Замещающая плитка

В геометрии подстановка плитки - это метод построения высокоупорядоченных мозаик . Наиболее важно то, что некоторые замены тайлов порождают апериодические мозаики, то есть мозаики , прототипы которых не допускают мозаики с трансляционной симметрией . Самые известные из них - мозаики Пенроуза . Замещающие мозаики - это частные случаи правил конечного подразделения , которые не требуют, чтобы плитки были геометрически жесткими.

Введение [ править ]

Подстановка плитки описывается набором из prototiles (плитка формы) , в расширяющейся карте и правил рассечение , показывающим , как рассекать расширенные prototiles в виде копии некоторых prototiles . Интуитивно понятно, что все более и более высокие итерации замены плитки создают мозаику плоскости, называемую мозаикой замены . Некоторые мозаики подстановки являются периодическими , они определяются как имеющие трансляционную симметрию.${\ displaystyle T_ {1}, T_ {2}, \ dots, T_ {m}}$ ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle QT_ {i}}$${\ displaystyle T_ {j}}$. Каждый тайлинг подстановки (вплоть до мягких условий) может быть «принудительно применен с помощью правил сопоставления», то есть существует набор отмеченных плиток, которые могут образовывать только те тайлы подстановки, которые генерируются системой. Замощения этих отмеченных плиток обязательно апериодичны . ^{[1] [2]}

Простой пример, который создает периодическую мозаику, имеет только один прототип, а именно квадрат:

Повторяя эту замену плитки, все большие и большие области плоскости покрываются квадратной сеткой. Более сложный пример с двумя прототипами показан ниже, где два шага взрыва и рассечения объединены в один шаг.

Можно интуитивно понять, как эта процедура приводит к замощению всей плоскости . Ниже приводится математически строгое определение. Замещающие мозаики особенно полезны как способы определения апериодических мозаик , которые представляют интерес во многих областях математики , включая теорию автоматов , комбинаторику , дискретную геометрию , динамические системы , теорию групп , гармонический анализ и теорию чисел , а также кристаллографию и химию. . В частности, знаменитая черепица Пенроуза является примером мозаики с апериодической заменой.

История [ править ]

В 1973 и 1974 годах Роджер Пенроуз открыл семейство апериодических мозаик, которые теперь называются мозаиками Пенроуза . Первое описание было дано в терминах «правил соответствия», когда прототипы рассматривались как части мозаики . Доказательство того, что копии этих прототипов могут быть собраны вместе, чтобы сформировать мозаику плоскости, но не может делать это периодически, использует конструкцию, которая может быть брошена в качестве замены мозаики прототипов. В 1977 году Роберт Амманн обнаружил ряд наборов апериодических прототипов, т. Е. Прототипов с правилами сопоставления, вызывающими непериодические мозаики; в частности, он заново открыл первый пример Пенроуза. Эта работа оказала влияние на ученых, занимающихся кристаллографией., что в конечном итоге привело к открытию квазикристаллов . В свою очередь, интерес к квазикристаллам привел к открытию нескольких хорошо упорядоченных апериодических мозаик. Многие из них можно легко описать как подстановочные плитки.

Математическое определение [ править ]

Мы будем рассматривать регионы в которые хорошо себя вели , в том смысле , что область является непустое компактное подмножество, является закрытие его интерьера .${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {d}}$

В качестве прототипов берем набор регионов . Размещения из prototile пара , где есть изометрия из . Изображение называется областью размещения. Черепица Т представляет собой набор prototile размещений , чьи области имеют попарно непересекающиеся интерьеры. Мы говорим , что облицовочная T является разбиением W где W является объединение областей размещения в T .${\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ {T_ {1}, T_ {2}, \ dots, T_ {m} \}}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle (T_ {i}, \ varphi)}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {d}}$${\displaystyle \varphi (T_{i})}$

В литературе под заменой плитки часто дается неточное определение. Ниже приводится точное определение. ^[3]

Плитки замена по отношению к prototiles Р представляет собой пару , где есть линейное отображение , у которых все собственные значения больше , чем один по модулю, вместе с правилом подстановки , который отображает каждый в разбиении . Правило подстановки индуцирует отображение любого замощения T области W на замощение области , определяемое формулой${\displaystyle (Q,\sigma )}$${\displaystyle Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d}}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle QT_{i}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma (\mathbf {T} )}$${\displaystyle Q_{\sigma }(\mathbf {W} )}$

${\displaystyle \sigma (\mathbf {T} )=\bigcup _{(T_{i},\varphi )\in \mathbf {T} }\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ Q^{-1}\circ \rho ):(T_{j},\rho )\in \sigma (T_{i})\}.}$

Обратите внимание, что прототипы могут быть выведены из замены плитки. Следовательно, нет необходимости включать их в замену плитки . ^[4]${\displaystyle (Q,\sigma )}$

Каждый тайлинг , где любая его конечная часть конгруэнтен некоторому подмножеству , называется замощением подстановки (для подстановки тайла ).${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d}}$${\displaystyle \sigma ^{k}(T_{i})}$${\displaystyle (Q,\sigma )}$

См. Также [ править ]

• Вертушка плитки
• Фотографическая мозаика

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, Валери ; Ференци, Себастьен; Mauduit, Christian; Сигель, А. (ред.). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. 1794 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44141-7. Zbl  1014.11015 .

Внешние ссылки [ править ]

• Энциклопедия подстановочных плиток Дирка Фреттлёха и Эдмунда Харрисса