Плитка Пенроуза

Мозаика Пенроуза с ромбами, обладающая пятикратной симметрией

Пенроуза является примером апериодической черепицы . Здесь мозаика - это покрытие плоскости неперекрывающимися многоугольниками или другими формами, а апериодический означает, что смещение любого мозаичного покрытия с этими формами на любое конечное расстояние без вращения не может привести к тому же мозаичному покрытию. Однако, несмотря на отсутствие трансляционной симметрии , мозаики Пенроуза могут иметь как симметрию отражения, так и симметрию вращения пятого порядка . Мостики Пенроуза названы в честь математика и физика Роджера Пенроуза , исследовавшего их в 1970-х годах.

Есть несколько различных вариантов плитки Пенроуза с разной формой плитки. Первоначальная форма плитки Пенроуза использовала плитки четырех разных форм, но позже она была уменьшена до двух форм: либо два разных ромба , либо два разных четырехугольника, называемых воздушными змеями и дротиками. Плитки Пенроуза получаются путем ограничения способов, которыми эти формы могут соответствовать друг другу. Это может быть выполнено несколькими различными способами, включая правила сопоставления, правила подстановки или конечного подразделения , схемы разрезов и проектов, а также покрытия. Даже при таком ограничении каждая вариация дает бесконечно много разных мозаик Пенроуза.

Роджер Пенроуз в фойе Института фундаментальной физики и астрономии Митчелла Техасского университета A&M стоит на полу, выложенном плиткой Пенроуза.

Плитки Пенроуза самоподобны : их можно преобразовать в эквивалентные мозаики Пенроуза с разными размерами плиток, используя процессы, называемые инфляцией и дефляцией . Образец, представленный каждым конечным участком плиток в мозаике Пенроуза, встречается бесконечно много раз на протяжении всей мозаики. Они являются квазикристаллами : реализованная в виде физической структуры мозаика Пенроуза будет создавать дифракционные картины с пиками Брэгга и пятикратной симметрией, обнаруживая повторяющиеся узоры и фиксированные ориентации плиток. ^[1] Изучение этих мозаик было важным для понимания физических материалов, которые также образуют квазикристаллы. ^[2] Плитка Пенроуза также использовалась в архитектуре и декоре, как показано на изображении напольной плитки.

Предпосылки и история [ править ]

Периодические и апериодические мозаики [ править ]

Покрытие плоской поверхности («плоскости») некоторым рисунком геометрических фигур («плиток») без нахлестов или зазоров называется укладкой плитки . Наиболее известные мозаики, такие как покрытие пола квадратами, пересекающимися от края до края, являются примерами периодических мозаик . Если квадратная плитка сдвинута на ширину плитки параллельно сторонам плитки, в результате получится тот же узор плиток, что и до сдвига. Сдвиг (формально сдвиг ), сохраняющий мозаику таким образом, называется периодом мозаики. Тайлинг называется периодическим, если у него есть периоды, которые сдвигают мозаику в двух разных направлениях. ^[3]

Плитки в квадратной плитке имеют только одну форму, а другие плитки обычно имеют только конечное количество форм. Эти формы называются прототипами , и говорят , что набор прототипов допускает мозаику или мозаику плоскости, если есть мозаика плоскости, использующая только эти формы. То есть каждая плитка в мозаике должна соответствовать одному из этих прототипов. ^[4]

Тайлинг без периодов не является периодическим . Набор прототипов называется апериодическим, если все его мозаики непериодичны, и в этом случае его мозаики также называются апериодическими мозаиками . ^[5] Мостики Пенроуза являются одними из самых простых известных примеров апериодических замощений плоскости конечными наборами прототипов. ^[3]

Самые ранние апериодические мозаики [ править ]

Тема апериодических мозаик приобрела новый интерес в 1960-х годах, когда логик Хао Ван заметил связь между проблемами решения и мозаиками. ^[7] В частности, он ввел мозаику квадратными пластинами с цветными краями, теперь известными как домино Ванга или плитки , и поставил « проблему домино »: определить, может ли данный набор домино Ванга мозаить плоскость с соответствующими цветами на соседних края домино. Он заметил, что если бы эта проблема была неразрешимой , то должен был бы существовать апериодический набор домино Ванга. В то время это казалось неправдоподобным, поэтому Ван предположил, что такого набора не может существовать.

Ученик Вана Роберт Бергер доказал неразрешимость проблемы домино (поэтому гипотеза Вана была неверной) в своей диссертации 1964 года ^[8] и получил апериодический набор из 20 426 домино Ванга. ^[9] Он также описал сокращение до 104 таких прототипов; последний не появился в его опубликованной монографии ^[10], но в 1968 году Дональд Кнут подробно описал модификацию набора Бергера, требующую всего 92 костяшек домино. ^[11]

Соответствие цветов, требуемое для мозаики домино Ванга, может быть легко достигнуто путем изменения краев плиток, как кусочки головоломки, так, чтобы они могли соответствовать друг другу только в соответствии с предписаниями окраски краев. ^[12] Рафаэль Робинсон в статье 1971 года ^[13], которая упростила методы Бергера и доказательство неразрешимости, использовал эту технику для получения апериодического набора всего из шести прототипов. ^[14]

Развитие мозаик Пенроуза [ править ]

Первая мозаика Пенроуза (мозаика P1 ниже) представляет собой апериодический набор из шести прототипов, представленный Роджером Пенроузом в статье 1974 года ^[16], основанный на пятиугольниках, а не на квадратах. Любая попытка выложить плоскость правильными пятиугольниками обязательно оставляет зазоры, но Иоганнес Кеплер в своей работе 1619 года « Harmonices Mundi» показал , что эти зазоры можно заполнить с помощью пентаграмм ( звездных многоугольников ), декагонов и связанных форм. ^[17] Следы этих идей можно найти и в творчестве Альбрехта Дюрера . ^[18]Признавая вдохновение Кеплера, Пенроуз нашел правила соответствия для этих форм, получив апериодический набор. Эти правила соответствия могут быть наложены украшениями краев, как в случае с плитками Ванга. Замощение Пенроуза можно рассматривать как завершение конечного шаблона Aa Кеплера . ^[19]

Впоследствии Пенроуз сократил количество прототипов до двух, обнаружив мозаику воздушного змея и дротика (мозаика P2 ниже) и мозаика ромба (мозаика P3 ниже). ^[20] Ромбовидная мозаика была независимо открыта Робертом Амманом в 1976 году. ^[21] Пенроуз и Джон Х. Конвей исследовали свойства мозаик Пенроуза и обнаружили, что свойство замещения объясняет их иерархическую природу; их результаты были опубликованы Мартином Гарднером в его январской 1977 г. колонке « Математические игры » в журнале Scientific American . ^[22]

В 1981 г. Н.Г. Де Брёйн предложил два разных метода построения мозаик Пенроуза. «Многосеточный метод» Де Бреен получает мозаики Пенроуза как на двойственные графы из механизмов пяти семейств параллельных линий. В его «методе разреза и проекции» мозаики Пенроуза получаются как двумерные проекции пятимерной кубической структуры. В этих подходах мозаика Пенроуза рассматривается как набор точек, его вершины, а плитки - это геометрические формы, полученные путем соединения вершин с ребрами. ^[23]

Плитки Пенроуза [ править ]

Три типа мозаики Пенроуза, P1 – P3, описаны ниже по отдельности. ^[24] У них много общих черт: в каждом случае плитки состоят из форм, связанных с пятиугольником (и, следовательно, с золотым сечением ), но основные формы плиток должны быть дополнены правилами сопоставления , чтобы мозаика была апериодической. Эти правила могут быть описаны с помощью помеченных вершин или ребер или узоров на гранях плитки; в качестве альтернативы профиль кромки может быть изменен (например, за счет углублений и выступов) для получения апериодического набора прототипов. ^{[9] [25]}

Оригинальная пятиугольная плитка Пенроуза (P1) [ править ]

Первая плитка Пенроуза использует пятиугольники и три другие формы: пятиконечную «звезду» (пентаграмму), «лодку» (примерно 3/5 звезды) и «ромб» (тонкий ромб). ^[26] Чтобы гарантировать, что все мозаики непериодичны, существуют правила сопоставления, которые определяют, как плитки могут встречаться друг с другом, и есть три различных типа правил сопоставления для пятиугольных плиток. Если рассматривать эти три типа как разные прототипы, получается набор из шести прототипов. Обычно для обозначения трех разных типов пятиугольных плиток используют три разных цвета, как на рисунке вверху справа. ^[27]

Кайт и дротик (P2) [ править ]

Вторая плитка Пенроуза использует четырехугольники, называемые «воздушный змей» и «дротик», которые можно объединить в ромб. Однако правила сопоставления запрещают такую ​​комбинацию. ^[28] И воздушный змей, и дротик состоят из двух треугольников, названных треугольниками Робинсона , после заметок Робинсона 1975 года. ^[29]

• Змей четырехугольник , чьи четыре внутренних углов 72, 72, 72 и 144 градусов. Воздушный змей может быть разделен пополам по его оси симметрии, чтобы образовать пару острых треугольников Робинсона (с углами 36, 72 и 72 градуса).
• Дротика не является выпуклым четырехугольником , чьи четыре внутренних углов 36, 72, 36 и 216 градусов. Дротик можно разделить пополам вдоль своей оси симметрии, чтобы образовать пару тупых треугольников Робинсона (с углами 36, 36 и 108 градусов), которые меньше острых треугольников.

Правила соответствия можно описать несколькими способами. Один из подходов - раскрасить вершины (в два цвета, например, черный и белый) и потребовать, чтобы соседние плитки имели совпадающие вершины. ^[30] Другой - использовать шаблон дуг окружности (как показано выше слева зеленым и красным) для ограничения размещения плиток: когда две плитки имеют общий край в мозаике, шаблоны должны совпадать на этих краях. ^[20]

Эти правила часто требуют размещения определенных плиток: например, вогнутая вершина любого дротика обязательно заполняется двумя воздушными змеями. Соответствующий рисунок (центр верхнего ряда на нижнем изображении слева) назван Конвеем «тузом»; Хотя он выглядит как увеличенный змей, он не укладывается таким же образом. ^[31] Точно так же вогнутая вершина, образованная при встрече двух воздушных змеев по короткому краю, обязательно заполняется двумя дротиками (внизу справа). Фактически, существует только семь возможных способов встречи плиток в вершине; две из этих фигур, а именно «звезда» (вверху слева) и «солнце» (вверху справа), имеют 5-кратную двугранную симметрию (по поворотам и отражениям), а остальные имеют единственную ось отражения (вертикальную в изображение).Помимо туза и солнца, все эти вершинные фигуры заставляют размещать дополнительные плитки. ^[33]

Ромбовидная мозаика (P3) [ править ]

Третья плитка использует пару ромбов (часто называемых в этом контексте « ромбами ») с равными сторонами, но разными углами. ^[9] Обычные плитки в форме ромба могут использоваться для периодической мозаики на плоскости, поэтому должны быть наложены ограничения на то, как можно собирать плитки: никакие две плитки не могут образовывать параллелограмм, так как это позволит периодическое мозаичное покрытие, но это ограничение не достаточно, чтобы вызвать апериодичность, как показано на рисунке 1 выше .

Есть два вида плиток, которые можно разложить на треугольники Робинсона. ^[29]

• Тонкий ромб t имеет четыре угла с углами 36, 144, 36 и 144 градуса. Т ромба может быть разделена пополам вдоль короткой диагонали , чтобы сформировать пару острых Robinson треугольников.
• Толстый ромб T имеет углы 72, 108, 72 и 108 градусов. Т ромба может быть разделен пополам вдоль его длинной диагонали , чтобы сформировать пару тупых треугольников Робинсон; в отличие от мозаики P2, они больше, чем острые треугольники.

Правила сопоставления различают стороны плиток и влекут за собой то, что плитки могут быть сопоставлены определенными способами, но не другими. На изображении справа показаны два способа описания этих правил соответствия. В одном варианте плитки должны быть собраны таким образом, чтобы кривые на гранях совпадали по цвету и положению по краю. В другом случае плитки нужно собирать так, чтобы выступы на их краях совпадали. ^[9]

Существует 54 циклически упорядоченных комбинации таких углов, которые в сумме составляют 360 градусов в вершине, но правила мозаики допускают появление только семи из этих комбинаций (хотя одна из них возникает двумя способами). ^[34]

Различные комбинации углов и кривизны лица позволяют создавать плитки произвольной сложности, например, цыплят Пенроуза . ^[35]

Особенности и конструкции [ править ]

Золотое сечение и локальная пятиугольная симметрия [ править ]

Некоторые свойства и общие черты мозаик Пенроуза включают золотое сечение φ = (1+ √ 5 ) / 2 (приблизительно 1,618). ^{[29] [30]} Это отношение длин хорды к длинам сторон правильного пятиугольника , удовлетворяющее условию φ = 1 + 1 / φ .

Следовательно, отношение длин длинных сторон к коротким сторонам в ( равнобедренных ) треугольниках Робинсона составляет φ : 1. Отсюда следует, что отношение длины длинной стороны к короткой в ​​плитках воздушного змея и дротика также составляет φ : 1, как и отношение длин сторон к короткой диагонали в тонком ромбе t , и отношение длинных диагоналей к сторонам в толстом ромбе. T . В мозаиках P2 и P3 отношение площади большего треугольника Робинсона к меньшему составляет φ: 1, отсюда и отношение площадей воздушного змея к дротику и толстого ромба к тонкому. (В пятиугольнике слева можно найти как большие, так и меньшие тупые треугольники Робинсона: большие треугольники вверху - половины толстого ромба - имеют линейные размеры, увеличенные на φ по сравнению с маленьким заштрихованным треугольником у основания, и поэтому соотношение площадей φ ² : 1.)

Любая мозаика Пенроуза имеет локальную пятиугольную симметрию в том смысле, что в мозаике есть точки, окруженные симметричной конфигурацией плиток: такие конфигурации обладают пятикратной вращательной симметрией относительно центральной точки, а также пятью зеркальными линиями симметрии отражения, проходящими через точку , группа диэдральной симметрии . ^[9] Эта симметрия обычно сохраняет только участок плиток вокруг центральной точки, но участок может быть очень большим: Конвей и Пенроуз доказали, что всякий раз, когда цветные кривые на плитках P2 или P3 замыкаются в петлю, область внутри петля имеет пятиугольную симметрию, и, кроме того, в любой мозаике есть не более двух таких кривых каждого цвета, которые не смыкаются.^[36]

Может быть не более одной центральной точки глобальной пятикратной симметрии: если бы их было более одной, то вращение каждого вокруг другого привело бы к двум более близким центрам пятикратной симметрии, что приводит к математическому противоречию. ^[37] Есть только два тайлинга Пенроуза (каждого типа) с глобальной пятиугольной симметрией: для тайлинга P2 с помощью воздушных змеев и дротиков центральная точка является вершиной «солнце» или «звезда». ^[38]

Инфляция и дефляция [ править ]

Многие общие черты плиток Пенроуза вытекают из иерархической пятиугольной структуры, задаваемой правилами замещения : это часто называют раздуванием и дефляцией , или композицией и декомпозицией плиток или (коллекций) плиток. ^{[9] [22] [39]} Правила замены разбивают каждую плитку на более мелкие плитки той же формы, что и плитки, используемые в мозаике (и, таким образом, позволяют «составить» более крупные плитки из более мелких). Это показывает, что мозаика Пенроуза имеет масштабируемое самоподобие, и поэтому может рассматриваться как фрактал , использующий тот же процесс, что и пентафлейк . ^[40]

Пенроуза первоначально обнаружен Р1 МОЗАИЧНОЕ таким образом, путем разложения пятиугольник на шесть меньших пятиугольники (одну половину сетки из более додекаэдра ) и пять половин алмазов; Затем он заметил, что, когда он повторил этот процесс, все промежутки между пятиугольниками могли быть заполнены звездами, алмазами, лодками и другими пятиугольниками. ^[26] Повторяя этот процесс до бесконечности, он получил одно из двух мозаик P1 с пятиугольной симметрией. ^{[9] [19]}

Разложение на треугольник Робинсона [ править ]

Метод подстановки для мозаик P2 и P3 можно описать с помощью треугольников Робинсона разных размеров. Треугольники Робинсона, возникающие в мозаиках P2 (путем деления воздушных змеев и дротиков пополам), называются A-плитками, а треугольники, возникающие в мозаиках P3 (путем деления ромбов пополам), называются B-плитками. ^[29] Меньшая A-плитка, обозначенная A _S , представляет собой тупой треугольник Робинсона, в то время как большая A-плитка, A _L , острая ; Напротив, меньшая B-плитка, обозначенная B _S , представляет собой острый треугольник Робинсона, в то время как большая B-плитка, B _L , тупая.

Конкретно, если A _S имеет длину стороны (1, 1, φ ), то A _L имеет длину стороны ( φ , φ , 1). B-плитки могут быть связаны с такими A-плитками двумя способами:

• Если B _S имеет тот же размер, что и A _L, то B _L является увеличенной версией φ A _S для A _S с длинами сторон ( φ , φ , φ ²  = 1 +  φ ) - он разлагается на плитку A _{L и} плитку A _S плитка стыкуется по общей стороне длиной 1.
• Если вместо этого B _L отождествляется с A _S , то B _S является сокращенной версией (1 / φ ) A _L A _L с длинами сторон (1 / φ , 1 / φ , 1), соединяющими плитку B _{S и} плитку B _L плитка вдоль общей стороны длиной 1 тогда дает (разложение) плитку A _L.

В этих разложениях возникает двусмысленность: треугольники Робинсона можно разложить двумя способами, которые являются зеркальным отображением друг друга на (равнобедренной) оси симметрии треугольника. В мозаике Пенроуза этот выбор фиксируется правилами сопоставления. Кроме того, правила сопоставления также определяют, как меньшие треугольники в мозаике образуют более крупные. ^[29]

Отсюда следует, что мозаики P2 и P3 взаимно локально выводимы : мозаику одним набором плиток можно использовать для создания мозаики другим. Например, мозаика из воздушных змеев и дротиков может быть разделена на A-плитки, и они могут быть скомпонованы каноническим способом, чтобы сформировать B-плитки и, следовательно, ромбы. ^[15] Тайлинги P2 и P3 также взаимно локально выводимы с мозаикой P1 (см. Рисунок 2 выше ). ^[41]

Разложение B-плиток на A-плитки можно записать

B _S = A _L , B _L = A _L + A _S

(предполагая, что размер B-плиток больше), что можно резюмировать в уравнении матрицы подстановки : ^[42]

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} B_ {L} \\ B_ {S} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A_ { L} \\ A_ {S} \ end {pmatrix}} \ ,.}$

Комбинируя это с разложением увеличенных φ A-плиток на B-плитки, получаем замену

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ varphi A_ {L} \\\ varphi A_ {S} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} B_ {L} \\ B_ {S} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A_ {L} \\ A_ {S } \ end {pmatrix}} \ ,,}$

так , что расширенная плитка ф _л распадается на два A _L плитки и оном _S плитки. Правила соответствия вызывают конкретную замену: две плитки A _{L в} плитке φ A _L должны образовывать воздушный змей, и, таким образом, воздушный змей распадается на два воздушных змея и два полудротика, а дротик распадается на воздушного змея и два полузащитника. дартс. ^{[43] [44]} Увеличенные φ B-плитки распадаются на B-плитки аналогичным образом (через φ A-плитки).

Композицию и разложение можно повторять, так что, например,

${\ displaystyle \ varphi ^ {n} {\ begin {pmatrix} A_ {L} \\ A_ {S} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} ^ { n} {\ begin {pmatrix} A_ {L} \\ A_ {S} \ end {pmatrix}} \ ,.}$

Количество воздушных змеев и дротиков на n- й итерации конструкции определяется n- й степенью матрицы подстановки:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} ^ {n} = {\ begin {pmatrix} F_ {2n + 1} & F_ {2n} \\ F_ {2n} & F_ {2n- 1} \ end {pmatrix}} \ ,,}$

где F _n - n- е число Фибоначчи . Соотношение количества воздушных змеев и дротиков в любом достаточно большом мозаичном шаблоне P2 Пенроуза, следовательно, приближается к золотому сечению φ . ^[45] Аналогичный результат справедлив для отношения количества толстых ромбов к количеству тонких ромбов в мозаике Пенроуза P3. ^[43]

Дефляция для плиток P2 и P3 [ править ]

Начиная с набора плиток из заданной плитки (которая может быть одной плиткой, мозаикой плоскости или любой другой коллекцией), дефляция продолжается с последовательности шагов, называемых поколениями. В одном поколении дефляции каждая плитка заменяется двумя или более новыми плитками, которые являются уменьшенными версиями плиток, используемых в исходной мозаике. Эти правила замены гарантируют , что новые плитки будут организованы в соответствии с правилами согласования. ^[43] Повторяющиеся поколения дефляции создают мозаику исходной формы аксиомы с все меньшими и меньшими плитками.

Это правило разделения плиток является правилом разделения .

Приведенную выше таблицу следует использовать с осторожностью. Спуск половинного змейка и наполовину дротика полезен только в контексте сдува более крупной модели, как показано на дефляциях солнца и звезд. Они дают неверные результаты при применении к одиночным воздушным змеям и дротикам.

Кроме того, простое правило подразделения создает отверстия возле краев мозаики, которые видны только на верхнем и нижнем рисунках справа. Полезны дополнительные правила принуждения.

Последствия и приложения [ править ]

Инфляция и дефляция приводят к способу построения мозаики «воздушный змей и дротик» (P2) или мозаики «ромб» (P3), известной как создание «вверх-вниз» . ^{[31] [43] [44]}

Мостики Пенроуза, будучи непериодическими, не обладают трансляционной симметрией - шаблон не может быть сдвинут, чтобы соответствовать самому себе по всей плоскости. Однако любая ограниченная область, независимо от ее размера, будет повторяться бесконечное количество раз внутри мозаики. Следовательно, никакой конечный фрагмент не может однозначно определить полную мозаику Пенроуза или даже определить, какая позиция в мозаике отображается. ^[46]

Это, в частности, показывает, что количество различных мозаик Пенроуза (любого типа) несчетно бесконечно . Генерация вверх-вниз дает один метод параметризации мозаики, но другие методы используют стержни Аммана, пятиугольники или схемы разреза и проецирования. ^[43]

Связанные темы и темы [ править ]

Десятиугольные покрытия и квазикристаллы [ править ]

В 1996 году немецкий математик Петра Гуммельт продемонстрировала, что покрытие (так называемое, чтобы отличить его от неперекрывающейся мозаики), эквивалентное мозаичной плитке Пенроуза, может быть построено с использованием одной декагональной плитки, если разрешены два вида перекрывающихся областей. ^[48] Десятиугольная плитка украшена цветными пятнами, а правило покрытия допускает только те перекрытия, которые совместимы с цветом. Подходящее разложение десятиугольной плитки на воздушных змеев и дротиков превращает такое покрытие в плитку Пенроуза (P2). Точно так же мозаику P3 можно получить, вписав толстый ромб в каждый декагон; оставшееся пространство заполнено тонкими ромбиками.

Эти покрытия считались реалистичной моделью роста квазикристаллов : перекрывающиеся декагоны представляют собой «квазиэлементные ячейки», аналогичные элементарным ячейкам, из которых построены кристаллы, а правила согласования максимизируют плотность определенных атомных кластеров. ^{[47] [49]} Апериодическая природа покрытий может затруднить теоретические исследования физических свойств, таких как электронная структура, из-за отсутствия теоремы Блоха . Однако спектры квазикристаллов все еще можно вычислить с контролем ошибок. ^[50]

Связанные мозаики [ править ]

Три варианта мозаики Пенроуза взаимно локально выводимы. Выбор некоторых подмножеств из вершин мозаики P1 позволяет создавать другие непериодические мозаики. Если углы одного пятиугольника в P1 последовательно помечены цифрами 1,3,5,2,4, то во всех пятиугольниках устанавливается однозначная маркировка, причем по часовой стрелке или против часовой стрелки. Точки с одинаковой меткой определяют мозаику из треугольников Робинсона, а точки с номерами 3 и 4 на них определяют вершины мозаики Ти-и-Наветт. ^[51]

Существуют также другие связанные неэквивалентные мозаики, такие как шестиугольник-лодка-звезда и мозаики Микуллы – Рота. Например, если правила сопоставления для мозаики ромба сводятся к конкретному ограничению на углы, разрешенные в каждой вершине, получается двоичная мозаика. ^[52] Его основная симметрия также пятикратна, но это не квазикристалл. Его можно получить, украсив ромбы исходной плитки более мелкими, или применив правила подстановки, но не методом разрезания и проецирования де Брейна. ^[53]

Искусство и архитектура [ править ]

• Пятиугольный и десятиугольный узор плитки Гирих на ленте из святилища Дарб-и Имам , Исфахан , Иран (1453 г. н.э.)

• Центр транзитных перевозок Salesforce в Сан-Франциско. Наружная «оболочка» из белого алюминия перфорирована по образцу плитки Пенроуза.

Эстетическая ценность плитки уже давно оценена и остается источником интереса к ней; поэтому внешний вид (а не формальные определяющие свойства) мозаик Пенроуза привлекает внимание. Отмечено сходство с некоторыми декоративными узорами, используемыми в Северной Африке и на Ближнем Востоке; ^{[54] [55]} физики Питер Дж. Лу и Пол Стейнхардт представили доказательства того, что плитка Пенроуза лежит в основе примеров средневековых исламских геометрических узоров , таких как мозаика гирих (ремни) в святилище Дарбе -Имам в Исфахане . ^[56]

Художник Drop City Кларк Ричерт использовал ромбы Пенроуза в произведениях искусства в 1970 году, полученный путем проецирования тени ромбического триаконтаэдра на плоскость, наблюдая за встроенными «толстыми» ромбами и «тощими» ромбами, которые соединяются вместе для создания непериодической мозаики. Историк искусства Мартин Кемп заметил, что Альбрехт Дюрер набросал похожие мотивы ромбовидной плитки. ^[57]

Новый транзитный центр Transbay Transit Centre в Сан-Франциско стоимостью 2,2 миллиарда долларов имеет перфорацию в волнистой белой металлической обшивке снаружи с рисунком Пенроуза. ^[58]

Пол атриума здания Бейлисс в Университете Западной Австралии выложен плиткой Пенроуза. ^[59]

В 1979 году Университет Майами использовал плитку Пенроуза, выполненную терраццо, для украшения внутреннего двора Холла бакалавриата на факультете математики и статистики. ^[60]

Здание Эндрю Уайлса , где по состоянию на октябрь 2013 г. находился математический факультет Оксфордского университета ^[61], включает в себя часть плитки Пенроуза в качестве мощения входа. ^[62] Пешеходная часть улицы Кескускату в центре Хельсинки вымощена плиткой Пенроуза. Работа завершена в 2014 году. ^[63]

См. Также [ править ]

• Гирих черепица
• Список апериодических наборов плиток
• Плитка вертушка
• Пятиугольная черепица
• Квакваверсальная черепица

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Первоисточники [ править ]

• Бергер Р. (1966), Неразрешимость проблемы домино , Мемуары Американского математического общества, 66 , ISBN. 9780821812662.
• де Брейна, NG (1981), "Алгебраическая теория непериодических паркетов Пенроуза плоскости, I, II" (PDF) , Indagationes Mathematicae , 43 (1): 39-66, DOI : 10.1016 / 1385-7258 (81 ) 90017-2.
• Gummelt, Петра (1996), "Мозаика Пенроуза как покрытий конгруэнтных десятиугольников", Geometriae Dedicata , 62 (1), DOI : 10.1007 / BF00239998 , S2CID  120127686.
• Пенроуз, Роджер (1974), "Роль эстетики в чистых и прикладных математических исследованиях", Бюллетень Института математики и его приложений , 10 : 266ff.
• US 4133152 , Пенроуз, Роджер , «Набор плиток для покрытия поверхности», выпущенный 1979-01-09  .
• Робинсон, Р.М. (1971), «Неразрешимость и непериодичность мозаик на плоскости», Inventiones Mathematicae , 12 (3): 177–190, Bibcode : 1971InMat..12..177R , doi : 10.1007 / BF01418780 , S2CID  14259496.
• Schechtman, D .; Blech, I .; Gratias, D .; Кан, Дж. У. (1984), «Металлическая фаза с дальним ориентационным порядком и без трансляционной симметрии», Physical Review Letters , 53 (20): 1951–1953, Bibcode : 1984PhRvL..53.1951S , doi : 10.1103 / PhysRevLett.53.1951
• Ван Х. (1961), «Доказательство теорем с помощью распознавания образов II», Bell System Technical Journal , 40 : 1–42, DOI : 10.1002 / j.1538-7305.1961.tb03975.x.

Вторичные источники [ править ]

• Остин, Дэвид (2005a), «Плитки Пенроуза говорят через мили» , тематическая колонка , Провиденс: Американское математическое общество.
• Остин, Дэвид (2005b), «Плитки Пенроуза, связанные лентами» , рубрика « Провиденс»: Американское математическое общество.
• Колбрук, Мэтью; Роман, Богдан; Хансен, Андерс (2019), «Как вычислять спектры с контролем ошибок» , Physical Review Letters , 122 (25): 250201, Bibcode : 2019PhRvL.122y0201C , doi : 10.1103 / PhysRevLett.122.250201 , PMID  31347861
• Кулик, Карел; Kari, Яркко (1997), "О апериодических множеств Ван плитки", Основы информатики , Lecture Notes в области компьютерных наук, 1337 , стр 153-162,. DOI : 10.1007 / BFb0052084 , ISBN 978-3-540-63746-2
• Гарднер, Мартин (1997), Плитки Пенроуза в секретные шифры , Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-521-8. (Впервые опубликовано WH Freeman, Нью-Йорк (1989), ISBN 978-0-7167-1986-1 .) 
  • Глава 1 (стр. 1–18) представляет собой переиздание книги Гарднера, Мартина (январь 1977 г.) «Необычайная непериодическая мозаика, обогащающая теорию плиток», Scientific American , 236 (1): 110–121, Bibcode : 1977SciAm .236a.110G , DOI : 10.1038 / scientificamerican0177-110.
• Годреш, C; Лансон, Ф. (1992), «Простой пример мозаики без Пизо с пятикратной симметрией» (PDF) , Journal de Physique I , 2 (2): 207–220, Bibcode : 1992JPhy1 ... 2. .207G , DOI : 10,1051 / JP1: 1992134.
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987), Tilings and Patterns , New York: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1193-3.
• Кемп, Мартин (2005), «Наука в культуре: Уловка плиток», Nature , 436 (7049): 332, Bibcode : 2005Natur.436..332K , doi : 10.1038 / 436332a.
• Лансон, Фредерик; Биллард, Люк (1988), «Двумерная система с квазикристаллическим основным состоянием» (PDF) , Journal de Physique , 49 (2): 249–256, CiteSeerX  10.1.1.700.3611 , doi : 10.1051 / jphys: 01988004902024900.
• Лорд, EA; Ranganathan, С. (2001), "The Gummelt десятиугольник как 'квази элементарной ячейки ' " (PDF) , Acta Crystallographica , А57 (5): 531-539, CiteSeerX  10.1.1.614.3786 , DOI : 10.1107 / S0108767301007504 , PMID  11526302
• Лу, Питер Дж .; Стейнхардт, Пол Дж (2007), "декагональных и квазикристаллическом Замощения в средневековой исламской архитектуры" (PDF) , Science , 315 (5815): 1106-1110, Bibcode : 2007Sci ... 315.1106L , DOI : 10.1126 / наука .1135491 , PMID  17322056.
• Удача, R. (2000), "Дюрер-Kepler-Пенроуз: развитие пятиугольных разбиений", материалы Наука и техник , 294 (6): 263-267, DOI : 10.1016 / S0921-5093 (00) 01302-2.
• Makovicky, E. (1992), «Пятиугольная черепица 800-летней давности из Мараги, Иран, и новые разновидности апериодической черепицы, которые она вдохновила» , в I. Hargittai (ред.), Fivefold Symmetry , Сингапур – Лондон: World Scientific , стр. 67–86, ISBN 9789810206000.
• Пенроуз, Роджер (1978), "Pentaplexity" (PDF) , Eureka , 39 : 16–22. (Приведенные здесь номера страниц взяты из репродукции Penrose, R. (1979–80), «Пентаплексичность: класс непериодических мозаик плоскости», The Mathematical Intelligencer , 2 : 32–37, doi : 10.1007 / BF03024384 , S2CID 120305260 .)
• Радин, Чарльз (апрель 1996 г.), «Рецензия на книгу: квазикристаллы и геометрия» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 43 (4): 416–421
• Сенешал, Марджори (1996), Квазикристаллы и геометрия , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57541-6.
• Steinhardt, Paul J .; Чон, Хён-Чай (1996), «Более простой подход к мозаике Пенроуза с последствиями для формирования квазикристаллов», Nature , 382 (1 августа): 431–433, Bibcode : 1996Natur.382..431S , doi : 10.1038 / 382431a0 , S2CID  4354819.
• Заславский, GM; Сагдеев, Роальд З .; Усиков Д.А.; Черников, А.А. (1988), "Минимальный хаос, стохастическая ткань и структуры квазикристаллической симметрии", УМН , 31 (10): 887–915, Bibcode : 1988SvPhU..31..887Z , doi : 10.1070 / PU1988v031n10ABEH005632.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме мозаики Пенроуза .

• Вайсштейн, Эрик В. "Плитки Пенроуза" . MathWorld .
• Джон Савард, Penrose Tilings , quadibloc.com , получено 28 ноября 2009 г.
• Эрик Хван, плитка Пенроуза , intendo.net , получено 28 ноября 2009 г.
• Ф. Гелер; E. Harriss & D. Frettlöh, "Penrose Rhomb" , Tilings Encyclopedia , факультет математики, университет Билефельда , получено 28 ноября 2009 г.
• Кевин Браун, On de Bruijn Grids and Tilings , mathpages.com , получено 28 ноября 2009 г.
• Дэвид Эппштейн , «Плитки Пенроуза» , The Geometry Junkyard , ics.uci.edu/~eppstein , получено 28 ноября 2009 г. Это список дополнительных ресурсов.
• Уильям Чоу, Плитка Пенроуза в архитектуре , получено 28 декабря 2009 г.
• Просмотрщик плиток Пенроуза