Универсальная теорема вложения , или теорема универсальное вложение Краснера-Калужнина , является теоремой из математической дисциплины теории групп первой опубликованной в 1951 году Марк Краснера и Лев Kaluznin . [1] Теорема утверждает , что любая группа расширения из группы Н посредством группы А изоморфна подгруппе регулярного сплетения Wr H . Теорема названа в честь того факта, что группа A Wr H называется универсальной относительно всех расширений группыН от А .
Заявление
Пусть H и быть группы, пусть K = H множество всех функций из Н в А , и рассмотрим действие на H на себя правым умножением. Это действие естественным образом продолжается до действия H на K, определяемого формулой где и г и ч оба в H . Это автоморфизм K , поэтому мы можем определить полупрямое произведение K ⋊ H, которое называется регулярным сплетением и обозначается A Wr H илиГруппа K = A H (изоморфная) называется базовой группой сплетения.
Краснер-Калужнин универсальной теоремы вложения утверждает , что если G имеет нормальную подгруппу A и H = G / , то есть инъективный гомоморфизм групптакое, что A сюръективно отображается на[2] Это эквивалентно сплетение Wr Н , имеющое подгруппаизоморфная G , где G является любым расширением Н от А .
Доказательство
Это доказательство принадлежит Диксон-Мортимер. [3]
Определить гомоморфизм чье ядро . Выбрать наборпредставителей (правых) смежных классов группы A в G , гдеТогда для всех х в G , Для каждого х в G , определим функцию F х : Н → таким образом, что Тогда вложение дан кем-то
Теперь докажем, что это гомоморфизм. Если x и y принадлежат G , то Сейчас так что для всех u в H ,
так что f x f y = f xy . Следовательно является требуемым гомоморфизмом.
Гомоморфизм инъективен. Еслитогда как f x ( u ) = f y ( u ) (для всех u ), так и потом но мы можем отменить t u ис обеих сторон, поэтому x = y , следовательно,инъективно. Ну наконец то, именно когда другими словами, когда (в виде ).
- Теорема Крона – Родса является утверждением, аналогичным универсальной теореме вложения, но для полугрупп . Полугруппы S является делителем полугруппы T , если это изображение из подполугруппы из Т под гомоморфизмом. Теорема утверждает, что каждая конечная полугруппа S является делителем конечного альтернированного сплетения конечных простых групп (каждая из которых является делителем S ) и конечных апериодических полугрупп .
- Существует альтернативная версия теоремы, для которой требуются только группа G и подгруппа A (не обязательно нормальная). [4] В этом случае G изоморфна подгруппе регулярного сплетения A Wr ( G / Core ( A )).
Рекомендации
- ^ Калужнин & Краснер (1951а) .
- ↑ Диксон и Мортимер (1996 , с. 47).
- ^ Диксон и Мортимер (1996 , стр. 47–48).
- ^ Калужнин & Краснер (1951б) .
Библиография
- Диксон, Джон; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок . Springer. ISBN 978-0387945996.
- Калужнин, Лев; Краснер, Марк (1951a). "Завершенный продукт групп перестановок и проблем расширения групп II" . Acta Sci. Математика. Сегед . 14 : 39–66.
- Калужнин, Лев; Краснер, Марк (1951b). "Завершенный продукт групп перестановок и проблем расширения групп III" . Acta Sci. Математика. Сегед . 14 : 69–82.
- Прегер, Шерил; Шнайдер, Чаба (2018). Группы перестановок и декартовы разложения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521675062.