Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Июль 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , то стандартный базис (также называемый естественный базис ) из координат векторного пространства является множество векторов, координаты которых равны нулю, кроме одного , который равен 1. Например, в случае евклидовой плоскости , образованной парами ( х , у ) из действительных чисел , стандартный базис образован векторами
Точно так же стандартную основу трехмерного пространства составляют векторы
Здесь вектор e x указывает в направлении x , вектор e y указывает в направлении y , а вектор e z указывает в направлении z . Существует несколько общих обозначений для векторов стандартного базиса, включая { e x , e y , e z }, { e 1 , e 2 , e 3 }, { i , j , k } и { x , y , z }. Эти векторы иногда пишутся шляпой, чтобы подчеркнуть их статус единичных векторов ( стандартных единичных векторов ).
Эти векторы являются базисом в том смысле, что любой другой вектор может быть однозначно выражен как их линейная комбинация . Например, каждый вектор v в трехмерном пространстве можно однозначно записать как
в скаляры V х , V у , V г , являющийся скалярные компоненты вектора V .
В n - мерном евклидовом пространстве стандартный базис состоит из n различных векторов
где e i обозначает вектор с единицей в i- й координате и нулями в другом месте.
Стандартные базисы могут быть определены для других векторных пространств , определение которых включает коэффициенты, такие как полиномы и матрицы . В обоих случаях стандартный базис состоит из таких элементов пространства, что все коэффициенты, кроме одного, равны 0, а ненулевой - 1. Таким образом, для полиномов стандартный базис состоит из мономов и обычно называется мономиальным базисом . Для матриц стандартный базис состоит из m × n -матриц ровно с одним ненулевым элементом, который равен 1. Например, стандартный базис для матриц 2 × 2 формируется четырьмя матрицами.
Свойства [ править ]
По определению, стандартный базис является последовательностью из ортогональных единичных векторов . Другими словами, это упорядоченный и ортонормированный базис.
Однако упорядоченный ортонормированный базис не обязательно является стандартным. Например, два вектора, представляющие поворот на 30 ° стандартного 2D-базиса, описанного выше, т.е.
также являются ортогональными единичными векторами, но они не выровнены с осями декартовой системы координат , поэтому базис с этими векторами не соответствует определению стандартного базиса.
Обобщения [ править ]
Существует стандартное основание и для кольца многочленов в п неизвестных над полем , а именно мономы .
Все вышесказанное - частные случаи семьи
где - любое множество, а - символ Кронекера , равный нулю, если i ≠ j, и равный 1, если i = j . Это семейство является каноническим базисом R -модуля ( свободного модуля )
всех семей
от I в кольце R , которые равны нулю для конечного числа индексов , за исключением, если интерпретировать 1 как 1 R , блок в R .
Другое использование [ править ]
Существование других «стандартных» базисов стало предметом интереса в алгебраической геометрии , начиная с работ Ходжа 1943 г. о грассманианах . Теперь это часть теории представлений, называемая стандартной теорией мономов . Идея стандартного базиса в универсальной обертывающей в виде алгебры Ли устанавливается теоремой Пуанкаре-Биркгофа-Витта .
Базы Грёбнера также иногда называют стандартными.
В физике стандартные базисные векторы для данного евклидова пространства иногда называют версорами осей соответствующей декартовой системы координат.
См. Также [ править ]
- Канонические единицы
- Примеры векторных пространств § Обобщенное координатное пространство
Ссылки [ править ]
- Райан, Патрик Дж. (2000). Евклидова и неевклидова геометрия: аналитический подход . Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-27635-7. (стр.198)
- Шнайдер, Филип Дж .; Эберли, Дэвид Х. (2003). Геометрические инструменты для компьютерной графики . Амстердам; Бостон: Издательство Морган Кауфманн. ISBN 1-55860-594-0. (стр.112)