В математике , особенно в абстрактной алгебре , теоремы об изоморфизме (также известные как теоремы Нётер об изоморфизме ) представляют собой теоремы, которые описывают отношения между частными , гомоморфизмами и подобъектами . Существуют версии теорем для групп , колец , векторных пространств , модулей , алгебр Ли и различных других алгебраических структур . В универсальной алгебре теоремы об изоморфизме могут быть обобщены на контекст алгебр исравнения .
История
Теоремы об изоморфизмах были сформулированы в некоторой общности для гомоморфизмов модулей Эмми Нётер в ее статье Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , которая была опубликована в 1927 году в Mathematische Annalen . Менее общие версии этих теорем можно найти в работе Ричарда Дедекинда и предыдущих статьях Нётер.
Три года спустя, Б. Л. ван дер Вардена опубликовал свою влиятельную алгебру, первый абстрактную алгебру учебник , который устранял группу - кольца - поля подхода к предмету. Ван дер Варден использовал лекции Нётер по теории групп и Эмиля Артина по алгебре, а также семинар по идеалам, проведенный Артином, Вильгельмом Блашке , Отто Шрайером и самим ван дер Варденом по идеалам в качестве основных источников. Три теоремы об изоморфизме, называемые теоремой о гомоморфизме , и два закона изоморфизма в применении к группам, появляются явно.
Группы
Сначала приведем теоремы об изоморфизме групп .
Обратите внимание на номера и имена
Ниже мы представляем четыре теоремы, обозначенные A, B, C и D. Они часто нумеруются как «Первая теорема об изоморфизме», «Вторая ...» и так далее; однако единого мнения о нумерации нет. Здесь мы приводим некоторые примеры теорем об изоморфизме групп (обратите внимание, что эти теоремы имеют аналоги для колец и модулей.) В литературе:
Автор | Теорема А | Теорема B | Теорема C | |
---|---|---|---|---|
Никакой "третьей" теоремы | Якобсон [1] | Основная теорема гомоморфизмов | (вторая теорема об изоморфизме) | « часто называют первой теоремой об изоморфизме » |
ван дер Варден, [2] Дурбин [4] | Основная теорема гомоморфизмов | первая теорема об изоморфизме | вторая теорема об изоморфизме | |
Кнапп [5] | (без имени) | Вторая теорема об изоморфизме | Первая теорема об изоморфизме | |
Решетка [6] | Теорема о гомоморфизме | Вторая теорема об изоморфизме | Первая теорема об изоморфизме | |
Три пронумерованные теоремы | (Другое соглашение, упомянутое в Grillet) | Первая теорема об изоморфизме | Третья теорема об изоморфизме | Вторая теорема об изоморфизме |
Ротман [7] | Первая теорема об изоморфизме | Вторая теорема об изоморфизме | Третья теорема об изоморфизме | |
Без нумерации | Милн [8] | Теорема о гомоморфизме | Теорема об изоморфизме | Теорема о соответствии |
Скотт [9] | Теорема о гомоморфизме | Теорема об изоморфизме | Теорема первокурсника |
Реже включать теорему D, обычно известную как « решеточная теорема » или «теорема соответствия», в одну из теорем об изоморфизме, но когда они это делают, это последняя.
Формулировка теорем
Теорема А (группы)
Пусть G и H - группы, и пусть f : G → H - гомоморфизм . Потом:
- Ядро из F является нормальной подгруппой в G ,
- Изображения из F является подгруппой из H , и
- Образ F является изоморфной к фактор - группа G / кег ( ф ).
В частности, если F является сюръективным , то Н изоморфна G / кег ( ф ).
Теорема B (группы)
Позволять быть группой. Позволять быть подгруппой , и разреши нормальная подгруппа . Тогда имеет место следующее:
- продукт является подгруппой ,
- пересечение нормальная подгруппа , а также
- Фактор-группы а также изоморфны.
Технически в этом нет необходимости быть нормальной подгруппой, пока является подгруппой нормализатора из в . В этом случае пересечение не является нормальной подгруппой , но это все еще нормальная подгруппа .
Эту теорему иногда называют «теоремой об изоморфизме» [8], «теоремой алмаза» [10] или «теоремой о параллелограмме». [11]
Применение второй теоремы об изоморфизме определяет проективные линейные группы : например, группа на комплексной проективной прямой начинается с положения, группа обратимых комплексных матриц 2 × 2, , подгруппа детерминантных 1-матриц и нормальная подгруппа скалярных матриц , у нас есть , где - единичная матрица, а . Тогда вторая теорема об изоморфизме утверждает, что:
Теорема C (группы)
Позволять быть группой, и нормальная подгруппа . потом
- Если является подгруппой такой, что , тогда имеет подгруппу, изоморфную .
- Каждая подгруппа имеет форму для какой-то подгруппы из такой, что .
- Если нормальная подгруппа такой, что , тогда имеет нормальную подгруппу, изоморфную.
- Каждая нормальная подгруппа группы имеет форму , для некоторой нормальной подгруппы из такой, что .
- Если нормальная подгруппа такой, что , то фактор-группа изоморфен .
Теорема D (группы)
Теорема о соответствии (также известная как теорема о решетке) иногда называют третьей или четвертой теоремой об изоморфизме.
Цассенхауз лемма (также известный как бабочки лемма) иногда называют теоремой четвертого изоморфизма. [ необходима цитата ]
Обсуждение
Первую теорему об изоморфизме можно выразить на языке теории категорий , сказав, что категория групп является (нормальной эпи, моно) -факторизуемой; другими словами, нормальные эпиморфизмы и мономорфизмы образуют систему факторизации для категории. Это отражено в коммутативной диаграмме на полях, где показаны объекты и морфизмы, существование которых можно вывести из морфизма.. Диаграмма показывает, что каждый морфизм в категории групп имеет ядро в теоретико-категориальном смысле; произвольный морфизм f разлагается на, где ι - мономорфизм, а π - эпиморфизм (в конормальной категории все эпиморфизмы нормальны). На схеме это представлено объектом и мономорфизм (ядра всегда являются мономорфизмами), которые завершают короткую точную последовательность, идущую от нижнего левого угла до верхнего правого угла диаграммы. Использование соглашения о точной последовательности избавляет нас от необходимости выводить нулевые морфизмы из к а также .
Если последовательность правосторонняя (т. Е. Существует морфизм σ , отображающийв π -прообраз самого себя), то G является полупрямым произведением нормальной подгруппы и подгруппа . Если он разделен слева (т. Е. Существует некоторая такой, что ), то он также должен быть разделен вправо, и является разложением G в прямое произведение . В общем, наличие правого расщепления не означает существования левого расщепления; но в абелевой категории (такой как абелевы группы) левое и правое расщепления эквивалентны по лемме о расщеплении , и правого расщепления достаточно, чтобы произвести разложение прямой суммы. В абелевой категории все мономорфизмы также нормальны, и диаграмма может быть расширена второй короткой точной последовательностью.
Во второй теореме изоморфизма, продукт С.Н. является присоединиться к из S и N в решетке подгрупп из G , а пересечение S ∩ N является встречаются .
Третья теорема об изоморфизме обобщается с помощью девяти лемм на абелевы категории и более общие отображения между объектами.
Кольца
Формулировки теорем для колец аналогичны, с заменой понятия нормальной подгруппы понятием идеала .
Теорема A (кольца)
Пусть R и S - кольца, а φ : R → S - гомоморфизм колец . Потом:
- Ядро из ф является идеалом R ,
- Изображения из ф является Подкольцо из S , и
- Образ φ изоморфен факторкольцу R / ker ( φ ).
В частности, если φ является сюръективны , то S изоморфна R / кег ( ф ).
Теорема B (кольца)
Пусть R - кольцо. Пусть S подкольцо R , и пусть я идеал в R . Потом:
- Сумма S + I = { s + i | s ∈ S , i ∈ I } - подкольцо в R ,
- Пересечение S ∩ I является идеалом S , и
- Факторкольца ( S + I ) / I и S / ( S ∩ I ) изоморфны.
Теорема C (кольца)
Пусть R некоторое кольцо, и я идеал R . потом
- Если это подкольцо такой, что , тогда это подкольцо .
- Каждое подкольцо имеет форму , для некоторого подкольца из такой, что .
- Если это идеал такой, что , тогда это идеал .
- Каждый идеал имеет форму , для какого-то идеального из такой, что .
- Если это идеал такой, что , то факторкольцо изоморфен .
Теорема D (кольца)
Позволять быть идеалом . Переписка - сохраняющая включение биекция между множеством подколец из которые содержат и набор подколец . Более того, (вложенное кольцо, содержащее ) является идеалом если и только если это идеал . [12]
Модули
Утверждения теорем об изоморфизме для модулей особенно просты, поскольку из любого подмодуля можно образовать фактор-модуль . Теоремы об изоморфизме векторных пространств (модулей над полем) и абелевых групп (модулей над полем)) являются их частными случаями. Для конечномерных векторных пространств все эти теоремы следуют из теоремы ранга – нули .
В дальнейшем, «модуль» будет означать « R - модуль» для некоторого фиксированного кольца R .
Теорема A (модули)
Пусть M и N - модули, а φ : M → N - гомоморфизм модулей . Потом:
- Ядро из ф есть подмодуль М ,
- Изображения из ф есть подмодуль N , и
- Образ φ изоморфен фактор-модулю M / ker ( φ ).
В частности, если φ сюръективен, то N изоморфен M / ker ( φ ).
Теорема B (модули)
Пусть М будет модуль, и пусть S и T подмодули М . Потом:
- Сумма S + T = { s + t | s ∈ S , t ∈ T } - подмодуль M ,
- Пересечение S ∩ T является подмодулем в M , и
- Фактормодули ( S + T ) / T и S / ( S ∩ T ) изоморфны.
Теорема C (модули)
Пусть М будет модуль, Т подмодуль М .
- Если является подмодулем такой, что , тогда является подмодулем .
- Каждый подмодуль имеет форму , для некоторого подмодуля из такой, что .
- Если является подмодулем такой, что , то фактормодуль изоморфен .
Теорема D (модули)
Позволять быть модулем, подмодуль . Между подмодулями которые содержат и подмодули . Соответствие дается для всех . Это соответствие коммутирует с процессами суммирования и пересечений (т. Е. Является решеточным изоморфизмом между решеткой подмодулей модуля и решетка подмодулей которые содержат ). [13]
Универсальная алгебра
Чтобы обобщить это на универсальную алгебру , нормальные подгруппы необходимо заменить отношениями конгруэнтности .
Конгруэнции на алгебре является отношением эквивалентности который образует подалгебру рассматривается как алгебра с покомпонентными операциями. Можно составить множество классов эквивалентностив алгебру того же типа путем определения операций через представителей; это будет четко определено, так как является подалгеброй . Полученная структура - фактор-алгебра .
Теорема А (универсальная алгебра)
Позволять - гомоморфизм алгебр . Тогда образ является подалгеброй , соотношение, заданное формулой (то есть ядро из) является конгруэнцией на , а алгебры а также изоморфны. (Обратите внимание, что в случае группы если только , поэтому в этом случае восстанавливается понятие ядра, используемое в теории групп.)
Теорема B (универсальная алгебра)
Учитывая алгебру , подалгебра из , и сравнение на , позволять быть следом в а также набор классов эквивалентности, которые пересекаются . потом
- это сравнение на ,
- является подалгеброй , а также
- алгебра изоморфна алгебре .
Теорема C (универсальная алгебра)
Позволять быть алгеброй и два отношения конгруэнтности на такой, что . потом это сравнение на , а также изоморфен .
Теорема D (универсальная алгебра)
Позволять - алгебра и обозначим набор всех сравнений на . Наборполная решетка, упорядоченная по включению. [14] Если является конгруэнцией, и мы обозначим через множество всех сравнений, содержащих (т.е. главный фильтр в, к тому же это подрешетка), то отображение является решеточным изоморфизмом. [15] [16]
Примечание
- ^ Якобсон (2009), сек 1.10
- ^ Ван дер Варден, Алгебра (1994).
- ^ Дурбин (2009), сек. 54
- ^ [имена] по сути такие же, как [van der Waerden 1994] [3]
- ^ Кнапп (2016), сек IV 2
- ^ Грийе (2007), сек. Я 5
- ^ Ротман (2003), сек. 2,6
- ^ a b Милн (2013), гл. 1 сек. Теоремы о гомоморфизмах
- ^ Скотт (1964), разделы 2.2 и 2.3
- ^ I. Мартин Айзекс (1994). Алгебра: аспирантура . American Mathematical Soc. п. 33 . ISBN 978-0-8218-4799-2.
- ^ Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра . Вайли. п. 245 . ISBN 978-0-471-87731-8.
- ^ Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 246 . ISBN 978-0-471-43334-7.
- ^ Даммит и Фут (2004), стр. 349
- ^ Стэнли и Санкаппанавар (2012), стр. 37
- ^ Стэнли и Санкаппанавар (2012), стр. 49
- ^ Уильям Сан, ( https://math.stackexchange.com/users/413924/william-sun ). «Есть ли общая форма теоремы о соответствии?» . Математика StackExchange . Проверено 20 июля 2019 .
Рекомендации
- Эмми Нётер , Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , Mathematische Annalen 96 (1927), стр. 26–61
- Колин Макларти , "Теоретическая топология множеств Эмми Нётер: от Дедекинда до появления функторов". Архитектура современной математики: очерки истории и философии (под редакцией Джереми Грея и Хосе Феррейроса), Oxford University Press (2006), стр. 211–35.
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 9780486471891
- Пол М. Кон, Универсальная алгебра , Глава II.3 с. 57
- Милн, Джеймс С. (2013), Теория групп , 3.13
- van der Waerden, BI (1994), Algebra , 1 (9-е изд.), Springer-Verlag
- Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-471-43334-7.
- Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, HP (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
- WR Скотт (1964), Теория групп , Прентис Холл
- Джон Р. Дурбин (2009). Современная алгебра: введение (6 -е изд.). Вайли. ISBN 978-0-470-38443-5.
- Энтони В. Кнапп (2016), Основы алгебры (цифровое второе изд.)
- Пьер Антуан Грийе (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer
- Джозеф Дж. Ротман (2003), Advanced Modern Algebra (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN 0130878685