плиток в E n для всех n ≥ 3», European J. Combin. , 20 (5): 385-395, DOI : 10,1006 / eujc.1998.0282( доступен препринт )

Внешние ссылки [ править ]

  • Стивенс П. В., Гольдман А. И. Структура квазикристаллов.
  • Левин Д., Стейнхардт П. Дж. Квазикристаллы I Определение и структура
  • Энциклопедия Тилингса