Поле (математика)

Регулярный угольник не может быть построен с использованием только угольника и циркулем строительства ; это можно доказать, используя поле конструктивных чисел .

В математике , поле представляет собой набор , на котором сложение , вычитание , умножение и деление определены и ведут себя , как соответствующие операции на рациональных и действительных чисел делать. Таким образом, поле представляет собой фундаментальную алгебраическую структуру, которая широко используется в алгебре , теории чисел и многих других областях математики.

Наиболее известные поля - это поле рациональных чисел , поле действительных чисел и поле комплексных чисел . Многие другие области, такие как области рациональных функций , полей алгебраических функций , полей алгебраических чисел и р -адических полей обычно используются и изучены в математике, в частности , в теории чисел и алгебраической геометрии . Большинство криптографических протоколов полагаются на конечные поля , т. Е. Поля с конечным числом элементов .

Связь двух полей выражается понятием расширения поля . Теория Галуа , начатая Эваристом Галуа в 1830-х годах, посвящена пониманию симметрии расширений полей. Среди других результатов эта теория показывает, что трисекцию угла и квадратуру окружности нельзя выполнить с помощью циркуля и линейки . Более того, он показывает, что уравнения пятой степени алгебраически неразрешимы.

Поля служат основополагающими понятиями в нескольких математических областях. Сюда входят различные разделы математического анализа , основанные на полях с дополнительной структурой. Основные теоремы анализа зависят от структурных свойств поля действительных чисел. Что наиболее важно для алгебраических целей, любое поле может использоваться в качестве скаляров для векторного пространства , которое является стандартным общим контекстом для линейной алгебры . Числовые поля , братья и сестры области рациональных чисел, глубоко изучаются в теории чисел . Функциональные поля могут помочь описать свойства геометрических объектов.

Определение [ править ]

Неформально поле - это набор вместе с двумя операциями, определенными на этом наборе: операция сложения, записанная как a + b , и операция умножения, записанная как a ⋅ b , обе из которых ведут себя так же, как и для рациональных чисел и действительных чисел. , включая существование аддитивного обратного - a для всех элементов a и мультипликативного обратного b ⁻¹ для каждого ненулевого элемента b . Это позволяет также рассматривать так называемые обратные операции вычитания, a - b , и деление , a / b , определив:

а - Ь = а + (- Ь ) ,

a / b = a · b ⁻¹ .

Классическое определение [ править ]

Формально поле - это множество F вместе с двумя бинарными операциями над F, называемыми сложением и умножением . ^[1] Операция двоичное на F есть отображение F × F → F , то есть соответствие , которое ассоциируется с каждой упорядоченной паре элементов F однозначно определенный элемент из F . ^{[2] [3]} Результат сложения a и b называется суммой a и b и обозначается a+ б . Точно так же результат умножения a и b называется произведением a и b и обозначается ab или a ⋅ b . Эти операции требуются для удовлетворения следующих свойств, называемых аксиомами поля (в этих аксиомах a , b и c - произвольные элементы поля F ):

• Ассоциативность сложения и умножения: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c , а a · ( b · c ) = ( a · b ) · c .
• Коммутативность сложения и умножения: a + b = b + a и a · b = b · a .
• Аддитивное и мультипликативное тождество : существуют два разных элемента 0 и 1 в F такие, что a + 0 = a и a · 1 = a .
• Аддитивные обратные : для каждого a в F существует элемент в F , обозначенный - a , называемый аддитивным обратным к a , такой, что a + (- a ) = 0 .
• Мультипликативные обратные : для каждого a ≠ 0 в F существует элемент в F , обозначенный a ⁻¹ или 1 / a , называемый мультипликативным обратным к a , такой, что a · a ⁻¹ = 1 .
• Дистрибутивность умножения над сложением: a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) .

Резюмируя это, можно сказать: поле имеет две операции, называемые сложением и умножением; это абелева группа относительно сложения с 0 в качестве аддитивной идентичности; ненулевые элементы являются абелевой группой относительно умножения на 1 в качестве мультипликативной единицы; и умножение распределяется по сложению.

Иными словами, поле - это коммутативное кольцо, в котором все ненулевые элементы обратимы.${\displaystyle 0\neq 1}$

Альтернативное определение [ править ]

Поля также можно определять разными, но эквивалентными способами. В качестве альтернативы можно определить поле с помощью четырех бинарных операций (сложение, вычитание, умножение и деление) и их требуемых свойств. Деление на ноль по определению исключено. ^[4] Во избежание существования кванторов существования поля могут быть определены двумя бинарными операциями (сложение и умножение), двумя унарными операциями (дающими соответственно аддитивную и мультипликативную инверсии) и двумя операциями с нулевым значением (константы 0 и 1 ). Затем эти операции подлежат условиям, указанным выше. Избегать экзистенциальных кванторов важно в конструктивной математике ивычисление . ^[5] Можно эквивалентно определить поле с помощью тех же двух бинарных операций, одной унарной операции (мультипликативная обратная) и двух констант 1 и −1 , поскольку 0 = 1 + (−1) и - a = (−1) а . ^{[nb 1]}

Примеры [ править ]

Рациональные числа [ править ]

Рациональные числа широко использовались задолго до разработки концепции поля. Это числа, которые можно записать в виде дробей a / b , где a и b - целые числа , а b 0 . Аддитивная обратная величина такой дроби - a / b , а мультипликативная обратная величина (при условии, что a ≠ 0 ) - b / a , что можно увидеть следующим образом:

${\displaystyle {\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.}$

Абстрактно требуемые аксиомы поля сводятся к стандартным свойствам рациональных чисел. Например, закон дистрибутивности можно доказать следующим образом: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}}$

Действительные и комплексные числа [ править ]

В действительных числах R , с обычными операциями сложения и умножения, также образуют поле. В комплексных чисел C состоят из выражений

а + би , с а , б реальные,

где i - мнимая единица , т.е. (не действительное) число, удовлетворяющее i ² = −1 . Сложение и умножение действительных чисел определены таким образом , что выражения этого типа удовлетворяют все поля аксиом и , таким образом , справедливы для C . Например, закон о распределении

( + Би ) ( с + ди ) = ас + BCI + ади + BDI ² = ас - шд + ( Ьс + объявления ) я .

Совершенно очевидно, что это снова выражение указанного выше типа, и поэтому комплексные числа образуют поле. Комплексные числа могут быть геометрически представлены в виде точек на плоскости с декартовыми координатами.заданные действительными числами их описывающего выражения, или в виде стрелок от начала координат к этим точкам, заданных их длиной и углом, заключенным с определенным направлением. Затем сложение соответствует объединению стрелок в интуитивно понятный параллелограмм (добавление декартовых координат), а умножение - менее интуитивно - объединяет вращение и масштабирование стрелок (добавление углов и умножение длин). Поля действительных и комплексных чисел используются в математике, физике, технике, статистике и многих других научных дисциплинах.

Конструируемые числа [ править ]

В древности несколько геометрических проблем касались (не) возможности построения определенных чисел с помощью циркуля и линейки . Например, греки не знали, что таким образом невозможно разделить заданный угол пополам. Эти проблемы можно решить, используя поле конструктивных чисел . ^[7] Реальные конструктивные числа - это, по определению, длины отрезков, которые можно построить из точек 0 и 1 за конечное число шагов, используя только циркуль и линейку . Эти числа, наделенные полевыми операциями над действительными числами, ограниченными конструктивными числами, образуют поле, которое должным образом включает поле Qрациональных чисел. На рисунке показана конструкция квадратного корня из построимых чисел, не обязательно содержатся в Q . Используя маркировку на иллюстрации, постройте сегменты AB , BD и полукруг над AD (центр в средней точке C ), который пересекает перпендикулярную линию, проходящую через B в точке F , на расстоянии точно от B, когда BD имеет длину один.${\displaystyle h={\sqrt {p}}}$

Не все действительные числа можно построить. Можно показать, что это не конструктивное число, что означает невозможность построить с помощью циркуля и линейки длину стороны куба с объемом 2 - еще одна проблема, поставленная древними греками.${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Поле с четырьмя элементами [ править ]

Помимо знакомых систем счисления, таких как рациональные числа, есть и другие, менее непосредственные примеры полей. Следующий пример представляет собой поле , состоящее из четырех элементов , называемых О , я , и Б . Обозначение выбрано так, что O играет роль аддитивного тождественного элемента (обозначенного 0 в аксиомах выше), а I является мультипликативным тождеством (обозначено 1 в аксиомах выше). Аксиомы поля могут быть проверены с помощью дополнительной теории поля или прямого вычисления. Например,

A · ( B + A ) = A · I = A , что равно A · B + A · A = I + B = A , как того требует дистрибутивность.

Это поле называется конечным полем с четырьмя элементами и обозначается F ₄ или GF (4) . ^[8] Подмножество, состоящее из O и I (выделено красным в таблицах справа), также является полем, известным как двоичное поле F ₂ или GF (2) . В контексте информатики и булевой алгебры , O и I часто обозначаются соответственно ложным и истинным , добавление затем обозначается XOR(исключающее или), а умножение обозначается и . Другими словами, структура двоичного поля - это основная структура, которая позволяет выполнять вычисления с битами .

Элементарные понятия [ править ]

В этом разделе, Р обозначает произвольное поле и и б произвольные элементы из F .

Последствия определения [ править ]

Имеется a · 0 = 0 и - a = (−1) · a . В частности, можно вывести аддитивную инверсию каждого элемента, как только известно –1 . ^[9]

Если ab = 0, то a или b должны быть 0, поскольку, если a ≠ 0 , то b = ( a ^–1 a ) b = a ^–1 ( ab ) = a ^–1 ⋅0 = 0 . Это означает, что каждое поле является целостной областью .

Кроме того, для любых элементов a и b верны следующие свойства :

−0 = 0

1 ⁻¹ = 1

(- (- а )) = а

( a ^–1 ) ⁻¹ = a

(- a ) · b = a · (- b ) = - ( a · b )

Аддитивная и мультипликативная группа поля [ править ]

Из аксиом поля F следует, что это абелева группа относительно сложения. Эта группа называется аддитивной группой поля и иногда обозначается ( F , +), когда обозначение ее просто как F может сбивать с толку.

Точно так же ненулевые элементы F образуют абелеву группу при умножении, называемую мультипликативной группой и обозначаемую ( F \ {0}, ·) или просто F \ {0 } или F ^* .

Таким образом, поле может быть определено как множество F, снабженное двумя операциями, обозначенными как сложение и умножение, так что F является абелевой группой относительно сложения, F \ {0 } является абелевой группой относительно умножения (где 0 - единичный элемент сложение), а умножение является распределительным по сравнению с сложением. ^{[nb 2]} Поэтому некоторые элементарные утверждения о полях можно получить, применяя общие факты о группах . Например, аддитивная и мультипликативная инверсии - a и a ⁻¹ однозначно определяются a .

Требование 1 ≠ 0 следует, поскольку 1 - это единичный элемент группы, не содержащей 0. ^[10] Таким образом, тривиальное кольцо , состоящее из одного элемента, не является полем.

Каждая конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая (см. Корень из единицы § Циклические группы ).

Характеристика [ править ]

Помимо умножения двух элементов из F , можно определить произведение n ⋅ a произвольного элемента a из F на натуральное число n как n- кратную сумму

a + a + ⋅⋅⋅ + a (который является элементом F. )

Если не существует такого целого положительного числа, что

п ⋅ 1 = 0 ,

тогда говорят, что F имеет характеристику 0. ^[11] Например, поле рациональных чисел Q имеет характеристику 0, так как никакое натуральное число n не равно нулю. В противном случае, если это положительное целое число п , удовлетворяющих этому уравнению, наименьшее такое целое положительное число может быть показано, что простое число . Обычно его обозначают p, и тогда говорят, что поле имеет характеристику p . Например, поле F ₄ имеет характеристику 2 , так как (в обозначениях приведенной выше таблицы сложения) I + I = O .

Если Р имеет характеристику р , то р ⋅ а = 0 для всех а в F . Отсюда следует, что

( a + b ) ^p = a ^p + b ^p ,

поскольку все остальные биномиальные коэффициенты, фигурирующие в биномиальной формуле , делятся на p . Здесь a ^p  : = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ( p факторов) - это p -я степень, т. Е. P -кратное произведение элемента a . Следовательно, отображение Фробениуса

Fr: F → F , x ⟼ x ^p

совместим со сложением в F (а также с умножением) и, следовательно, является гомоморфизмом поля. ^[12] Существование этого гомоморфизма отличает поля характеристики p от полей характеристики 0.

Подполя и простые поля [ править ]

Подполе Е из поля F является подмножеством F , что это поле по отношению к полевым операциям F . Эквивалентно E - это подмножество F, которое содержит 1 и замкнуто относительно сложения, умножения, аддитивного обратного и мультипликативного обратного ненулевого элемента. Это означает, что 1 ∊ E , что для всех a , b ∊ E и a + b, и a · b находятся в E , и что для всех a ≠ 0 вE , как - и 1 / в E .

Гомоморфизмы полей - это отображения f : E → F между двумя полями, такие что f ( e ₁ + e ₂ ) = f ( e ₁ ) + f ( e ₂ ) , f ( e ₁ e ₂ ) = f ( e ₁ ) f ( e ₂ ) и f (1 _E ) = 1 _F , где e ₁ ие ₂ произвольные элементы из Е . Все гомоморфизмы полей инъективны . ^[13] Если f также сюръективно , это называется изоморфизмом (или поля E и F называются изоморфными).

Поле называется простым полем, если оно не имеет собственных (т. Е. Строго меньших) подполей. Любое поле F содержит простое поле. Если характеристика поля F равна p (простое число), это простое поле изоморфно конечному полю F _p, введенному ниже. В противном случае простое поле изоморфно Q . ^[14]

Конечные поля [ править ]

Конечные поля (также называемые полями Галуа ) - это поля с конечным числом элементов, число которых также называется порядком поля. Приведенный выше вводный пример F ₄ представляет собой поле с четырьмя элементами. Его подполе F ₂ является наименьшим полем, потому что по определению поле имеет как минимум два различных элемента 1 ≠ 0 .

Простейшие конечные поля с простым порядком наиболее доступны с помощью модульной арифметики . Для фиксированного положительного целого числа n арифметика "по модулю n " означает работу с числами

Z / n Z = {0, 1, ..., n - 1}.

Сложение и умножение на этом наборе выполняются путем выполнения рассматриваемой операции в наборе Z целых чисел, деления на n и принятия остатка в качестве результата. Эта конструкция дает поле в точности, если n - простое число . Например, взяв простое число n  = 2, мы получим вышеупомянутое поле F ₂ . Для n  = 4 и в более общем случае для любого составного числа (т. Е. Любого числа n, которое может быть выражено как произведение n  =  r ⋅ s двух строго меньших натуральных чисел) Z/ n Z не является полем: произведение двух ненулевых элементов равно нулю, поскольку r ⋅ s  = 0 в Z / n Z , что, как было объяснено выше , не позволяет Z / n Z быть полем. Построенное таким образом поле Z / p Z с p элементами ( p - простое число) обычно обозначается F _p .

Каждое конечное поле F имеет q  =  p ⁿ элементов, где p простое число и n  ≥ 1 . Это утверждение верно, поскольку F можно рассматривать как векторное пространство над своим простым полем. Размерность этого векторного пространства обязательно конечна, скажем , п , откуда следует , заявленному заявление. ^[15]

Поле с q  =  p ⁿ элементов может быть построено как поле расщепления многочлена

е ( х ) = х ^д - х .

Такое поле расщепления является расширением F _p, в котором многочлен f имеет q нулей. Это означает , что F имеет столько нулей , как это возможно , так как степень по е является д . Для q  = 2 ²  = 4 можно проверить от случая к случаю, используя приведенную выше таблицу умножения, что все четыре элемента F ₄ удовлетворяют уравнению x ⁴  =  x , поэтому они являются нулями f . Напротив, в F ₂ , F имеет только два нуля (а именно , 0 и 1), так чтоf не разбивается на линейные множители в этом меньшем поле. Развивая далее основные теоретико-полевые понятия, можно показать, что два конечных поля одного порядка изоморфны. ^[16] Таким образомпринято говорить о с конечным полем с д элементов, обозначенных F _ц или GF ( Q ) .

История [ править ]

Исторически три алгебраических дисциплины привели к концепции поля: вопрос о решении полиномиальных уравнений, алгебраическая теория чисел и алгебраическая геометрия . ^[17] Первый шаг к понятию поля было сделано в 1770 г. Лагранжа , который заметил , что перестановка нулей х ₁ , х ₂ , х ₃ из кубического многочлена в выражении

( x ₁ + ω x ₂ + ω ² x ₃ ) ³

(где ω является третьим корнем из единицы ) дает только два значения. Таким образом, Лагранж концептуально объяснил классический метод решения Сципиона дель Ферро и Франсуа Вьете , который заключается в сведении кубического уравнения для неизвестного x к квадратному уравнению для x ³ . ^[18] Вместе с аналогичным наблюдением для уравнений степени 4 Лагранж, таким образом, связал то, что в конечном итоге стало концепцией полей и концепцией групп. ^[19] Вандермонде , также в 1770 году, и, в более полной мере, Карл Фридрих Гаусс в его Disquisitiones Arithmeticae (1801) изучили уравнение

х ^р = 1

для простого p и, опять же, используя современный язык, полученную циклическую группу Галуа . Гаусс вывел, что правильный p -угольник можно построить, если p  = 2 ^{2 k}  + 1 . Основываясь на работе Лагранжа, Паоло Руффини утверждал (1799), что уравнения пятой степени (полиномиальные уравнения степени 5) не могут быть решены алгебраически; однако его аргументы были ошибочными. Эти пробелы были заполнены Нильсом Хенриком Абелем в 1824 году. ^[20] Эварист ГалуаВ 1832 году разработал необходимые и достаточные критерии алгебраической разрешимости полиномиального уравнения, тем самым установив, по сути, то, что сегодня известно как теория Галуа . И Абель, и Галуа работали с тем, что сегодня называется полем алгебраических чисел , но не придумали ни явного понятия поля, ни группы.

В 1871 году Ричард Дедекинд представил для набора действительных или комплексных чисел, замкнутого четырьмя арифметическими операциями, немецкое слово Körper , что означает «тело» или «корпус» (чтобы обозначить органически замкнутую сущность). Английский термин «поле» был введен Муром (1893 г.) . ^[21]

Под полем мы будем понимать любую бесконечную систему действительных или комплексных чисел, настолько замкнутую в себе и совершенную, что сложение, вычитание, умножение и деление любых двух из этих чисел снова дает число системы.

-  Ричард Дедекинд, 1871 ^[22]

В 1881 году Леопольд Кронекер определил то, что он назвал областью рациональности , которая в современном понимании является областью рациональных дробей . Понятие Кронекера не охватывало поле всех алгебраических чисел (которое является полем в смысле Дедекинда), но, с другой стороны, было более абстрактным, чем понятие Дедекинда, в том, что оно не делало конкретных предположений о природе элементов поля. Кронекер абстрактно интерпретировал такое поле, как Q (π), как поле рациональных функций Q ( X ) . До этого примеры трансцендентных чисел были известны со времен Жозефа Лиувилля в 1844 году до Чарльза Эрмита (1873) иФердинанд фон Линдеманн (1882) доказал трансцендентность e и π соответственно. ^[23]

Первое четкое определение абстрактного поля дано Вебером (1893 г.) . ^[24] В частности, понятие Генриха Мартина Вебера включало поле F _p . Джузеппе Веронезе (1891) изучал область формальных степенных рядов, что привело Гензеля (1904) к введению поля p -адических чисел. Стейниц (1910) синтезировал знания абстрактной теории поля, накопленные к настоящему времени. Он аксиоматически изучал свойства полей и определил многие важные теоретико-полевые концепции. Большинство теорем, упомянутых в разделах Теория Галуа , Построение полей иЭлементарные понятия можно найти в работах Стейница. Артин и Шрайер (1927) связали понятие порядков в поле и, следовательно, область анализа с чисто алгебраическими свойствами. ^[25] Эмиль Артин переработал теорию Галуа с 1928 по 1942 год, устранив зависимость от теоремы о примитивных элементах .

Создание полей [ править ]

Конструирование полей из колец [ править ]

Коммутативное кольцо представляет собой набор, оснащенный сложение и умножение операции, удовлетворяющий все аксиомы поля, для существования мультипликативных обратных за исключением того, через ^-1 . ^[26] Например, целые числа Z образуют коммутативное кольцо, но не поле: величина, обратная целому числу n, сама по себе не является целым числом, если только n = ± 1 .

В иерархии алгебраических структур поля можно охарактеризовать как коммутативные кольца R, в которых каждый ненулевой элемент является единицей (что означает, что каждый элемент обратим). Аналогичным образом , поля являются коммутативными кольцами с точно двумя различными идеалами , (0) и R . Поля также являются коммутативными кольцами, в которых (0) - единственный первичный идеал .

Для коммутативного кольца R есть два способа построить поле, связанное с R , т. Е. Два способа изменить R так , чтобы все ненулевые элементы стали обратимыми: формирование поля дробей и формирование полей вычетов. Поле частных Z - это рациональные числа Q , а поля вычетов Z - это конечные поля F _p .

Поле дробей [ править ]

Для данной области целостности R ее поле дробей Q ( R ) строится из дробей двух элементов R точно так же, как Q строится из целых чисел. Точнее, элементами Q ( R ) являются дроби a / b, где a и b лежат в R , а b ≠ 0 . Две дроби a / b и c / d равны тогда и только тогда, когда ad =Ьс . Операция с дробями работает точно так же, как и с рациональными числами. Например,

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

Несложно показать, что если кольцо является областью целостности, то множество дробей образует поле. ^[27]

Поле Р ( х ) из рациональных дробей над полем (или область целостности) F является полем дробей кольца многочленов F [ х ] . Поле F (( x )) ряда Лорана

${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}x^{i}\ (k\in \mathbb {Z} ,a_{i}\in F)}$

над полем F является полем частных кольца F [[ х ]] из формальных степенных рядов (в которой к ≥ 0 ). Поскольку любой ряд Лорана является дробью степенного ряда, деленного на степень x (в отличие от произвольного степенного ряда), представление дробей в этой ситуации менее важно.

Поля остатков [ править ]

В дополнении к области фракций, которые встраивают провода R инъективны в поле, поле может быть получено из коммутативного кольца R с помощью сюръективного отображения на поле F . Любое поле , полученное таким образом , является фактор R / м , где м представляет собой максимальный идеал из R . Если R имеет только один максимальный идеал м , это поле называется поле вычетов из R . ^[28]

Идеал , порожденный одним полиномиальным F в кольце многочленов R = E [ X ] (над полем Е ) является максимальным тогда и только тогда , когда F является неприводимым в Е , то есть, если F не может быть выражена как произведение двух многочленов E [ X ] меньшей степени . Это дает поле

F = E [ X ] / ( f ( X )).

Это поле Р содержит элемент х (а именно класс вычетов из X ) , которое удовлетворяет уравнению

f ( х ) = 0 .

Например, С получается из R с присоединением к мнимой единицы символа я , удовлетворяющий е ( я ) = 0 , где F ( X ) = Х ² + 1 . Более того, f неприводима над R , откуда следует, что отображение, переводящее многочлен f ( X ) ∊ R [ X ] в f ( i ), дает изоморфизм

${\displaystyle \mathbf {R} [X]/\left(X^{2}+1\right)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbf {C} .}$

Создание полей внутри большего поля [ править ]

Поля могут быть созданы внутри заданного большего контейнерного поля. Предположим, что дано поле E и поле F, содержащее E в качестве подполя. Для любого элемента x из F существует наименьшее подполе F, содержащее E и x , называемое подполем F, порожденное x и обозначаемое E ( x ) . ^[29] Переход от E к E ( x ) называется присоединением элемента к E. В более общем смысле, для подмножества S ⊂ F существует минимальное подполе в F, содержащее E и S , которое обозначается E ( S ) .

Композит из двух подполей Е и Е « некоторого поля F является наименьшим подполе F , содержащий как Е и Е». Композит может быть использован для построения наибольшего подполя F , удовлетворяющее определенное свойство, например , самый большой подполе F , которая, на языке , введенный ниже, алгебраическом над Е . ^{[№ 3]}

Расширения полей [ править ]

Понятие подполя E ⊂ F также можно рассматривать с противоположной точки зрения, ссылаясь на F как на расширение поля (или просто расширение) поля E , обозначенное

F / E ,

и прочтите « F над E ».

Базовым элементом расширения поля является его степень [ F  : E ] , то есть размерность F как пространства E- векторов. Он удовлетворяет формуле ^[30]

[ G  : E ] = [ G  : F ] [ F  : E ] .

Расширения, степень которых конечна, называются конечными расширениями. Расширения C / R и F ₄ / F ₂ имеют степень 2, тогда как R / Q - бесконечное расширение.

Алгебраические расширения [ править ]

Основным понятием при изучении расширений полей F / E являются алгебраические элементы . Элемент является алгебраическим над Е , если оно является корнем из многочлена с коэффициентами в Е , то есть, если она удовлетворяет полиномиальное уравнение${\displaystyle x\in F}$

e _n x ⁿ + e _{n −1} x ^{n −1} + ··· + e ₁ x + e ₀ = 0 ,

где e _n , ..., e ₀ в E и e _n ≠ 0 . Например, мнимая единица i в C является алгебраической над R и даже над Q , поскольку она удовлетворяет уравнению

я ² + 1 знак равно 0 .

Расширение поля, в котором каждый элемент F алгебраичен над E , называется алгебраическим расширением . Любое конечное расширение обязательно алгебраично, что можно вывести из приведенной выше формулы мультипликативности. ^[31]

Подполе E ( x ), порожденное элементом x , как указано выше, является алгебраическим расширением E тогда и только тогда, когда x является алгебраическим элементом. То есть, если x алгебраический, все другие элементы E ( x ) также обязательно алгебраические. Более того, степень расширения E ( x ) / E , т. Е. Размерность E ( x ) как E- векторного пространства, равна минимальной степени n, такой что существует полиномиальное уравнение, включающее x, как указано выше. Если эта степень равна n , то элементы E ( x ) имеют вид

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k},\ \ a_{k}\in E.}$

Например, поле Q ( я ) из гауссовых рациональных чисел является подполе C , состоящий из всех чисел вида а + би , где оба и б являются рациональными числами: слагаемые вида я ² (и аналогично для более высоких показателей) DON Здесь не нужно учитывать, так как a + bi + ci ² можно упростить до a - c + bi .

Основы трансцендентности [ править ]

Упоминалось выше, поле рациональных дробей Е ( Х ) , где Х представляет собой неопределенными , не является алгебраическим расширением Е , так как не существует полиномиальное уравнение с коэффициентами в Е которого нуль Х . Неалгебраические элементы, такие как X , называются трансцендентными . Неформально говоря, неопределенная X и его полномочия не взаимодействует с элементами E . Подобное построение может быть выполнено с набором неопределенных вместо одной.

Еще раз, расширение поля E ( x ) / E, рассмотренное выше, является ключевым примером: если x не является алгебраическим (т. Е. X не является корнем многочлена с коэффициентами в E ), то E ( x ) изоморфен E ( Х ) . Этот изоморфизм получается заменой x на X в рациональных дробях.

Подмножество S поля F является базисом трансцендентности, если оно алгебраически независимо (не удовлетворяет никаким полиномиальным отношениям) над E и если F является алгебраическим расширением E ( S ) . Любое расширение поля F / E имеет основу трансцендентности. ^[32] Таким образом, расширения полей можно разделить на расширения вида E ( S ) / E ( чисто трансцендентные расширения ) и алгебраические расширения.

Операции закрытия [ править ]

Поле называется алгебраически замкнутым, если оно не имеет строго больших алгебраических расширений или, что то же самое, если любое полиномиальное уравнение

f _n x ⁿ + f _{n −1} x ^{n −1} + ··· + f ₁ x + f ₀ = 0 , с коэффициентами f _n , ..., f ₀ ∈ F , n > 0 ,

имеет решение X е Р . ^[33] По основной теореме алгебры , С алгебраически замкнуто, то есть, любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение. Рациональные и действительные числа не являются алгебраически замкнутыми, поскольку уравнение

х ² + 1 = 0

не имеет рационального или реального решения. Поле, содержащее F , называется алгебраическим замыканием поля F, если оно алгебраично над F (грубо говоря, не слишком велико по сравнению с F ) и алгебраически замкнуто (достаточно большое, чтобы содержать решения всех полиномиальных уравнений).

Согласно сказанному выше, С представляет собой алгебраическое замыкание R . Положение о том , что алгебраическое замыкание является конечным расширением поля F является совершенно особенным: по теореме Артина-Шрейер , степень этого расширения обязательно 2 и F является элементарно эквивалентен для R . Такие поля также известны как настоящие закрытые поля .

Любое поле F имеет алгебраическое замыкание, причем единственное с точностью до (неединственного) изоморфизма. Это обычно называют в алгебраическом замыкании и обозначается F . Например, алгебраическое замыкание Q поля Q называется полем алгебраических чисел . Поле F обычно является скорее неявным, поскольку для его построения требуется лемма об ультрафильтре , теоретико-множественная аксиома, более слабая, чем аксиома выбора . ^[34] В этом отношении алгебраическое замыкание F _q исключительно просто. Это объединение конечных полей, содержащих F_q (порядка q ⁿ ). Для любого алгебраически замкнутого поля F характеристики 0, алгебраического замыкания поля Р (( т ))изрядов Лоранаявляется полемсерии Пюизё, полученного присоединения корней т . ^[35]

Поля с дополнительной структурой [ править ]

Поскольку поля широко используются в математике и за ее пределами, некоторые уточнения концепции были адаптированы к потребностям конкретных математических областей.

Упорядоченные поля [ править ]

Поле F называется упорядоченным полем, если любые два элемента можно сравнить, так что x + y ≥ 0 и xy  ≥ 0, если x  ≥ 0 и y  ≥ 0 . Например, вещественные числа образуют упорядоченное поле с обычным порядком  ≥ . Теорема Артина-Шрайера утверждает, что поле может быть упорядочено тогда и только тогда, когда оно является формально реальным полем , что означает, что любое квадратное уравнение

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0}$

имеет только решение x ₁ = x ₂ = ⋅⋅⋅ = x _n = 0 . ^[36] Множество всех возможных порядков на фиксированном поле F изоморфна множества кольцевых гомоморфизмов из кольца Витта W ( F ) из квадратичных форм над F , чтобы Z . ^[37]

Архимедова поля является упорядоченное поле таким образом, что для каждого элемента существует конечное выражение

1 + 1 + ··· + 1

чье значение больше, чем у этого элемента, то есть бесконечных элементов нет. Точно так же поле не содержит бесконечно малых (элементов, меньших, чем все рациональные числа); или, что еще эквивалентно, поле изоморфно подпол R .

Упорядоченное поле является Дедекиндовым, если все верхние и нижние границы (см. Дедекиндовое поле ) и ограничения, которые должны существовать, действительно существуют. Более формально, каждое ограниченное подмножество из F должен иметь верхнюю грань. Любое полное поле обязательно архимедово ^[38], поскольку в любом неархимедовом поле нет ни наибольшего бесконечно малого, ни наименее положительного рационального числа, поэтому последовательность 1/2, 1/3, 1/4, ... , каждый элемент из которых больше любого бесконечно малого, не имеет предела.

Поскольку каждое собственное подполе вещественных чисел также содержит такие пробелы, R - единственное полное упорядоченное поле с точностью до изоморфизма. ^[39] Несколько основополагающих результатов в исчислении вытекают непосредственно из этой характеристики вещественных чисел.

В hyperreals R ^* образует упорядоченное поле, которое не архимедов. Это расширение вещественных чисел, полученных путем включения бесконечных и бесконечно малых чисел. Они больше или меньше любого действительного числа. Гиперреальные представления составляют фундамент нестандартного анализа .

Топологические поля [ править ]

Еще одно уточнение понятия поля - это топологическое поле , в котором множество F является топологическим пространством , так что все операции с полем (сложение, умножение, отображения a ↦ - a и a ↦ a ⁻¹ ) непрерывны. карты относительно топологии пространства. ^[40] Топология всех обсуждаемых ниже полей индуцируется метрикой , т. Е. Функцией

d  : F × F → R ,

что измеряет расстояние между любыми двумя элементами F .

Завершение из F является еще одной областью , в которой, неформально говоря, «пробелы» в исходном поле F заполнены, если таковые имеются. Например, любое иррациональное число x , такое как x  =  √ 2 , является «пробелом» в рациональных числах Q в том смысле, что это действительное число, которое можно сколь угодно точно аппроксимировать рациональными числами p / q , в том смысле, что расстояние x и p / q, заданное абсолютным значением | х - р / д |настолько мал, насколько желательно. В следующей таблице приведены некоторые примеры этой конструкции. В четвертом столбце показан пример нулевой последовательности , т. Е. Последовательности, предел которой (при n  → ∞ ) равен нулю.

Поле Q _p используется в теории чисел и p -адическом анализе . Алгебраическое замыкание Q _p несет единственную норму, продолжающую норму на Q _p , но не является полной. Однако завершение этого алгебраического замыкания алгебраически замкнуто. Из-за его грубой аналогии с комплексными числами его иногда называют полем метрических пополнений и алгебраических замыканий | комплексных p-адических чисел и обозначают C _p . ^[41]

Локальные поля [ править ]

Следующие топологические поля называются локальными полями : ^{[42] [nb 4]}

• конечные расширения Q _p (локальные поля нулевой характеристики)
• конечные расширения F _p (( t )) , поля рядов Лорана над F _p (локальные поля характеристики p ).

Эти два типа локальных полей имеют некоторые фундаментальные общие черты. В этом отношении элементы p ∈ Q _p и t ∈ F _p (( t )) (называемые униформизатором ) соответствуют друг другу. Первое проявление этого находится на элементарном уровне: элементы обоих полей могут быть выражены в виде степенных рядов в униформизаторе с коэффициентами в F _p . (Однако, поскольку сложение в Q _p выполняется с использованием переноса , чего не происходит в F _p (( t )), эти поля не изоморфны.) Следующие факты показывают, что это внешнее сходство идет гораздо глубже:

• Любое утверждение первого порядка , которое верно почти для всех Q _p , также верно почти для всех F _p (( t )) . Применение этого - теорема Акс-Кохена, описывающая нули однородных многочленов из Q _p .
• Умеренно разветвленные расширения обоих полей взаимно однозначно связаны.
• Присоединение к произвольным p -степенным корням p (в Q _p ), соответственно t (в F _p (( t )) ), дает (бесконечные) расширения этих полей, известные как поля перфектоидов . Поразительно, что группы Галуа этих двух полей изоморфны, что является первым проблеском примечательной параллели между этими двумя полями: ^[43]

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbf {Q} _{p}\left(p^{1/p^{\infty }}\right)\right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbf {F} _{p}((t))\left(t^{1/p^{\infty }}\right)\right).}$

Дифференциальные поля [ править ]

Дифференциальные поля - это поля, снабженные деривацией , т. Е. Позволяющие брать производные от элементов в поле. ^[44] Например, поле R ( X ) вместе со стандартной производной многочленов образует дифференциальное поле. Эти поля являются центральными в дифференциальной теории Галуа , варианте теории Галуа, имеющей дело с линейными дифференциальными уравнениями .

Теория Галуа [ править ]

Теория Галуа изучает алгебраические расширения поля, изучая симметрию в арифметических операциях сложения и умножения. Важным понятием в этой области является понятие конечных расширений Галуа F / E , которые по определению являются сепарабельными и нормальными . Теорема о примитивном элементе показывает, что конечные отделимые расширения обязательно просты , т. Е. Имеют вид

F = E [ X ] / f ( X ) ,

где f - неприводимый многочлен (см. выше). ^[45] Для такого расширения быть нормальным и отделимым означает, что все нули f содержатся в F и что f имеет только простые нули. Последнее условие всегда выполняется, если E имеет характеристику 0.

Для конечного расширения Галуа, то группа Галуа G ( F / E ) является группой полевых автоморфизмов из F , тривиальные на E (т.е. биекция a: F → F , сохраняющее сложение и умножение и которые посылают элементы E в самих себя). Важность этой группы проистекает из фундаментальной теоремы теории Галуа , которая строит явное взаимно однозначное соответствие между множеством подгрупп в Gal ( F / E )и множество промежуточных расширений расширения F / E . ^[46] Посредством этого соответствия теоретико-групповые свойства превращаются в факты о полях. Например, если группа Галуа расширения Галуа, как указано выше, не разрешима (не может быть построена из абелевых групп ), то нули f не могут быть выражены в терминах сложения, умножения и радикалов, т. Е. Выражений с участием . Например, симметрическая группа S _n не разрешима при n ≥5${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\ }}}$ . Следовательно, как можно показать, нули следующих многочленов не выражаются суммами, произведениями и радикалами. Для последнего полинома этот факт известен как теорема Абеля – Руффини :

f ( X ) = X ⁵ - 4 X + 2 (и E = Q ), ^[47]

f ( X ) = X ⁿ + a _{n −1} X ^{n −1} + ... + a ₀ (где f рассматривается как многочлен от E ( a ₀ , ..., a _{n −1} ) для некоторых неопределенных a _i , E - любое поле и n ≥ 5 ).

Тензорное произведение полей , обычно не поле. Например, конечное расширение F / E степени n является расширением Галуа тогда и только тогда, когда существует изоморфизм F -алгебр

F ⊗ _E F ≅ F ⁿ .

Этот факт положил начало теории Галуа Гротендика , далеко идущему расширению теории Галуа, применимому к алгебро-геометрическим объектам. ^[48]

Инварианты полей [ править ]

Основные инварианты поля F включают характеристику и степень трансцендентности поля F над его простым полем. Последний определяется как максимальное число элементов в F , алгебраически независимых над простым полем. Два алгебраически замкнутых поля E и F изоморфны именно в том случае, если эти два данных совпадают. ^[49] Отсюда следует, что любые два несчетных алгебраически замкнутых поля одной мощности и одной характеристики изоморфны. Например, Q _p , C _p и C изоморфны (ноне изоморфны как топологические поля).

Модельная теория полей [ править ]

В теории моделей , ветви математической логики , два поля E и F называются элементарно эквивалентными, если каждое математическое утверждение, верное для E , также верно для F и наоборот. Рассматриваемые математические утверждения должны быть предложениями первого порядка (включая 0, 1, сложение и умножение). Типичный пример для n > 0 , n - целое число:

φ ( E ) = "любой многочлен степени n в E имеет нуль в E "

Набор таких формул для всех n выражает алгебраическую замкнутость E. Принцип Лефшеца утверждает, что C элементарно эквивалентно любому алгебраически замкнутому полю F характеристики нуль. Более того, любое фиксированное утверждение φ выполняется в C тогда и только тогда, когда оно выполняется в любом алгебраически замкнутом поле достаточно высокой характеристики. ^[50]

Если U является ультрафильтр на множестве I , и F _я есть поле для каждого I в I , то ультрапроизведение из F _я относительно U является полем. ^[51] Обозначается

ulim _{i → ∞} F _i ,

поскольку он ведет себя по-разному как предел полей F _i : теорема Лоша утверждает, что любое утверждение первого порядка, которое выполняется для всех F _i , кроме конечного числа , также выполняется для ультрапроизведения. Применительно к приведенному выше предложению φ это показывает, что существует изоморфизм ^{[nb 5]}

${\displaystyle \operatorname {ulim} _{p\to \infty }{\overline {\mathbf {F} }}_{p}\cong \mathbf {C} .}$

Указанная выше теорема Акс-Кохена также следует из этого и изоморфизма ультрапроизведений (в обоих случаях по всем простым числам p )

ulim _p Q _p ≅ ulim _p F _p (( t )) .

Кроме того, теория моделей также изучает логические свойства различных других типов полей, таких как реальные замкнутые поля или экспоненциальные поля (которые снабжены экспоненциальной функцией exp: F → F ^x ). ^[52]

Абсолютная группа Галуа [ править ]

Для полей, которые не алгебраически замкнутых (или не разъемно закрыт), то абсолютной группа Галуа G ( F ) является принципиально важной: расширение случая конечных расширений Галуа , описанных выше, эта группа управляет всеми конечными отделимыми расширениями F . С помощью элементарных средств, группа Gal ( Р _д ) может быть показана, что группа прюферова , то проконечное завершение из Z . Это утверждение включает в себя тот факт, что единственными алгебраическими расширениями Gal ( F _q ) являются поля Gal ( F _{q ⁿ}) при n > 0 и что группы Галуа этих конечных расширений задаются формулами

Gal ( Р _{д ^п} / Р _д ) = Z / п Z .

Описание в терминах образующих и соотношений известно также для групп Галуа p -адических числовых полей (конечных расширений Q _p ). ^[53]

Представления групп Галуа и связанных с ними групп, таких как группа Вейля, являются фундаментальными во многих разделах арифметики, таких как программа Ленглендса . Когомологическое исследование таких представлений проводится с помощью когомологий Галуа . ^[54] Например, группа Брауэра , которая классически определяется как группа центральных простых F -алгебр , может быть переинтерпретирована как группа когомологий Галуа, а именно

Br ( F ) = Н ² ( F , G _м ) .

K-теория [ править ]

K-теория Милнора определяется как

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=F^{\times }\otimes \cdots \otimes F^{\times }/\langle x\otimes (1-x)\mid x\in F\smallsetminus \{0,1\}\rangle .}$

Норма остатка изоморфизмом теорема , доказанная около 2000 Воеводский , относится это к Галуа когомологий с помощью изоморфизма

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/p=H^{n}(F,\mu _{l}^{\otimes n}).}$

Алгебраическая K-теория связана с группой обратимых матриц с коэффициентами данного поля. Например, процесс взятия определителя обратимой матрицы приводит к изоморфизму K ₁ ( F ) = F ^× . Теорема Мацумото показывает, что K ₂ ( F ) согласуется с K ₂ ^M ( F ). В более высоких степенях K-теория расходится с K-теорией Милнора и остается сложной для вычислений в целом.

Приложения [ править ]

Линейная алгебра и коммутативная алгебра [ править ]

Если a ≠ 0 , то уравнение

ax = b

имеет единственное решение x в F , а именно x = b / a . Это наблюдение, которое является непосредственным следствием определения поля, является важным ингредиентом, используемым, чтобы показать, что любое векторное пространство имеет основу . ^[55] Грубо говоря, это позволяет выбрать систему координат в любом векторном пространстве, что имеет центральное значение в линейной алгебре как с теоретической точки зрения, так и для практических приложений.

Модули (аналог векторных пространств) над большинством колец , включая кольцо целых чисел Z , имеют более сложную структуру. Особая ситуация возникает, когда кольцо R является самостоятельным векторным пространством над полем F. Такие кольца называются F -алгебрами и подробно изучаются в области коммутативной алгебры . Например, нормализация Нётер утверждает, что любая конечно порожденная F -алгебра тесно связана (точнее, конечно порождена как модуль над) кольцом многочленов F [ x ₁, ..., x _n ] . ^[56]

Конечные поля: криптография и теория кодирования [ править ]

Широко применяемая криптографическая процедура использует тот факт, что дискретное возведение в степень, т. Е. Вычисление

a ⁿ = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ( n факторов, для целого n ≥ 1 )

в (большом) конечном поле F _q может быть выполнено намного эффективнее, чем дискретный логарифм , который является обратной операцией, т. е. определение решения n уравнения

а ^п = б .

В криптографии на основе эллиптических кривых умножение в конечном поле заменяется операцией сложения точек на эллиптической кривой , т. Е. Решений уравнения вида

у ² = х ³ + ах + Ь .

Конечные поля также используются в теории кодирования и комбинаторике .

Геометрия: поле функций [ править ]

Функции на подходящем топологическом пространстве X в поле k можно добавлять и умножать точечно, например, произведение двух функций определяется произведением их значений в пределах области:

( е ⋅ г ) ( х ) = е ( х ) ⋅ г ( х ) .

Это делает эти функции а K - коммутативной алгебры .

Чтобы иметь поле функций, необходимо рассматривать алгебры функций, которые являются областями целостности . В этом случае отношения двух функций, т. Е. Выражения вида

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$

образуют поле, называемое полем функций.

Это происходит в двух основных случаях. Когда X представляет собой комплексное многообразие X . В этом случае рассматривается алгебра голоморфных функций , т. Е. Комплексных дифференцируемых функций. Их отношения образуют поле мероморфных функций на X .

Поле функций алгебраического многообразия X (геометрический объект , определенный в качестве общих нулей полиномиальных уравнений) состоит из соотношений регулярных функций , то есть, соотношение полиномиальных функций на многообразии. Функциональное поле n- мерного пространства над полем k есть k ( x ₁ , ..., x _n ) , т. Е. Поле, состоящее из отношений многочленов от n неопределенностей. Функциональное поле X такое же, как поле любого открытого плотного подмногообразия. Другими словами, функциональное поле нечувствительно к заменеX на (немного) меньшее подмногообразие.

Функциональное поле инвариантно относительно изоморфизма и бирациональной эквивалентности многообразий. Таким образом, это важный инструмент для изучения абстрактных алгебраических многообразий и классификации алгебраических многообразий. Например, размерность , равная степени трансцендентности k ( X ) , инвариантна относительно бирациональной эквивалентности. ^[57] Для получения кривых (т.е. размерность один), функция поля к ( Х ) очень близко к X : если Х является гладкой и собственно(аналог компактности ), X можно восстановить с точностью до изоморфизма по его полю функций. ^{[NB 6]} В большей размерности поле функции запоминает меньше, но все же решающая информация о X . Изучение функциональных полей и их геометрического значения в высших измерениях называется бирациональной геометрией . Программа минимальных моделей пытается отождествить простейшие (в определенном точном смысле) алгебраические многообразия с заданным функциональным полем.

Теория чисел: глобальные поля [ править ]

Глобальные поля находятся в центре внимания алгебраической теории чисел и арифметической геометрии . По определению они являются числовыми полями (конечными расширениями Q ) или функциональными полями над F _q (конечными расширениями F _q ( t ) ). Что касается локальных полей, у этих двух типов полей есть несколько общих черт, хотя они имеют характеристику 0 и положительную характеристику соответственно. Эта аналогия функционального поляможет помочь сформировать математические ожидания, часто сначала путем понимания вопросов о функциональных полях, а затем рассмотрения случая числового поля. Последнее часто бывает сложнее. Например, гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана (открытая с 2017 г.) может рассматриваться как параллельная гипотезе Вейля (доказанной в 1974 г. Пьером Делинем ).

Циклотомические поля относятся к числу наиболее изученных числовых полей. Они имеют вид Q (ζ _п ) , где ζ _п примитивный п -й корень из единицы , то есть комплексное число , удовлетворяющее ζ ^п = 1 и ζ ^м ≠ 1 для всех т < п . ^[58] Поскольку n является регулярным простым числом , Куммер использовал круговые поля, чтобы доказать последнюю теорему Ферма , которая утверждает несуществование рациональных ненулевых решений уравнения

х ^п + у ^п = г ^п .

Локальные поля - это дополнения глобальных полей. Теорема Островского утверждает , что только пополнений Q , глобального поля, являются местные поля Q _р и R . Изучение арифметических вопросов в глобальных полях может иногда выполняться, рассматривая соответствующие вопросы локально. Этот прием называется локально-глобальным принципом . Например, теорема Хассе – Минковского сводит задачу поиска рациональных решений квадратных уравнений к решению этих уравнений относительно R и Q _p , решения которых легко описываются. ^[59]

В отличие от локальных полей, группы Галуа глобальных полей неизвестны. Inverse Галуа теория изучает (нерешенная) проблема является ли любая конечная группа является группой Галуа Gal ( F / Q ) для некоторого числового поля F . ^[60] Теория полей классов описывает абелевы расширения , т. Е. Расширения с абелевой группой Галуа или, что то же самое, абелинизированные группы Галуа глобальных полей. Классическое утверждение, теорема Кронекера – Вебера , описывает максимальное абелево расширение Q ^ab поля Q : это поле

Q (ζ _n , n ≥ 2)

полученный присоединением всех примитивных корней n-й степени из единицы. Jugendtraum Кронекера просит так же явного описания F ^аб общего числа полей F . Для мнимых квадратичных полей , , d > 0 , теория комплексного умножения описывает F ^аЬ с использованием эллиптических кривых . Для общих числовых полей такое явное описание неизвестно.${\displaystyle F=\mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})}$

Связанные понятия [ править ]

В дополнение к дополнительной структуре, которой могут обладать поля, поля допускают различные другие связанные понятия. Поскольку в любом поле 0 1, любое поле имеет не менее двух элементов. Тем не менее, существует концепция поля с одним элементом , которая, как предполагается, является пределом конечных полей F _p , поскольку p стремится к 1. ^[61] Помимо телесных колец, существуют различные другие более слабые алгебраические структуры, связанные с поля, такие как квазиполя , почти поля и полуполя .

Существуют также подходящие классы с полевой структурой, которые иногда называют полями с большой буквы. Сюрреалистические числа образуют поле, содержащее действительные числа, и будут полем, за исключением того факта, что они являются правильным классом, а не набором. В nimbers , понятие из теории игр , сформировать такое поле , как хорошо. ^[62]

Разделительные кольца [ править ]

Отказ от одной или нескольких аксиом в определении поля приводит к другим алгебраическим структурам. Как было сказано выше, коммутативные кольца удовлетворяют всем аксиомам полей, кроме мультипликативных обратных. Отказ от условия коммутативности умножения приводит к концепции телесного кольца или тела . ^{[nb 7]} Единственными телами, которые являются конечномерными пространствами R- векторов, являются само R , C (которое является полем), кватернионы H (в которых умножение некоммутативно) и октонионы O(в котором умножение не коммутативно и не ассоциативно). Этот факт был доказан методами алгебраической топологии в 1958 году Мишелем Кервером , Раулем Боттом и Джоном Милнором . ^[63] Отсутствие нечетномерной алгебры с делением является более классическим. Это можно вывести из теоремы о волосатом шарике, показанной справа. ^{[ необходима цитата ]}

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

В Викиучебнике по абстрактной алгебре есть страница по теме: Поля