Алгебра физического пространства

В физике , то алгебра физического пространства (APS) является использование Клиффорда или геометрической алгебры Cl _3,0 ( R ) в трехмерном евклидовом пространстве в качестве модели для (3 + 1) n - мерного пространства - времени , представляющей собой точку в пространстве-времени через паравектор (3-мерный вектор плюс 1-мерный скаляр).

Алгебра Клиффорда Cl _3,0 ( R ) имеет точное представление , порожденное матрицами Паули , на спиновом представлении C ² ; далее Cl _3,0 ( R ) изоморфна четной подалгебре Cl^[0]
_3,1( R ) алгебры Клиффорда Cl _3,1 ( R ).

APS можно использовать для построения компактного, унифицированного и геометрического формализма как для классической, так и для квантовой механики.

APS не следует путать с алгеброй пространства-времени (STA), которая касается алгебры Клиффорда Cl _1,3 ( R ) четырехмерного пространства-времени Минковского .

Специальная теория относительности [ править ]

Паравектор положения в пространстве-времени [ править ]

В APS положение в пространстве-времени представлено как паравектор

${\ displaystyle x = x ^ {0} + x ^ {1} \ mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} \ mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} \ mathbf {e } _ {3},}$

где время задается скалярной частью x ⁰ = t , а e ₁ , e ₂ , e ₃ являются стандартным базисом для позиционного пространства. Повсюду используются такие единицы, что c = 1 , называемые натуральными единицами . В матричном представлении Паули единичные базисные векторы заменяются матрицами Паули, а скалярная часть - единичной матрицей. Это означает, что матричное представление положения в пространстве-времени Паули имеет вид

${\ displaystyle x \ rightarrow {\ begin {pmatrix} x ^ {0} + x ^ {3} && x ^ {1} -ix ^ {2} \\ x ^ {1} + ix ^ {2} && x ^ { 0} -x ^ {3} \ end {pmatrix}}}$

Преобразования Лоренца и роторы [ править ]

Ограниченные преобразования Лоренца, которые сохраняют направление времени и включают в себя повороты и ускорения, могут выполняться возведением в степень бипаравектора вращения пространства-времени W

${\displaystyle L=e^{{\frac {1}{2}}W}.}$

В матричном представлении ротор Лоренца образует экземпляр группы SL (2, C ) ( специальная линейная группа степени 2 над комплексными числами ), которая является двойным покрытием группы Лоренца . Унимодулярность ротора Лоренца переводится в следующее условие в терминах произведения ротора Лоренца на его сопряжение Клиффорда

${\displaystyle L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.}$

Этот ротор Лоренца всегда можно разложить на два фактора: один эрмитов B = B ^† , а другой унитарный R ^† = R ⁻¹ , так что

${\displaystyle L=BR.}$

Унитарный элемент R называется ротором, потому что он кодирует вращения, а эрмитов элемент B кодирует повышения.

Четырехскоростной паравектор [ править ]

Четыре-скорость , которая также называется собственно скоростью , определяются как производная от положения пространства - времени паравектора относительно надлежащего времени т :

${\displaystyle u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].}$

Это выражение можно привести к более компактному виду, определив обычную скорость как

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),}$

и напоминая определение гамма-фактора :

${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},}$

так что собственная скорость будет более компактной:

${\displaystyle u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).}$

Собственная скорость - это положительный унимодулярный паравектор, из которого вытекает следующее условие в терминах сопряжения Клиффорда

${\displaystyle u{\bar {u}}=1.}$

Собственная скорость трансформируется под действием ротора Лоренца L как

${\displaystyle u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.}$

Четырехимпульсный паравектор [ править ]

Четыре-импульс в APS может быть получен путем умножения надлежащей скорости с массой , как

${\displaystyle p=mu,}$

с условием массовой оболочки, переведенным в

${\displaystyle {\bar {p}}p=m^{2}.}$

Классическая электродинамика [ править ]

Электромагнитное поле, потенциал и ток [ править ]

Электромагнитное поле представлено в виде би-паравектор F :

${\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,}$

с эрмитовой части , представляющей электрического поля Е и анти-эрмитову часть , представляющую магнитное поле B . В стандартном матричном представлении Паули электромагнитное поле имеет вид:

${\displaystyle F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.}$

Источником поля F является электромагнитная четверка :

${\displaystyle j=\rho +\mathbf {j} \,,}$

где скалярная часть равна плотности электрического заряда ρ , а векторная часть - плотности электрического тока j . Представляем паравектор электромагнитного потенциала, определяемый как:

${\displaystyle A=\phi +\mathbf {A} \,,}$

в которой скалярная часть равна электрический потенциал ф , а вектор отчасти магнитный потенциал A . Электромагнитное поле также:

${\displaystyle F=\partial {\bar {A}}.}$

Поле можно разделить на электрическое.

${\displaystyle E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}}$

и магнитный

${\displaystyle B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}}$

составные части. Где

${\displaystyle \partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}}$

и F инвариантно относительно калибровочного преобразования вида

${\displaystyle A\rightarrow A+\partial \chi \,,}$

где - скалярное поле .${\displaystyle \chi }$

Электромагнитное поле ковариантно относительно преобразований Лоренца по закону

${\displaystyle F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.}$

Уравнения Максвелла и сила Лоренца [ править ]

Уравнения Максвелла можно выразить одним уравнением:

${\displaystyle {\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,}$

где черта сверху представляет собой сопряжение Клиффорда .

Уравнение силы Лоренца принимает вид

${\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.}$

Электромагнитный лагранжиан [ править ]

Электромагнитный лагранжиан является

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,}$

который является действительным скалярным инвариантом.

Релятивистская квантовая механика [ править ]

Уравнение Дирака для электрически заряженной частицы массы m и заряда e принимает вид:

${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger }}$,

где e ₃ - произвольный унитарный вектор, а A - электромагнитный паравекторный потенциал, как указано выше. Электромагнитное взаимодействие было включено с помощью минимальной связи с точки зрения потенциальной А .

Классический спинор [ править ]

Дифференциальное уравнение ротора Лоренца , что согласуется с силой Лоренца

${\displaystyle {\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,}$

такая, что собственная скорость вычисляется как преобразование Лоренца собственной скорости в состоянии покоя

${\displaystyle u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },}$

которые могут быть интегрированы для нахождения пространственно-временной траектории с дополнительным использованием ${\displaystyle x(\tau )}$

${\displaystyle {\frac {dx}{d\tau }}=u.}$

См. Также [ править ]

• Paravector
• Мультивектор
• викиучебники: Физика на языке геометрической алгебры. Подход с алгеброй физического пространства
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства

Ссылки [ править ]

Учебники [ править ]

• Бейлис, Уильям (2002). Электродинамика: современный геометрический подход (2-е изд.). ISBN 0-8176-4025-8.
• Бейлис, Уильям, изд. (1999) [1996]. Клиффордские (геометрические) алгебры: с приложениями к физике, математике и технике . Springer. ISBN 978-0-8176-3868-9.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007) [2003]. Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-64314-6.
• Хестенес, Дэвид (1999). Новые основы классической механики (2-е изд.). Kluwer. ISBN 0-7923-5514-8.

Статьи [ править ]

• Бейлис, WE (2004). «Относительность во вводной физике». Канадский журнал физики . 82 (11): 853–873. arXiv : физика / 0406158 . Bibcode : 2004CaJPh..82..853B . DOI : 10.1139 / p04-058 . S2CID  35027499 .
• Baylis, WE; Джонс, Г. (7 января 1989 г.). "Подход алгебры Паули к специальной теории относительности". Журнал физики A: математический и общий . 22 (1): 1–15. Bibcode : 1989JPhA ... 22 .... 1B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 22/1/008 .
• Бейлис, WE (1 марта 1992 г.). «Классические собственные спины и уравнение Дирака». Physical Review . 45 (7): 4293–4302. Bibcode : 1992PhRvA..45.4293B . DOI : 10.1103 / physreva.45.4293 . PMID  9907503 .
• Baylis, WE; Яо, Ю. (1 июля 1999 г.). «Релятивистская динамика зарядов в электромагнитных полях: собственный спинорный подход». Physical Review . 60 (2): 785–795. Bibcode : 1999PhRvA..60..785B . DOI : 10.1103 / physreva.60.785 .